2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第二部分 54分专项练(四) 18、19、20、21 含解析

合集下载

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分圆锥曲线的定义方程与性质含解析

一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A.不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( ) A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A.如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t 2＝1.设直线AB 的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23sts 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D.6．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：选ACD.因为以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，所以△ABF 是等边三角形，所以∠FBD ＝30°.因为△ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则ba＝3，所以离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，准线方程与双曲线方程联立可得x 23－p 212＝1，解得x ＝± 3＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以32|AB |＝p ，即32×23＋p 24＝p ，解得p ＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y ＝±x ，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32＝322.答案：6322三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x p ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26（x ＋1），消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分28分专项练28分专项练(二)22、23题(含解析)

28分专项练(二) 22、23题1．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，153. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l (不过坐标原点)与椭圆C 交于A ，B 两点，求F 1A →·F 1B →的取值范围．2．设M 点为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ，动点P 满足2PN →＝ 3MN →，动点P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于两点A ，B (A ，B 不是左、右顶点)，且满足|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋ax ＋1e －x ，a 为实数． (1)当a ＝2时，求f (x )的单调递增区间；(2)如果对任意x ≥0，f (x )≤x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝e x x－a ln x . (1)当a ＝0时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值；(2)若0<a ≤e 22，求证：f (x )>0.28分专项练(二) 22、23题 1．解：(1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋53b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 25＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，F 1B →＝(x 2＋1，y 2)．根据题意设直线l 的方程为x ＝my ＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 26＋y 25＝1，消去x 得(5m 2＋6)y 2＋10my －25＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－10m 5m 2＋6，y 1y 2＝－255m 2＋6. 所以F 1A →·F 1B →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝(1＋m 2)·－255m 2＋6＋2m ·－10m 5m 2＋6＋4 ＝－25m 2－15m 2＋6＝－5＋295m 2＋6. 因为5m 2＋6≥6，所以0<295m 2＋6≤296，所以－5<－5＋295m 2＋6≤－16. 所以F 1A →·F 1B →∈⎝⎛⎦⎥⎤－5，－16. 2．解：(1)设点M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题意可知N (x 0，0)．因为2PN →＝ 3 MN →，所以2(x 0－x ，－y )＝3(0，－y 0)，即x 0＝x ，y 0＝23y .又因为点M 在圆C ：x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，所以x 24＋y 23＝1，即轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)可知D (－2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，所以DA →⊥DB →，所以k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0. Δ＝(8mk )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)>0，即3＋4k 2－m 2>0，所以x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. 因为DA →⊥DB →，所以DA →·DB →＝0，即(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，所以4m 2－123＋4k 2＋2·－8mk 3＋4k 2＋4＋3m 2－12k 23＋4k2＝0，所以7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝27k ，且均满足3＋4k 2－m >0. 当m 1＝2k 时，直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)，直线恒过点(－2，0)，与已知矛盾；当m 2＝27k 时，直线l 的方程为y ＝kx ＋27k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋27，直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0，所以直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0. 3．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(x 2＋2x ＋1)e －x， f ′(x )＝(2x ＋2)e －x －(x 2＋2x ＋1)e －x ＝－(x ＋1)(x －1)e －x .由f ′(x )>0，得－1<x <1，所以f (x )的单调递增区间为(－1，1)．(2)由f (x )≤x ＋1得12ax 2＋ax ＋1≤(x ＋1)e x ，即当x ≥0时，(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1≥0恒成立．令g (x )＝(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1，则g ′(x )＝(x ＋2)e x －ax －a ，则g ″(x )＝(x ＋3)e x －a ，则g (x )＝(x ＋4)e x ，易知，当x ≥0时，g(x )＝(x ＋4)e x >0，从而g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增，g ″(0)＝3－a ，g ′(0)＝2－a ，g (0)＝0.①当a ≤2时，g ″(0)＝3－a >0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a >0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(0)＝2－a ≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而g (x )≥g (0)＝0恒成立；②当2<a ≤3时，g ″(0)＝3－a ≥0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a ≥0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，因为g ′(0)＝2－a <0，所以存在x 1>0，使g ′(x 1)＝0，当0<x <x 1时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，所以g (x 1)<g (0)＝0，与题意不符； ③当a >3时，g ″(0)＝3－a <0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，存在x 2>0，使g ″(x 2)＝0，当0<x <x 2时，g ″(x )<0，此时g ′(x )单调递减，所以g ′(x 2)<g ′(0)＝2－a <0，故g (x )在(0，x 2)上单调递减，此时g (x 2)<g (0)＝0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4．解：(1)当a ＝0时，由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝（x －1）e x x 2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝（x －1）e x x 2－a x ＝（x －1）e x －ax x 2. 令g (x )＝(x －1)e x －ax ，x >0，则g ′(x )＝x e x －a ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0<a ≤e 22，所以g ′(0)＝－a <0，g ′(2)＝2e 2－a >0，所以存在唯一的x 1∈(0，2)，使g ′(x 1)＝0，当x ∈(0，x 1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－1，g (2)＝e 2－2a ≥0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<g (0)<0，即g (x )在(0，x 1)上无零点．所以存在唯一的x 0∈(x 1，2]，使g (x 0)＝0，即(x 0－1)e x 0＝ax 0，因为g (1)＝－a <0，所以1<x 0<2，则e x 0x 0＝a x 0－1. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0x 0－a ln x 0＝a x 0－1－a ln x 0＝ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－1－ln x 0，1<x 0<2. 令h (x )＝1x －1－ln x ，则h (x )在(1，＋∞)上单调递减，因为1<x 0<2，所以h (x 0)>h (2)＝1－ln 2>0.又因为a >0，所以f (x )min >0，从而f (x )>0.。

