负顾客排队系统的研究进展_朱翼隽

第25卷第1期2004年1月江苏大学学报(自然科学版)Journal o f Jiang su U niversity(N atural Science Edition)V ol.25No.1Jan.2004负顾客排队系统的研究进展朱翼隽,陈燕(江苏大学理学院,江苏镇江212013)摘要:系统地介绍了负顾客排队模型发展的一般过程,特别详尽地分析了具有负顾客的M/G/ k和G/M/1这两类服务系统已取得的研究成果和已使用的研究方法与策略,并对部分相互之间有密切联系的模型进行分析和比较说明,突出了所讨论模型之间的差异,展示了其逐步深化研究的方向和所取得的成果1并进一步列举了一些尚待解决的问题,指出负顾客排队模型今后发展的一般趋势1关键词:排队;负顾客;队长;等待时间;载荷量中图分类号:O226文献标识码:A文章编号:1671-7775(2004)01-0048-04 Development of queueing systems with negative customersZ H U Yi-j un,C H EN Yan(Faculty of Scien ce,Jiangsu University,Zhenjiang,Jiangs u212013,Ch i na)Abstract:The developing history of queueing systems w ith negative customers is introduced.T he de-tails of some research methods about the two kinds of queueing systems w ith negative customer-M/ G/k and G/M/1are analyzed.Some models w hich have close relations are analy zed and compared. T he difference betw een those models are pointed out and the directions of further study are proposed. In the end,some unsolved problems are listed and the forthcoming developing tendency is discussed. Key words:queue;negative customers;queue length;w aiting time;w orkload负顾客排队模型是排队论的一个新兴的研究方向1自从上世纪九十年代,Gelenbe提出这一课题的研究后,该领域一直受到学者的广泛关注1作者拟对负顾客排队研究的现状和方法作一介绍11背景知识随机服务系统具有顾客和服务台两个研究对象1顾客在接受服务时,会遇到如下一些情况:正被处理的产品由于误操作而报废;正在处理的数据由于计算机系统受到病毒而全部丢失等1而这些情况是仅具有通常性质顾客的传统排队模型无法处理的1因此,有学者提出了负顾客或负到达的概念1负顾客可视为一次误操作或是系统的灾难,一般是作为系统的制约因素而存在,能抵消队伍中的正顾客,而通常的顾客被视为正顾客12负顾客的M/G/k排队模型Gelenbe是将负顾客引入排队模型[1]和排队网络[2]的第一人1在文献[1]中作者采用标值点过程来研究问题,得到了不同抵消策略下的马氏链{L(t)}为正常返的再生过程的充要条件,并且说明了新模型的稳态条件与负到达有关1文献[2]将负顾客引进排队网络后,证明了能描述网络性质与顾客流方程解存在唯一性的关系的几个定理1之后,负顾客的排队模型引起了各国学者的广泛兴趣1收稿日期:2003-06-09基金项目:江苏省自然科学基金资助项目(BK97047)作者简介:朱翼隽(1945-),男,安徽歙县人,教授,主要从事排队论和随机网络方面的研究1H arrison和Pitel[7,11]考虑具有负顾客的M/ G/1的排队模型1在文献[7]中讨论了顾客在系统中虚逗留时间的分布;在文献[11]中获得了不同服务规则和抵消原则下的系统稳态队长分布的概率母函数及平均队长1首先,对策略为先到先服务、抵消队尾顾客的系统,作者得到了近似队长母函数,并引出了第一类Fredholm积分方程1其次,对策略为先到先服务、抵消被服务顾客的系统,通过对系统的服务时间进行修正,获得队长分布的概率母函数1接着,对策略为后到先服务、抵消被服务顾客的系统,作者运用补充变量法,对稳态条件下的系统状态转移概率进行分析,获得结论1最后,对后到先服务、抵消队尾顾客的系统,类似前面讨论可求得结论,且该模型的稳态队长分布的概率母函数也是完全由P1(t)决定的1注意到抵消队尾顾客的排队系统求解的关键是P1(t)的求取,故文章最后一部分对P1 (t)进行讨论,给出了求取P1(t)数值解的迭代方法1他们的工作使得负顾客排队系统的研究由求取理论形式解上升到实际数值求解的高度,从而将负顾客排队的研究推向了新的发展阶段1Bayer和Box-ma[13]运用Wiener-H opf分析,证明了一类新的更具一般性的随机徘徊理论1讨论具有负顾客的M/ G/1排队模型,得到了嵌入点时刻和任意时刻的队长分布的概率母函数1在求嵌入点时刻的队长时,考虑两种情形:一类是系统空时,负到达自动消失;一类是系统空时,负到达停留在系统中,直到下一次服务结束才去抵消正顾客,得到了相应各自队长分布的概率母函数1对任意时刻的稳态队长,通过对系统所处的不同状态的分析,获得所需结论1Boucherie和Box ma[12]分析与文献[11]近似的模型,其中考虑负顾客抵消随机数量的正顾客1利用两种不同的方法来研究稳态系统的载荷量1第一种方法是将对系统中载荷量的近似分布的LST变换的分析归结于对Wiener-Hopf方程的求解1另一种方法是将求稳态队列转化为考虑仅有正顾客且到达间隔恰当的GI/G/1队列问题1Jain G[14]分析了负到达抵消目前系统中的所有顾客和随机数量顾客的情形,根据比率守恒律,得到了这两类情况下该系统的载荷量分布类似的Pollaczer-Khinchin(简记为P-K)公式1这一模型另一有趣的变量是负顾客抵消队伍中固定比例的顾客后的队长,该队长似乎总是稳定的1该文还分析了有负顾客的网络排队问题1负到达也可解释为灾难[10,15,23,25,26,30],灾难发生时抵消系统中所有顾客;也可解释为集体退出[21]或队伍溃散[3]1韩国学者Chae[33]分析了M/G/1清空系统1考虑一次灾难发生后,系统中的顾客全部消失,服务台失效1系统在服务台修理时可产生两类情况:一类,新到达的顾客不等待服务台修复而直接离开;另一类,新到的顾客等待服务台修复1作者讨论了以上两类系统的循环周期,且得到了在FCFS服务规则下两类系统的稳态队长分布的母函数和逗留时间分布的LST变换1该模型在某种意义上是对D Tow sley和S K Tripathi的文献[3]在服务时间上的推广1有灾难的清空系统不仅应用于单队列服务系统[4,15,33],还应用于再入排队[15,19,23,26]、排队网络[10,14,19,25]和生灭过程[24]1 Artalejo和Corral[23]研究了一个既有清理又有竞争再入的排队1即新到达的顾客发现系统忙时会进入轨道等待,且轨道中的顾客与正在服务的顾客以一定比例竞争接受服务,灾难发生时系统彻底清理并立即更新1但他们只讨论了稳态情况下系统的性能指标1史定华[29]运用补充变量法,构造向量马氏过程和吸收向量马氏过程,研究了该系统的瞬态情况,得到这一系统的一些重要指标的分布1以上讨论的模型中,有一前提不可忽视,即所接受研究的服务台是能辨别出队长状态且在服务完一个顾客后,就能转入对下一位顾客的服务1Artalejo 