X射线衍射原理-材料分析测试方法

g*方向—垂直于对应正点阵 中的（HKL）晶面
g*长度—等于对应（HKL） 面间距倒数
g*∥NHKL
g*=1/dHKL
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2.1 倒易点阵
由于gHKL*在方向上是正空 间中（HKL）面的法线方 向，在长度上是1/dHKL，所 以gHKL*唯一代表正空间中 的相应的一组（HKL）晶 面。
co2 s1co2 s2co2 s31
co2s1co2s2co2s31
用上式计算晶体衍射方向，比较烦琐。
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布拉格方程
2.2.2布拉格方程
1、布拉格实验简介
如图示为布拉格实验装置，以CuKα线照射NaCl晶体，实验得 到“选择反射”的结果，即当入射线以某些特定角度 （θ=15°，32°）入射时，记录到反射线，其他角度入射时， 则无反射线。
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第二章 X射线衍射原理
散射 散射线方向任意
衍射
散射线沿某些 特定方向加强 形成衍射束
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第二章 X射线衍射原理
X射线衍射揭示晶体结构特征主要有两个方面： ⑴ X射线衍射方向反映了晶胞的形状和大小； ⑵ X射线衍射强度反映了晶胞中的原子位置和
种类。
X射线衍射理论所要解决的中心问题——在衍射 现象与晶体结构之间建立起定性和定量关系。
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厄瓦尔德图解
2、 厄瓦尔德图解 ⑴ 衍射矢量几何图解
由图可知，衍射矢量方程的几何图解ΔABC为一等 腰矢量三角形。当入射线波长不变时， 每一个产生 衍射的晶面组都对应着一个等腰矢量三角形。
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厄瓦尔德图解
⑵ 厄瓦尔德图解
只要晶面产生衍射，必然存在一衍射矢量三角形和其
对应。这些矢量三角形的共同点就是拥有公共边S0和 公共顶点O，由几何知识
可知，反射方向S的终点 必落在以O为中心，以
g2*
g1*
|S0|为半径的球上——厄
瓦尔德球或反射球。
g3*
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厄瓦尔德图解
厄瓦尔德球的构建——以1/λ为半径构建一个球，球 心位于试样O点，入射线与球交点O*为倒易原点， 则连接O*与S终点的矢量即为g*。在以O*为倒易原 点的倒易点阵中，只要阵点落在球面上，则该点对 应的晶面就可能产生衍射。S即为衍射方向。
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劳厄法
反射法—双曲线
X-ray
crystal Film
透射法—衍射斑点
H=nh, K=nk,L=nL 。
（HKL） 与（hkl）区别： （HKL）面不一定是晶体 中的真实原子面，是为了简化布拉格方程引入的“反
射面”。干涉指数H、K、L与h、k、l区别在于前者
带有公约数n，后者为互质的。
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布拉格方程
⑵产生衍射条件
d≥λ/2 即，用X射线照射晶体，能产生衍射的晶面其面间 距必须大于或等于半波长。如α-Fe，其晶面按面间距
第二章 X射线衍射原理
X射线照射晶体，电子受迫产生振动，向四 周辐射同频率电磁波。同一原子内的电子散射 波相干加强成原子散射波。由于晶体内原子呈 周期性排列，各原子散射波之间存在固定位向 关系而产生干涉作用，在某些方向相干加强成 衍射波。
衍射的本质就是晶体中各原子相干散射波叠加 的结果。衍射花样反映了晶体内部原子排列的 规律。
a bc,b ca,c ab a 1 ,b 1 ,c 1
acos bcos ccos
正点阵与倒易点阵晶胞体积也是互为倒数
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V 1 V 6
2.1 倒易点阵
2.1.2倒易矢量及其性质 倒易矢量—由倒易原点指向倒易阵点的方向矢量，
用g*表示：
gHKL*=Ha*+Kb*+Lc*
其中H、K、L为整数。
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2.2 衍射方向
▪ 关于衍射方向的理论主要有以下几个：劳厄方
程、布拉格方程、衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
2.2.1 劳厄方程 劳厄假设晶体为光栅（点阵常数即光栅常数），
晶体中原子受X射线照射产生球面波并在一定方 向上相互干涉，形成衍射波。
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劳厄方程
1.一维劳厄方程—考虑单一原子列衍射方向
得： （ S-S0）/λ=g*=Ha*+Kb*+Lc*
上式即是衍射矢量方程。晶面要产生衍射，必须 满足该方程。
满足布拉格方程，有 可能产生衍射，也有 可能不产生衍射；若 晶面产生衍射，则一 定满足布拉格方程。