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第二部分专题六第1讲函数的图象与性质练典型习题

一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B.因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1解析：选D.通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. 4．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C.因为函数y ＝x 2＋12x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝12x 2＋1x 2＝121＋1x 2，所以函数y ＝x 2＋12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝22<1，所以排除选项A ，故选C. 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.7．(2019·湖南省五市十校联考)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则满足f (x －1)>1e 2－e 2的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选B.由f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即e －x －a e x ＝a e －x －e x ，得a ＝1，所以f (x )＝e x －e －x ，则f (x )在R 上单调递增，又f (x －1)>1e 2－e 2＝f (－2)，所以x －1>－2，解得x >－1，故选B.8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0，1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ︵＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t ，0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.9．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f (x )的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式f (x )≥x 2－x －a 的解集中有且仅有1个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <－1}B ．{a |－2≤a <－1}C ．{a |－2≤a <2}D ．{a |a ≥－2}解析：选B.根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，不等式f (x )≥x 2－x －a 等价于a ≥x 2－x －f (x )，令g (x )＝x 2－x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2，x ≤0，x 2－2，x >0，作出g (x )的大致图象，如图所示，又g (0)＝－2，g (1)＝－1，g (－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a <－1，即实数a 的取值范围是{a |－2≤a <－1}．故选B.10．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2，2)D ．(－∞，0)解析：选B.易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0－x 3－x ＋5，x >0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x >x ＋m ，即2x <m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)<m ，解得m <－2，故选B.11．(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称解析：选BD.f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.12．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：选CD.已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，所以π>3>e>2，所以⎝⎛⎭⎫π3e>1，πe >3e，故A 错误；因为0<3π<1，1>e －2>0，所以⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，所以3e －2π>3πe －2，故B 错误；因为π>3，所以log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.13．(多选)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1B ．有最大值1C ．无最大值D ．无最小值解析：选AC.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝________．解析：当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.答案：－151615．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]．答案：(1，2]16．已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)17．(2019·广东惠州调研改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，则f (3)＝________；若在(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即f (4＋x )＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数．则f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1－1＝2－1.画出函数f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a（6＋2）<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)．答案：2－1 (8，＋∞)。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分专题三空间点、线、面的位置关系

一、选择题1．(2019·合肥市第一次质量检测)平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α内的投影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( )A ．若a ⊥b ，则m ⊥nB ．若m ⊥n ，则a ⊥bC ．若m ∥n ，则a ∥bD ．若m 与n 相交，则a 与b 相交或异面解析：选D.对于选项A ，当直线a ，b 相交，且所在平面与平面α垂直时，直线m ，n 重合，故A 不正确；对于选项B ，不妨在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中考虑，取面对角线AB 1，AD 1，其所在直线分别记为a ，b ，其在平面ABCD 上的投影分别为AB ，AD ，记为m ，n ，此时m ⊥n ，但a 与b 不垂直，故B 不正确；对于选项C ，不妨在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中考虑，取面对角线AB 1，CD 1，其所在直线分别记为a ，b ，其在平面ABCD 上的投影分别为AB ，CD ，记为m ，n ，此时m ∥n ，但a 与b 不平行，故C 不正确；对于选项D ，若m 与n 相交，则a 与b 不可能平行，只能是相交或异面，故D 正确，选D.2．(2019·长春市质量监测(一))在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．32C ．22D ．12解析：选D.由题意画出图形如图所示，取AD 1的中点为O ，连接OC 1，OA 1，易知OA 1⊥平面ABC 1D 1，所以∠A 1C 1O 是直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角，在Rt △OA 1C 1 中，A 1C 1＝2OA 1，所以sin ∠A 1C 1O ＝OA 1A 1C 1＝12.故选D.3．如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.4．(2019·江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．5π12D ．π2解析：选B.如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →＝(0，－2，22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，因为D1E⊂平面ABD1，所以平面ABD1⊥平面ABC.因为D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，所以BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面ABD1，因为BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，所以BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，所以AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直．故选B.6．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是()A．平面PB1D⊥平面ACD1B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．异面直线A 1P 与AD 1所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．三棱锥D 1APC 的体积不变解析：选ABD.对于A ，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故A 正确；对于B ，连接A 1B ，A 1C 1，易证明平面BA 1C 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面BA 1C 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值π2，故A 1P 与AD 1所成角的范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故C 错误；对于D ，V 三棱锥D 1APC ＝V 三棱锥C -AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C -AD 1P 的体积不变，故D 正确．故选ABD.二、填空题7．(2019·沈阳市质量监测(一))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥平面CB 1D 1；③异面直线AC 与A 1B 成60°角； ④AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是 2.解析：对于①，BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面CB 1D 1，B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以BD ∥平面CB 1D 1，①正确；对于②，因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥B 1D 1，连接A 1C 1，又A 1C 1⊥B 1D 1，所以B 1D 1⊥平面AA 1C 1，所以B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1，②正确；对于③，易知AC ∥A 1C 1，异面直线AC 与A 1B 所成角为∠BA 1C 1，连接BC 1，又△A 1C 1B 为等边三角形，所以∠BA 1C 1＝60°，异面直线AC 与A 1B 成60°角，③正确；对于④，AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是CC 1AC ＝12＝22≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.答案：①②③8．(2019·武汉市调研测试)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为________．解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1下面补一个棱长为1的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，连接A 2C 2，B 2D 2，AC 2，设B 2D 2∩A 2C 2＝E ，连接CE 交AC 2于M (即A 关于平面BDC 1的对称点)，易得M ⎝⎛⎭⎫13，23，－23，所以点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为1－⎝⎛⎭⎫－23＝53.法二：依题意，点M 在平面ACC 1A 1上，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知得A ⎝⎛⎭⎫－22，0，C 1⎝⎛⎭⎫22，1，直线OC 1的方程为y ＝2x ，其斜率为2，因为点A 关于直线OC 1的对称点为M ，设M (a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －0a ＋22＝－22b ＋02＝2·a －222，解得⎩⎨⎧a ＝26b ＝－23，所以点M 到直线A 1C 1的距离为1－⎝⎛⎭⎫－23＝53，所以点A 关于平面BDC 1的对称点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为53.答案：539．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________，此时AM ＝________．解析：如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME ·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝4 2.因为AM 2＋AN 2＝MN 2，所以AM ＝2 2.答案：42 2 2 三、解答题10.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD 且BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.11.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.因为F为CD的中点，所以GF∥DE且GF＝12DE.因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，所以GF∥AB.又因为AB＝12DE，所以GF＝AB.所以四边形GF AB为平行四边形，则AF∥BG.因为AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AF⊥CD.因为DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，所以DE⊥AF.又CD∩DE＝D，因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE.又因为BG⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.12．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE 的距离．解：(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又DC⊥BD，DC⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB.又因为折叠前后均有AD⊥AB，且DC∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC.(2)由(1)知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成的角．依题意知tan ∠CAD＝DC＝6，AD因为AD＝1，所以DC＝ 6.设AB＝x(x＞0)，则BD＝x2＋1，易知△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD，即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3. 由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，同理DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22. 因为DC ⊥平面ABD ，所以V A BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B ADE ＝V A BDE ＝12V A BCD ＝36，所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.。