和Corral[27]基于这一点,独到地提出服务台对现有顾客的状态不再了解,顾客只能通过反复再试来得到服务1作者根据需要采取了忽略或截尾的方法简化模型,把求解系统的状态的极限分布归结为解Fredholm积分方程1采用初始无限系统的截断系统进行简化逼近,这一被截系统可用以再生性为基础的算子方法有效地计算出来1该算法是一种求解Fredholm积分方程的新算法1最后,还通过数值例子说明该算法是有效的且是相对精确的1最近,朱翼隽[31]提出负顾客可以接受服务的思想,讨论了一类负顾客M/G/1排队模型,得到队长分布的概率母函数、虚等待时间及等待时间的LST 的表达式1文献[34]通过补充变量的方法,对具有负顾客的M/G/1模型在不同服务规则和抵消策略下的队长进行了研究,也得到了各自队长分布的广义概率母函数1还首次把负顾客引入到可修服务系统中,得到一系列的排队指标和可靠性指标的形式解,大大丰富了负顾客排队模型的理论体系1针对多服务台情形,Anisimov V V和Artalejo J R[30]考虑有负顾客的多服务台再试排队模型1负顾客作为阻止系统超负荷的一种控制措施,其控制策49第1期朱翼隽等:负顾客排队系统的研究进展略为:当服务台被全占用时,负指数时间内系统是正常工作的;但若时间超过后服务台仍是满的,那么有随机数量的正顾客被抵消1论文运用两种方法来证明不同情况下的结论1对稳态情形的模型,矩阵分析法被用来研究忙服务台数量和再试队长的联合分布,且系统的稳态分布可由简化了的有常数再试率的无限近似系统的稳态分布来逼近1在超负荷情况下,作者证明并利用了交换过程的平均原则,考虑了正规再试排队的轨道和忙服务台长期的顾客数的转移行为13负顾客的G/M/1排队模型将负顾客引入GI/M/1排队系统,韩国学者做了大量研究工作1Wons Yang和Kyung C chae[32]讨论了具有负顾客的GI/M/1系统的队长及等待时间的分布1该文考虑具有抵消头部、尾部和系统灾难三类独立的负到达,且均为Poisson流1作者获得稳态队长的分布,所得分布与经典GI/M/1的队长分布相同,均为几何分布1对到达时刻队长的分布,通过考虑其与稳态队长之间的关系获得结论1同时,根据三类低消策略的独立性,得到了顾客接受其中任一类单独服务的概率和各自需要服务的时间的分布,且得到了先到先服务规则下,有条件和无条件的逗留时间分布14网络队列自Gelenbe[2]将负顾客引入网络排队后,负顾客的网络队列也得到了一些新的结果1H enderson[5]研究了有正、负两类顾客的网络排队的队长1Boucherie R J和Van Dijk N M[9]验证有负顾客的网络的局部平衡方程,其中允许有负队长1Chao X[10]讨论有灾难的网络队列的乘积形式解1Fourneau J M、Gelenbe E和Suros R[18]讨论具有多类正、负顾客的平稳网络1Dudin A和Nishimura S[25]研究有不同种类顾客存在的有灾难的混合网络,讨论了该模型下服务结束时刻的系统队长分布1研究网络队列的还有其他一些模型[22,28] 1Artalejo[29]对上世纪研究有负顾客的网络队列时所用的各种方法进行了归纳,重点讨论了网络乘积形式解、平衡方程、系统稳定性,及具有其他一些特征的网络1他对单服务站情形也作了简要分析15结论对负顾客排队的研究是不同领域中发生的许多实际问题的必然1目前,负顾客排队主要讨论工具是标值点过程法、补充变量法、Wiener-Hopf分析法和矩阵分析法,尤其以补充变量建立向量马氏过程最为普遍1主要的研究对象是队长、等待时间和忙期的分布1事实说明对负顾客排队系统的研究不仅为经典随机服务系统理论的发展注入了新的生机和活力,也为其应用开辟了更广阔的前景1负顾客排队已取得一定进展,但也有问题尚待解决1此外,现有的结果中,有些因表达式过于复杂而难以付诸于应用,发展有效的算法或给出简单适用的逼近也是很有意义的1对负顾客排队系统的进一步研究,是一个可望取得丰富成果的领域1参考文献(References)[1]Gelenbe E,at al.Queues w ith negative arr ivals[J].JA p p l Pr 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