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厄瓦尔德图解
问题：用一束波长为λ的X射线沿某一确定方向照射 晶体时，晶体中有哪些晶面能够产生衍射？具体的 衍射方向如何分布？
倒易点阵是由许多阵点构成的虚点阵。从数学上讲， 所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图象－－ 点阵。正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒 易点阵是与正点阵一一对应的，是用数学方法由正点 阵演算出的。从物理上讲，正点阵与晶体结构相关， 描述的是晶体中物质的分布规律，是物质空间，或正 空间，倒易点阵与晶体的衍射现象相关，它描述的是 衍射强度的分布。
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布拉格方程
考虑两相邻原子面散射 线光程差。如图示： δ=AB+BC=2dsinθ，根 据干涉加强条件，得：
2dsinθ=nλ 这就是布拉格方程。 d-衍射晶面间距；θ-掠 射角；λ-入射线波长； n-反射级数。
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布拉格方程
晶体对X射线的衍射是各原子面散射线之间的干 涉加强，即记录到的样品衍射线是各原子面散射 线相互干涉的结果。X射线除了满足“反射条 件”，还应满足特定角度θ，才能产生衍射。
a ·（ S －S0）＝Hλ a（cosβ1-cosα1）=H λ
当X射线照射到一列原子上时，各原子散射线之间相
干加强成衍射波，此时在空间形成一系列衍射圆锥。
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劳厄方程
2、二维劳厄方程—考虑单一原子面衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ →a（cosβ1-cosα 1）=H λ b ·（ S －S0）＝Kλ→ b（cosβ2-cosα 2）=K λ
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衍射方向与晶体结构关系
Intensity (%)
1,1,0
(44.68,100.0) 100
90
体心立方 -Fe
80
a=b=c=0.2866 nm
70
60
50
40
2,1,1
30
2,0,0
(82.35,28.1)
3,1,0
20
(65.03,14.9)
2,2,0
(116.40,16.6)
(98.96,9.3) 10
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劳厄法
劳厄法实验以平板底片 接收衍射线，其衍射花
样为一系列斑点，实际
上是衍射线与底片的交 点。根据公式
tan2θ=r/L
r—斑点到中心距离； L—试样到底片距离。 可计算出底片上各衍射 斑点对应的晶面组。进 一步分析还可得到晶体 取向、晶体不完整性等 信息。劳厄法常用于测 定单晶体的取向。
点阵。如图示，a、 b、c表示正点阵基 矢，a*、b*、c*表
示倒易点阵基矢。
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2.1 倒易点阵
a ·a*= b ·b*=c ·c*=1； a*·b=a*·c=b*·c=b*·a=c*·a=c*·b=0
方向—倒易基矢垂直于正点阵中异名基矢构成的平面 长度—倒易基矢与正点阵矢量间是倒数关系
2.2.2 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解
1、衍射矢量方程
如图示，定义衍射矢量 S-S0=CB
S-S0∥N
|S-S0|=2sinθ=λ/d
反射线单位方 向矢量
衍射矢量在方向上平行
于产生衍射的晶面的法 线；其大小与晶面间距（HKL）
呈倒数关系。
入射线单位方 向矢量
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衍射矢量方程
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布拉格方程
⑶选择反射
由2dsinθ= λ知， λ一定时，d、 θ为变量，即不同d值
的晶面对应不同θ角。也就是说用波长为λ的X射线照 射晶体时，每一个产生衍射的晶面对应不同衍射角。
2θ
2θ2
λ
θ2 θ1
2θ1
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布拉格方程
⑷ 衍射方向与晶体结构关系 晶体结构相同（晶胞），点阵常数不同时，同名
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晶体学知识
晶体 晶胞 空间点阵 晶体结构 晶格常数 晶面与晶向 晶带与晶带定理
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2.1 倒易点阵
2.1.1 倒易点阵的构建
X射线衍射分析是通过对衍射花样的分析来反推 出晶体结构特征的。
倒易点阵—在晶体 点阵（正点阵）基
础上按一定对应关 系构建的一个空间
2θ 2θ’
θ’ θB
2θB 强度