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第一部分小题强化练小题强化练(三) Word版含解析

小题强化练(三)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．设点F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 55．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A.13B.223C.324D.126．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．27．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4) 8．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A. 3 B ．1 C.33D.23310．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，π4 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎦⎤π12，π4D.⎝⎛⎭⎫π12，π2 11．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ＞0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α12．(多选)(2019·湖南长沙一模)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列结论不正确的是( )A ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b13．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x二、填空题14．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________． 15．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．16．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．17．如图，在△ABC 中，已知M 为边BC 上一点，BC →＝4BM →，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则CM ＝________；cos ∠BAC ＝________．小题强化练(三)1．解析：选B.由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B.2．解析：选B.因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－（－1＋i ）＝i2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－15＋25i.故选B. 3．解析：选B.由题意知金杖由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B.4．解析：选B.由双曲线方程知a ＝1，b ＝3，则c ＝10，|F 1F 2|＝210.由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝|F 1F 2→|＝210，故选B.5.解析：选B.法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B.法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B.6．解析：选B.由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －（－2a ）2－（－2）＝12，解得a ＝12，故选B. 7．解析：选C.由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C. 8．解析：选D.由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．9．解析：选D.设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D. 10．解析：选C.法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C.法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C.11．解析：选CD.由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1＞0，cos α＝－1m 2＋1＜0，tan α＝－m ＜0，所以sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α＞0，sin αcos α＜0，sin αtan α＝cos α＜0.故选CD. 12．解析：选BCD.由a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面知：在A 中，若a ∥c ，b ∥c ，则由平行公理得a ∥b ，故A 正确；在B 中，若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误；在C 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故D 错误．13．解析：选AC.若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.14．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1815．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n＝a 3qn －3＝25－n .则a 1a 2…a n＝24×23× (25)n ＝2（9－n ）n2，可知当（9－n ）n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或516．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.答案：1217．解析：因为在△AMC 中，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则有33＝12AM ·CM ·sin ∠AMC ＝12×2×CM ×32，所以解得CM ＝6. 因为BC →＝4BM →，所以BM ＝2，BC ＝8，因为∠AMB ＝π－∠AMC ＝2π3，所以由余弦定理可得AB ＝AM 2＋BM 2－2AM ·BM ·cos ∠BMA ＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， AC ＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ＝22＋62－2×2×6×12＝27，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12＋28－642×23×27＝－217.答案：6 －217。

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习数列通项与求和练典型习题提数学素养

[A 组夯基保分专练]一、选择题1．(2019·广东省六校第一次联考)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{b n }的前50项和为( )A ．49B ．50C ．99D ．100解析：选A.由题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以数列{b n }的前50项和为－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故选A.2．(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎫32n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫12n －1解析：选B.法一：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2，则a 2＝12.当n ≥2时，S n －1＝2a n ，则S n －S n－1＝a n ＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1a n ＝32，所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列，所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝112×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝⎛⎭⎫32n －2＝1＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1，当n ＝1时，此式也成立．故选B.法二：当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝32，结合选项可得只有B 满足，故选B.3．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A.因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3)．所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *)，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.4．(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1123的最小整数n 是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12(*)，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入(*)式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列．所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪－6×⎝⎛⎭⎫－12n <1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C. 5．(2019·江西省五校协作体试题)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n ＋S n ＝2n ，2bn ＝2a n ＋2－a n ＋1，则1b 1＋12b 2＋…＋1100b 100＝( ) A ．9798B ．9899C ．99100D ．100101解析：选D.因为a n ＋S n ＝2n ①，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2n ＋1②，②－①得2a n ＋1－a n ＝2n ，所以2a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，又2bn ＝2a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝n ＋1，1nb n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，则1b 1＋12b 2＋…＋1100b 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选D. 6．(多选)一个弹性小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，经过的总路程记为S n ，则当n ≥2时，下面说法正确的是( )A ．S n <500B ．S n ≤500C ．S n 的最小值为7003D ．S n 的最大值为400解析：选AC.第一次着地时，共经过了100 m ，第二次着地时，共经过了⎝⎛⎭⎫100＋100×23×2m ，第三次着地时，共经过了⎣⎡⎦⎤100＋100×23×2＋100×⎝⎛⎭⎫232×2m ，…，以此类推，第n 次着地时，共经过了⎣⎡100＋100×23×2＋⎦⎥⎤100×⎝⎛⎭⎫232×2＋…＋100×⎝⎛⎭⎫23n －1×2m.所以S n ＝100＋4003⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫23n －11－23＝100＋400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫23n －1.S n 是关于n 的增函数，所以当n ≥2时，S n 的最小值为S 2，且S 2＝7003.又S n ＝100＋400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫23n －1<100＋400＝500.故选AC.二、填空题7．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为________．解析：设该女子第一天织布x 尺，则x （25－1）2－1＝5，解得x ＝531，所以该女子前3天所织布的总尺数为531（23－1）2－1＝3531.答案：35318．(一题多解)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝________．解析：法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，所以a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝92. 答案：929．(2019·江西九江统考改编)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2，则a n ＝________，数列{b n }的前2n 项和为________．解析：根据题意，数列{a n }满足2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1①，则当n ≥2时，有2S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1a n ②，由①－②可得⎝⎛⎭⎫1－13n (a n ＋1－3a n )＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．由2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，可求得a 2＝3，a 2＝3a 1，则数列{a n }的首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2＝(－1)n ·(log 33n －1)2＝(－1)n (n －1)2，则b 2n －1＋b 2n ＝－(2n －2)2＋(2n －1)2＝4n －3.所以数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .答案：3n －1 2n 2－n 三、解答题10．(2019·广州市综合检测(一))已知{a n }是等差数列，且lg a 1＝0，lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和．解：(1)因为lg a 1＝0，lg a 4＝1，所以a 1＝1，a 4＝10. 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 14－1＝3.所以a n ＝a 1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由(1)知a 1＝1，a 6＝16，因为a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，所以a 2k ＝a 1a 6＝16. 又a n ＝3n －2>0，所以a k ＝4.因为a k ＝3k －2，所以3k －2＝4，得k ＝2.所以等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝a 2a 1＝4.所以b n ＝4n －1.所以a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1.所以数列{a n ＋b n }的前n 项和为S n ＝n （3n －1）2＋1－4n 1－4＝32n 2－12n ＋13(4n －1)．11．(2019·江西八所重点中学联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；(2)设b n ＝a 2na 2n －1－1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：因为a n ＋1＝44－a n ，所以1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n－2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n2a n －4＝－12.又a 1＝1，所以1a 1－2＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n －2＝－1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－12＝－n ＋12，所以a n ＝2－2n ＋1＝2n n ＋1，所以b n ＝a 2na 2n －1－1＝4n2n ＋12（2n －1）2n－1＝4n 2（2n －1）（2n ＋1）－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n2n ＋1. 12．(2019·福建省质量检查)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1)求证数列{a n ＋1}是等比数列，并求a n ；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列{a n b n }的前n 项和．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.因为S n ＝2a n －n ①，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－(n －1)②， ①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1，所以a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋1＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2.所以{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＋1＝2·2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，a 2＝3，a 3＝7，所以b 3＝a 2＝3，b 7＝a 3＝7. 设{b n }的公差为d ，则b 7＝b 3＋(7－3)·d ，所以d ＝1. 所以b n ＝b 3＋(n －3)·d ＝n . 所以a n b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n .设数列{n ·2n }的前n 项和为K n ，数列{n }的前n 项和为T n ，则K n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ③， 2K n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1④， ③－④得，－K n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以K n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.又T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以K n －T n ＝(n －1)·2n ＋1－n （n ＋1）2＋2，所以数列{a n b n }的前n 项和为(n －1)·2n ＋1－n （n ＋1）2＋2.[B 组大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列{a 2n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2＝a n ＋1得a 2n ＋1－a 2n ＝2，且a 21＝1，所以数列{a 2n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又由已知易得a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝2a n ＋a n ＋1＝22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(3－1)＋(5－3)＋…＋(2n ＋1－2n －1)＝2n ＋1－1.2．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为{b n }的前n 项和，求使T n ≥2n 成立的n 的最小值．解：(1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N )，所以数列{}S n 为等差数列，又S 1＝a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ≥2n 得n 2≥4n ＋2，即(n －2)2≥6，所以n ≥5，所以n 的最小值为5.3．(2019·河北省九校第二次联考)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝（－1）na n，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，2S n ＝a n ＋1a n ，即2S n a n －a 2n ＝1，① 当n ＝1时，由①式可得S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.所以{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，S 2n ＝1＋n －1＝n .因为{a n }的各项都为正数，所以S n ＝n ，所以a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1＝1，所以a n ＝n －n －1.(2)b n ＝（－1）n a n＝（－1）n n －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n .所以{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n .4．(2019·高考天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k <n <2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *. ①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式； ②求i ＝12na i c i （n ∈N *）.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，故a n ＝4＋（n －1）×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n .,所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n .（2）①a 2n （c 2n －1）＝a 2n （b n －1）＝（3×2n ＋1）（3×2n －1）＝9×4n －1.,所以，数列{a 2n （c 2n －1）}的通项公式为a 2n （c 2n －1）＝9×4n －1.②i ＝12n a i c i ＝i ＝12n[a i ＋a i （c i －1）]＝i ＝12n a i ＋i ＝12na 2i （c i －1）＝[2n×4＋2n （2n －1）2×3]＋∑i ＝1n (9×4i －1)＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4（1－4n ）1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。

京津鲁琼专用2020版高考数学二轮复习第二部分专题三立体几何高考解答题的审题与答题示范三含解析

所以二面角APBC的余弦值为－ .⑨
第(1)问
第(2)问
得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
分
2
1
1
1
2
2
2
2
1
点
4分
10分
第(1)问踩点得分说明
①证得AB⊥平面PAD得2分，直接写出不得分；
②写出AB⊂平面PAB得1分，此步没有扣1分；
③写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分.
第(2)问踩点得分说明
④正确建立空间直角坐标系得1分；
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值.
审题路线
(1) AB∥CDAB⊥PD―→AB⊥平面PAD―→结论
(2) ―→PF⊥平面ABCD―→以F为坐标原点建系―→一些点的坐标―→平面PCB、平面PAB的法向量―→二面角的余弦值
标准答案
高考解答题的审题与答题示范(三)
立体几何类解答题
[思维流程]——立体几何问题重在“建”——建模、建系
[审题方法]——审图形
图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点．
典例
(本题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
⑤写出相应的坐标及向量得2分(酌情)；
⑥正确求出平面PCB的一个法向量得2分，错误不得分；
⑦正确求出平面PAB的一个法向量得2分，错误不得分；
⑧写出公式cos〈n，m〉＝得1分，正确求出值再得1分；

(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第二部分54分专项练54分专项练(四)18、19、20、21(含解析)