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布拉格方程
3、布拉格方程讨论
⑴干涉晶面和干涉指数
2dhklsinθ=nλ ↓
2（dhkl /n）sinθ=λ ↓ 令dHKL=dhkl /n
2dHKLsinθ=λ
（hkl）面的n级反射可以看成 是（HKL）面的一级反射， 对布拉格方程进行了简化。 （HKL）称为干涉晶面，H、 K、L称为干涉指数，其中：
S S0
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厄瓦尔德图解
按上述方法构建的球称厄瓦尔德球或者反射球。 这种求解衍射方向的方法就是厄瓦尔德图解法。
对于求解衍射方向，图解法非常直观，可以解释 不同衍射方法得到的衍射花样。
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劳厄法
Ⅰ劳厄法
劳厄法是用连续X射线照 射单晶体的衍射方法。其 原理如图示。根据厄瓦尔 德图解，用连续谱照射单 晶体，相应反射球半径为 一连续变量，落在最大半 径和最小半径球面之间的 所有倒易点相应晶面都可 能发生衍射。
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布拉格方程
解释：入射的平行X光照射到晶体中相互平行的 各原子面上，各原子面各自产生的相互平行的反 射线间的干涉作用导致了“选择反射”的结果。
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布拉格方程
2、方程推证 当用一束X射线照射一层原子面时，两个相邻原子
散射线之间无光程差，可以相干加强 ，将原子面 视作“散射基元”。
排列如下：
（HKL） 110 200 211 220 310 222 321
dHKL 0.202 0.143 0.117 0.101 0.090 0.083 0.076
若用波长为0.194nm的FeKα线照射α-Fe，其半波长 λ/2=0.097nm，则只有前4个晶面能产生衍射；若用波长为
0.154nm的CuK α线照射，其半波长为0.077，则前5个晶面 都可以产生衍射。
（HKL ）面衍射角不同； 不同晶胞，同名（HKL）面衍射角不同。即，衍
射方向反映了晶胞的形状和大小。
研究衍射方向可以确定晶 胞的形状和大小
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衍射方向与晶体结构关系
(a) 体心立方 -Fe a=b=c=0.2866 nm
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(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100 105 110 115 120
面心立方：-Fe a=b=c=0.360nm
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布拉格方程
⑸ 衍射产生必要条件 满足布拉格方程的晶面不一定能够产生衍射，
但产生衍射的晶面一定满足布拉格方程。
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衍射矢量方程
这表明构成平面的两列原子产生的衍射圆锥的交线才
是衍射方向。
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劳厄方程
3、三维劳厄方程—考ห้องสมุดไป่ตู้三维晶体衍射方向
a ·（ S －S0）＝Hλ b ·（ S －S0）＝Kλ c ·（ S －S0）＝Lλ 或 a（cosβ1-cosα 1）=H λ
b（cosβ2-cosα 2）=K λ c（cosβ3-cosα 3）=L λ
(hkl) [uvw]
dhkl ruvw = u a + v b + w c
ruvw
(uvw)* [hkl]* d*uvw ghkl= h a* + k b* + l c*
ghkl
uvw
a、b、c 、、、
hkl
a*、b*、c* 、 *、 *、 *
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2.1 倒易点阵
倒易点阵是由晶体点阵经过一定的转化而构成的，倒 易点阵本身是一种几何构图，倒易点阵方法是一种数 学方法。倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一， 它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，而且还可 以形象地解释晶体的衍射几何。
一组（HKL）晶面
倒易矢量g*HKL
一组（HKL）晶面
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倒易阵点HKL
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2.1 倒易点阵
g010
g100
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2.1 倒易点阵
量的名称 晶面指数 晶向指数 面间距 晶向或阵点矢量 晶向长度或阵点 矢量长度 结点位置 点阵参数
正、倒点阵中相应量的符号 正点阵中
倒点阵中