54分专项练(四) 18、19、20、211．已知正项数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋a n －1＝2n －1a n －a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求a 2，a 3；(2)设数列{b n }满足b n ＝(a n －1)2－n 2，证明：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项．2．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c cos A ＋33a cos C ＝0，tan (2 019π＋2A )＝34.(1)求tan C 的大小；(2)若C 为钝角且c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．3．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝3，AC ＝2，点E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ；(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M AC E 的余弦值为1010？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？A 材料B 材料合计成功不成功合计(2)UV 胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为12，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为23，此环节不合格需要修复的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .54分专项练(四) 18、19、20、211．解：(1)由已知可得a 2＋a 1＝3a 2－a 1＋2，因为a 1＝2，所以a 22－22＝3＋2(a 2－2)，即a 22－2a 2－3＝0，因为a 2>0，所以a 2＝3. 又a 3＋a 2＝5a 3－a 2＋2，a 2＝3，所以a 23－9＝5＋2(a 3－3)，即a 23－2a 3－8＝0，因为a 3>0，所以a 3＝4. 故a 2＝3，a 3＝4.(2)证明：由已知条件可知，a 2n －a 2n －1＝2(a n －a n －1)＋2n －1，所以(a n －1)2－(a n －1－1)2＝n 2－(n －1)2，则(a n －1)2－n 2＝(a n －1－1)2－(n －1)2＝…＝(a 2－1)2－22＝(a 1－1)2－12＝0，而b n ＝(a n －1)2－n 2，所以b n ＝0，数列{b n }为等差数列．所以(a n －1)2＝n 2，而a n >0，故a n ＝n ＋1.2．解：(1)因为c cos A ＋33a cos C ＝0，所以sin C cos A ＋33sin A ·cos C ＝0.又cosA cos C ≠0，所以tan C ＝－33tan A .因为tan(2 019π＋2A )＝34，所以tan 2A ＝34，所以2tan A 1－tan 2A ＝34，解得tan A ＝13或tan A＝－3.①若tan A ＝13，则tan C ＝－33tan A ＝－33×13＝－3；②若tan A ＝－3，则tan C ＝－33tan A ＝－33×(－3)＝9 3. 故tan C 的值为－3或9 3.(2)因为C 为钝角，所以由(1)知tan C ＝－3，又因为0<C <π，所以C ＝2π3.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 23π＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以(a ＋b )2≤4，则a ＋b ≤2.又a ＋b >c ＝3，所以a ＋b ∈(3，2]．所以△ABC 的周长的取值范围是(23，2＋3]．3.解：(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF .由平面ABCD 为平行四边形，可知F 为BD 的中点．在△PBD 中，因为E ，F 分别为PD ，BD 的中点，所以EF ∥PB . 又EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)由题意知，AC ，AB ，AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0，0，0)，B (0，3，0)，C (2，0，0)，D (2，－3，0)，P (0，0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，所以AC →＝(2，0，0)，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，32.设M (x 0，y 0，z 0)，PM →＝λPB →(0<λ<1)，则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0，3，－3)，得M (0，3λ，3－3λ)，所以AM →＝(0，3λ，3－3λ)．设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝0，2x 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝(0，1，1)．设平面MAC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3λy 2＋（3－3λ）z 2＝0，2x 2＝0，取z 2＝1，得n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1－1λ，1.设二面角M AC E 的大小为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1λ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ2＋1＝1010，化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝13或λ＝23.因为二面角M AC E 的余弦值为1010，所以PM →＝13PB →. 故PM →＝13PB →时，二面角M AC E 的余弦值为1010.4．解：(1)列联表如下：K 2的观测值k ＝30×30×48×12≈6.7<7.879，所以没有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关．(2)设X 为一次生产出来的石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X 的取值可以是0，100，200，300，400，500，600，700，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×23＝112，P (X ＝100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×13＝124，P (X ＝200)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×23＝14，P (X ＝300)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝18，P (X ＝400)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12×23＝14，P (X ＝500)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12×13＝18，P (X ＝600)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×23＝112，P (X ＝700)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×13＝124.所以E (X )＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×124＝1 0003. 所以一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要1 0003元的修复费用．。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分专题六基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程[做真题]题型一指数与指数函数1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a 1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________．解析：法一：由x >0可得－x <0，由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－e a (－x )]＝e －ax ，则f (ln 2)＝e －a ln 2＝8，所以－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3. 法二：由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以f (ln 2)＝－f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝－(－e a ln 12)＝8，所以a ln 12＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3.答案：－3题型二对数与对数函数(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：选C.法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错；因为0<c <1，所以－1<c －1<0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1>a c －1，又ab >0，所以ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，所以0>log c b >log c a ，D 错；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，所以－a log b c >－b log a c >0，所以a log b c <b log a c ，故C 正确．法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．题型三函数的零点问题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C.函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：3[山东省学习指导意见]1．指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式，并能进行运算．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)． 3．幂函数了解幂函数的概念：结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．4．函数与方程(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．(2)了解二分法求方程近似解 5．函数模型及其应用(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型的广泛应用．(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ． y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x(2)(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 (1)对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，因此函数y ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.(2)因为a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2，b ＝log 38>1，c ＝0.30.2<1，所以c 1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 (1)A (2)A (3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(一题多解)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.法一：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x ，所以g (x )＝log 2x ，所以f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x.所以f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2，4)，因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以函数g (x )的图象经过点(4，2)，所以f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.2．(2019·福建五校第二次联考)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选D.a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象易知b ＝⎝⎛⎭⎫1413∈(0，1)，故c >a >b ，选D.3．(2019·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：⎝⎛⎭⎫－2，－891函数与方程 [典型例题]命题角度一确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 (1)因为a >1，00，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度二已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1](2)(2019·济阳模拟)若关于x 的方程e x ＋ax －a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，0]B ．[0，e 2)C ．(－e ，0]D ．[0，e)【解析】 (1)当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1]，故选D.(2)由题意可知只需证e x ＋ax －a >0恒成立，即证e x >－a (x －1)．当x <1时，－a >e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2<0，则f (x )单调递减，即有f (x )<0，解得－a ≥0，即a ≤0；当x ＝1时，e>0成立，a 可以是任意实数；当x >1时，－a <e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2，当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝2时，f (x )取得极小值，也是最小值e 2，即有－a <e 2，解得a >－e 2.综上，实数a 的取值范围是(－e 2，0]，故选A. 【答案】 (1)D (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]上所有零点的和为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e x x －kx ＝0只有一个根，即方程e xx 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）e x x 3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24.答案：⎝⎛⎭⎫0，e 24函数的实际应用 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1R D ．3M 23M 1R (2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg 10.1D ． 10－10.1【解析】 (1)由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D. (2)根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.【答案】 (1)D (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年D ．2024年解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.解析：由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b ＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k ＝12，所以e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.答案：24一、选择题1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0，0)B ．(0，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，选D.5．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选A.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.6．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a 0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选 A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a 0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．9．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 3 2＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：选D.由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m>1，解得12<m <1，故选D. 10．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于( ) A ．5π B ．6π C ．7πD ．8π解析：选C.f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0, 可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，因为x ∈[0，2π]，所以2x ∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，所以x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x＝2π，因为π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，所以f (x )的所有零点之和等于7π，故选C.11．(多选)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D ．当k ≥1时，方程有实根解析：选ABD.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |，设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的直线，折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD.12．(多选)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1>1解析：选AC.函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2，2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2.13．(多选)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)．下列命题正确的有()A．f(2 016)＋f(－2 017)＝0B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数C．直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点D．函数f(x)的值域为(－1，1)解析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知，A，f(2 016)＋f(－2 017)＝0正确；B，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以B不正确；C，根据图象可知y＝x与f(x)的图象有1个交点，所以C正确；D，根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，所以D正确．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f (log 216)＝________．解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝8. 答案：815．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e <x <e.答案：⎝⎛⎭⎫1e ，e16．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1，2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝log 3 x ＋2x －a 在区间(1，2)内有零点，且f (x )在(1，2)内单调，所以f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.答案：()log 32，117．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫43＝________，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：因为偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－2＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23，若－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，则f (－x )＝－x ＝f (x )，即f (x )＝－x ，－1≤x ≤0，由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，等价为函数f (x )与h (x )＝k (x ＋1)有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示， h (x )过定点A (－1，0)，f (3)＝1，则k 满足0<h (3)≤1，即0<4k ≤1，得0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：23 ⎝⎛⎦⎤0，14。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学二轮复习第一部分小题专题练小题专题练(六)概率、统计、复数(含解析)

小题专题练(六) 概率、统计、复数一、选择题1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1－2i ，则z ＝( ) A ．－15＋25iB ．－15－25iC.15＋25iD.15－25i 2．从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．若该产品的这项指标值在[185，215)内，则该产品的这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为( )A ．0.57B ．0.46C ．0.55D ．0.793．某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x /℃ 17 13 8 2 月销售量y /件24334055由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量约为( )A ．46件B ．40件C ．38件D ．58件4．已知随机变量ξ～N (3，σ2)，若P (ξ>6)＝0.16，则P (0≤ξ≤6)＝( ) A ．0.84 B ．0.68 C ．0.34D ．0.165．(2019·长春市质量监测(二))如图所示的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价(单位：元)，已知股票甲收盘价的极差为6.88，标准差为2.04；股票乙收盘价的极差为27.47，标准差为9.63.根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论；①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平衡，股票乙的股价波动较大；④两只股票在全年都处于上升趋势．其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．46．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18C．32 D．727．(2019·安徽省考试试题)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )窗口1 2过道34 5窗口67 89101112 131415 ……………C．64，65 D．72，738．某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，P ＋S ＝272，则函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n在x ∈(0，＋∞)上的最小值为( ) A ．144 B ．256 C ．24 3D ．64 310．王军从家骑车去学校，途中(不绕行)需要经过4个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为14，则王军在一次上学途中会遇到堵车次数ξ的期望E (ξ)是( )A.14B ．1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫344D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14411．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝16B ．P 1＝P 2＝12C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＞P 212．(多选)下列说法中正确的是( )A ．从某社区65户高收入家庭，28户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法为分层抽样B ．正态分布N (1，9)在区间(－1，0)和(2，3)上取值的概率相等C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2 13．(多选)已知ξ是离散型随机变量，则下列结论正确的是( ) A ．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ|≤13≤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ2≤13 B ．(E (ξ))2≤E (ξ2) C ．D (ξ)＝D (1－ξ) D ．D (ξ2)＝D ((1－ξ)2) 二、填空题14．在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．15．在三行三列的方阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32 a 33中有9个数a ij (i ＝1，2，3，j ＝1，2，3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是________．16．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． 17．(2019·山东烟台期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.96)小题专题练(六) 概率、统计、复数1．解析：选B.由题意可得z ＝1－2i 3＋4i ＝（1－2i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝－5－10i 25＝－15－25i.故选B.2．解析：选D.由频率分布直方图知，指标值在[185，215)内的频率为10×(0.022＋0.033＋0.024)＝0.79，据此可估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79.3．解析：选A.由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x ，y )，且b ^＝－2，代入得a ^＝58，则回归方程为y ^＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，y ＝46，故选A.4．解析：选B.因为随机变量ξ～N (3，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝3对称，因为P (ξ>6)＝0.16，所以P (0≤ξ≤6)＝1－2×0.16＝0.68.5．解析：选C.由题图可知①③正确．股票乙的收盘价均高于股票甲，可能获得高回报，但股票乙的极差和标准差都大于股票甲，故购买股票乙的风险高，所以②正确．两只股票都有下降的时候，故④错误．故选C.6．解析：选D.因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1234567，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位有3种选法，车的停放方式有A 33种，故停放方法有2×3×A 33＝36种；若3个连续空位是234或345或456，另一个空位有2种选法，车的停放方法依然有A 33种，因此此种情况下停放方法有3×A 33×2＝36种，从而不同的停放方法共有72种，选D.7．解析：选C.设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的，故选C.8．解析：选C.若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，再根据②知去D 镇，再根据④知去C 镇，再根据③可知不去B 镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.9．解析：选A.由题意可得P ＝4n，S ＝2n，所以P ＋S ＝4n＋2n＝272，得2n＝16，所以n ＝4.当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4≥(23)4＝144，当且仅当x ＝33时等号成立，故函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n在x ∈(0，＋∞)上的最小值为144，故选A.10．解析：选B.由题知上学途中每个交叉路口发生堵车事件的概率均为14，则P (ξ＝k )＝C k4·⎝ ⎛⎭⎪⎫14k·⎝ ⎛⎭⎪⎫344－k (k ＝0，1，2，3，4)，所以ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14，E (ξ)＝4×14＝1，故选B.11．解析：选ACD.三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P 1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P 2＝26＝13.所以P 1＞P 2，P 1·P 2＝16，P 1＋P 2＝56，故选ACD.12．解析：选ABD.各个家庭收入差距明显适合分层抽样，故A 正确；对于B ，正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(－1，0)和(2，3)与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，故B 正确；对于C ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值|r |的值越接近于1，故C 错误；对于D ，一组数据1，a ，2，3的平均数是2，则a ＝2，所以该组数据的众数和中位数均为2，故D 正确．故选ABD.13．解析：选ABC.在A 中，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ|≤13＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13≤ξ≤13≤P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ2≤13＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33≤ξ≤33，故A 正确；在B 中，由数学期望的性质得(E (ξ))2≤E (ξ2)，故B 正确；在C 中，由方差的性质得D (ξ)＝D (1－ξ)，故C 正确；在D 中，D (ξ2)≠D ((1－ξ)2)＝4D (ξ)＋D (ξ2)，故D 错误．故选ABC.14．解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：12015．解析：法一：从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.法二：从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若这3个数分别位于不同的三行或三列，则有6种不同的取法，故这3个数分别位于不同的三行或三列的概率是684＝114，根据对立事件的概率计算公式可知，这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1－114＝1314. 答案：131416．解析：设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，由已知得P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13，设事件C 表示“该软件至多进入第三轮”，则P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝16＋56×25＋56×35×14＝58.答案：5817．解析：因为数学成绩x 服从正态分布N (100，17.52)，则P (100－17.5＜x ＜100＋17.5)＝P (82.5＜x ＜117.5)＝0.68，所以此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率P (x ≤82.5)＝1－P （82.5＜x ＜117.5）2＝1－0.682＝0.16.又P (100－17.5×2＜x ＜100＋17.5×2)＝P (65＜x ＜135)＝0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P (x ＞135)＝1－P （65＜x ＜135）2＝1－0.962＝0.02.又P (x ≤82.5)＝P (x ≥117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.02＝10. 答案：0.16 10。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：小题分类练(五) 创新迁移类含解析

小题分类练(五) 创新迁移类一、选择题 1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．313．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：m*n ＝|m ||n |sin θ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a ，b ，c ，下列结论正确的是( )A ．若a*b ＝a*c ，则b ＝cB ．(a*b )c ＝a (b*c )C ．a*b ＝(－a )*bD ．(a ＋b )*c ＝a*c ＋b*c4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．定义函数max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（f （x ）≥g （x ）），g （x ）（f （x ）＜g （x ）），则max{sin x ，cos x }的最小值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－22D.226．若定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”．下列为“K 函数”的是( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x |x |7．我们常用以下方法求形如函数y ＝f (x )g (x )(f (x )＞0)的导数：先两边同取自然对数ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导得到1y ·y ′＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )，于是得到y ′＝f (x )g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )]，运用此方法求得函数y ＝x 1x (x ＞0)的一个单调递增区间是( )A ．(e ，4)B ．(3，6)C ．(0，e)D ．(2，3)8．已知点M (－1，0)和N (1，0)，若某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线”的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④9．已知三棱锥O -ABC ，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝OB ＝2，OC ＝1，P 是△ABC 内任意一点，设OP 与平面ABC 所成的角为x ，OP ＝y ，则y 关于x 的函数的图象为( )10．若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且|a ||b |＝cos θ，则称a 被b “同余”．已知b 被a “同余”，则a －b 在a 上的投影是( )A.a 2－b 2|a |B.a 2－b 2a 2C.b 2－a 2|a |D.a 2－b 2|b |11．(多选)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝1x －1C ．f (x )＝ln(2x ＋3)D ．y ＝2x ＋312．(多选)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *且n ≥3，总存在i ，j ∈N *，使得a n ＝a i ＋a j (i ≠j ，i ＜n ，j ＜n )，则称数列{a n }是“T 数列”．则下列数列是“T 数列”的为( )A ．{2n }B ．{n 2}C ．{3n}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1 13．(多选)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交二、填空题14．若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 3的值为________．15．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n ＋2)※2 017＝(2n )※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．16．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－2，3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1，2，3)且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的(点法式)方程为____________．17．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”． (1)设f (x )＝cos x ，则f (x )在(0，π)上的“新驻点”为________；(2)如果函数g (x )＝x 与h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________．小题分类练(五) 创新迁移类1．解析：选A.由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝z －2(1＋i)＝0，解得z ＝2＋2i.所以复数z 对应的点(2，2)位于第一象限．故选A.2．解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1和12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.3．解析：选C.a ，b ，c 为两两不共线的向量，则a ，b ，c 为非零向量，故A 不正确；设a ，b 夹角为θ，b ，c 夹角为α，则(a*b )c ＝|a ||b |·sin θ·c ，a (b*c )＝|b ||c |sin α·a ，故B 不正确；a*b ＝|a ||b |·sin θ＝|－a ||b |·sin(π－θ)＝(－a )*b ，故C 正确，D 不正确．4．解析：选C.函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}，当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝±2时，y ＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.5．解析：选C.画出f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象(图略)，由图象易知所求最小值为－22. 6．解析：选D.选项A 中，函数f (x )＝x ＋1不是奇函数，故选项A 中的函数不是“K 函数”．选项C 中，函数f (x )＝1x的定义域不是R ，故选项C 中的函数不是“K 函数”．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，等价于奇函数f (x )在R 上单调递增．选项B 中，函数f (x )＝－x 3在R 上单调递减，故选项B 中的函数不是“K 函数”．选项D 中，函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在R 上单调递增且为奇函数，故选项D 中的函数是“K 函数”．故选D.7．解析：选 C.由题意知f (x )＝x ，g (x )＝1x ，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2，所以y ′＝x 1x·⎝⎛⎭⎫－1x 2ln x ＋1x ·1x ＝x 1x ·1－ln x x 2，由y ′＝x 1x ·1－ln x x 2＞0得1－ln x ＞0，解得0＜x ＜e ，即单调递增区间为(0，e)，故选C.8．解析：选C.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线”；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x －y ＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－24x ＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x ＋y －3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．9．解析：选B.设点O 在平面ABC 内的射影为O ′，连接OO ′，OP ，O ′P ，根据等体积思想得OO ′＝2×2×12×2＝22.因为∠OO ′P ＝π2，所以OP ＝OO ′sin x ，即y ＝12sin x.易知当点P 在点A 或点B 位置时，x 取得最小值π6，排除选项C ，D.又在⎣⎡⎦⎤π6，π2上，函数y ＝12sin x 单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项A.故选B.10．解析：选A.因为b 被a “同余”，所以|b ||a |＝cos θ(θ为a 与b 的夹角)，所以|b |＝|a |cosθ，所以b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝|b |·|a |·cos θ－b 2＝0，所以b ⊥(a －b )．易知a －b 与a 的夹角为π2－θ，则a ·(a －b )＝|a |·|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a |·|a －b |·sin θ. 又a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－|a |·|b |cos θ＝a 2－b 2，所以|a |2－|b |2＝|a |·|a －b |sin θ，所以a －b 在a 上的投影是|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a －b |sin θ＝a 2－b 2|a |，故选A.11．解析：选BCD.因为若对任意x ∈D ，存在y ∈D .使得f (y )＝－f (x )成立，所以只需f (x )的值域关于原点对称．A 中函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)．不关于原点对称．不符合；B 中函数y ＝1x －1的值域为{y |y ≠0}，关于原点对称．符合；C 中函数f (x )＝ln(2x ＋3)的值域为R ，关于原点对称．符合；D 中函数y ＝2x ＋3的值域为R .关于原点对称．符合．12．解析：选AD.令a n ＝2n ，则a n ＝a 1＋a n －1(n ≥3)，所以数列{2n }是“T 数列”；令a n＝n 2，则a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{n 2}不是“T 数列”；令a n ＝3n ，则a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{3n}不是“T 数列”；令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －3＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫1－52n －1是“T 数列”．故选AD.13．解析：选BCD.对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 未必与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．14．解析：因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2.于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2，又a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.答案：1615．解析：设a n ＝(2n )※2 017，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 02516．解析：由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据BQ →⊥m ，得BQ →·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故所求平面的方程为x ＋2y －z －2＝0.答案：x ＋2y －z －2＝017．解析：(1)根据题意，f (x )＝cos x ，其导数f ′(x )＝－sin x ，若f (x )＝f ′(x )，即cos x ＝－sin x ，则有tan x ＝－1.又由x ∈(0，π)得x ＝3π4，即f (x )在(0，π)上的“新驻点”为3π4.(2)函数g (x )＝x ，其导数g ′(x )＝1，由g (x )＝g ′(x )，得x ＝1，则函数g (x )＝x 的“新驻点”α＝1，h (x )＝ln(x ＋1)，则h ′(x )＝1x ＋1，h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”为β，则有ln(β＋1)＝1β＋1，令β＋1＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，令g (t )＝ln t －1t ，则g ′(t )＝1t ＋1t 2＞0，所以g (t )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝－1，g (2)＝ln 2－12＝ln 4e＞0，所以当g (t )＝0时，t ∈(1，2)，所以0＜β＜1，则有α＞β.答案：(1)3π4 (2)α＞β。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破课件：第二部分概率、离散型随机变量及其分布列

解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1－P(－C )＝1－110·p＝4590，解
得 p＝15. (2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D，“系统 A 在 3 次相互独立的检测中发生 k 次故障”为事件 Dk. 则 D＝D0＋D1，且 D0，D1 互斥．依题意，得 P(D0)＝C031－1103，
5．(2019·济南模拟)某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门．现随机地取 1 把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
解析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23＝13.如果
[山东省学习指导意见] 1．概率 (1)在具体情境中，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． (2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．了解两个互斥事件的概率加法公式． (3)了解随机数的意义，初步体会几何概型的意义．
2．离散型随机变量及其分布列 (1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性． (2)了解条件概率和两个事件相互独立的概念．理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，理解超几何分布及其导出过程，并能解决一些简单的实际问题． (3)理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． (4)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
(2)X 可取 0，1，2，3 P(X＝0)＝CC04C31036＝16；P(X＝1)＝CC14C31026＝12； P(X＝2)＝CC24C31016＝130；P(X＝3)＝CC34C31006＝310. X 的分布列为

新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：小题强化练小题强化练(四)

小题强化练(四)一、选择题1．设集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0<x ≤4}，B ＝{x |e x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(－∞，2)D ．R2．若i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1－i|＋i ，则z 的虚部为( ) A.2－12B.2－1C.－2＋12iD.1－223．设随机变量X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 5394．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为( )A.133升B.176升C.199升 D.2512升 5.某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A.13B.23C.14D.346．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 面积的最大值是( )A ．1 B. 3 C ．4D ．67．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，A ∩B ＝∅；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．10B ．12C ．14D ．168．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则( )A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x 9．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2π3，AP ＝3，AB ＝23，Q 是BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π10．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意实数x 都有f ′(x )＝e x (2x ＋3)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，若不等式f (x )－k <0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1e ，0 B.⎣⎡⎦⎤－1e 2，0 C.⎝⎛⎦⎤－1e 2，0 D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 11．(多选)若直线3x －y ＋c ＝0向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )A ．14B ．12C ．－12D ．－612．(多选)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，下列结论正确的是( )A.CA →在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA →在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC →13．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＞0，S 16＜0，则( )A ．a 8＞0B ．a 9＜0C.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 9a 9D.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8 二、填空题14．已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b )＝3，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝________． 15．已知奇函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则f ⎝⎛⎭⎫13＝________．16．已知抛物线y 2＝4x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 的面积的最小值是________．17．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f (x )＝12a sin 2x －(a ＋2)cos x －(a ＋1)x在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝________，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最小值是________．小题强化练(四)1．解析：选B.A ＝(－∞，2]，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(0，2]． 2．解析：选D.由题意得z ＝2＋i 1＋i＝（2＋i ）（1－i ）2＝2＋12＋1－22i ，则z 的虚部为1－22. 3．解析：选B.由正态分布的概率分布特点可得P (1<X ≤2)＝12P (0<X ≤2)＝12×0.682 7＝0.341 35.又正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为0.658 65，所以向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点估计有6 587个．4．解析：选B.设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得a 1＝1322，d ＝766，则第1，3，9节的容积之和为a 1＋a 3＋a 9＝3a 1＋10d ＝3922＋7066＝176(升)．5．解析：选B.某人由小区A 到小区H 的最短路径有6条，分别为ABCEH ，ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，ADFGH ，其中经过市中心O 的有ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，共4条，故所求概率P ＝46＝23.6．解析：选B.由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 和正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，则2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则4＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，当且仅当a ＝c ＝2时取等号．则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3，即△ABC 面积的最大值是 3.7．解析：选A.对非空集合A ，B 中的元素按个数分类：(1)当集合A 中只有1个元素时，集合B 中有5个元素，则A ＝{5}，B ＝{1，2，3，4，6}，只有1种可能；(2)当集合A 中有2个元素时，集合B 中有4个元素，则A 中必有元素4，B 中必有元素2，则A ＝{1，4}，B ＝{2，3，5，6}或A ＝{3，4}，B ＝{1，2，5，6}或A ＝{4，5}，B ＝{1，2，3，6}或A ＝{4，6}，B ＝{1，2，3，5}，共4种可能；(3)集合A 中不可能有3个元素；(4)当集合A 中有4个元素时，集合B 中有2个元素，与情况(2)相同，只需A ，B 互换即可，共4种可能；(5)当集合A 中有5个元素时，集合B 中有1个元素，与情况(1)相同，只需A ，B 互换即可，共1种可能．综上可得，有序集合对(A ，B )的个数为10.8．解析：选C.由3x ＝2得x ＝log 32，则2>1x ＝log 32>log 2e ＝1y >1，则12<x <y <1.又z ＝5－12＝55<12，则z <x <y . 9.解析：选B.设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，半径为R ，如图所示，则0<sin θ＝P A PQ ＝3PQ ≤32，所以PQ ≥23，则PQ 的最小值为23，AQ 的最小值是3，即点A 到BC 的距离为3，所以∠BAQ ＝π3.因为∠BAC ＝2π3，所以∠CAQ ＝π3，所以AB ＝AC ＝23，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 2π3＝(23)2＋(23)2－2×23×23×⎝⎛⎭⎫－12＝36.所以BC ＝6.取△ABC 的外接圆的圆心为O ′，则圆O ′的半径r ＝12×6sin2π3＝2 3.连接OO ′，作OM ⊥P A 于点M ，则点M 为P A 的中点，所以R 2＝OA 2＝OP 2＝(23)2＋⎝⎛⎭⎫322＝574，故三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝57π.10．解析：选C.令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x＝2x ＋3，则g (x )＝x 2＋3x ＋c ，c ∈R ，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋c )，则f (0)＝c ＝1，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)，f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4)＝e x (x ＋4)·(x ＋1)．当x <－4或x >－1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－4<x <－1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－4，－1)上单调递减．由f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)＝0，得x 2＋3x ＋1＝0，由Δ>0，可知f (x )只有2个零点．由f (－4)＝5e 4>0，f (－3)＝1e 3>0，f (－2)＝－1e 2<0，f (－1)＝－1e <0，f (0)＝1>0，且x →－∞时，f (x )→0＋，则可作出函数f (x )的大致图象如图．若不等式f (x )<k 的解集中有2个整数时，则这2个整数是－1，－2.又f (－2)＝－1e 2，则－1e 2<k ≤0.11．解析：选AD.圆x 2＋y 2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径r ＝10，直线3x －y ＋c ＝0，变形为y ＝3x ＋c ，根据平移规律得到平移后直线的解析式为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d ＝|c －4|10＝r ＝10，解得c ＝14或－6.12.解析：选BCD.由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB →|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB →＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC →＝2，故B ，D 正确．13．解析：选ABD .由S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8＞0，得a 8＞0.A 正确．由S 16＝15（a 1＋a 16）2＝15（a 9＋a 8）2＜0，得a 9＋a 8＜0，所以a 9＜0，且d ＜0.B 正确．所以数列{a n }为递减的数列．所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15＞0，S 16，…，S n ＜0，则S 9a 9＜0，S 10a 10＜0，…，S 8a 8＞0，又S 8＞S 1，a 1＞a 8，所以S 8a 8＞S 1a 1＞0，所以S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8，C 错误，D 正确．14．解析：b ·(a ＋b )＝a ·b ＋|b |2＝3，又|b |＝2，则a ·b ＝－1，所以|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 3. 答案： 315．解析：由f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，f ′(x )＝－Aωcos ωx ，由题知E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则Aω＝32，最小正周期T ＝2，则ω＝2πT ＝π，A ＝32π，则f (x )＝－32π·sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝－32πsin π3＝－34π. 答案：－34π16．解析：由题意可设直线AB ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)．因为点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y 1y 2<0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，x 1x 2＝（y 1y 2）216＝m 2，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－4m ＝－4，解得m ＝2，则直线AB 恒过点(2，0)，y 1y 2＝－8，则△ABO 的面积S ＝12×2|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋8y 1≥28＝42，当且仅当y 1＝±22时取等号，故△ABO 面积的最小值是4 2.答案：4 217．解析：函数f (x )的导数为f ′(x )＝a cos 2x ＋(a ＋2)sin x －a －1＝a (1－2sin 2x )＋(a ＋2)sin x －a －1＝－2a sin 2x ＋(a ＋2)sin x －1＝－(2sin x －1)(a sin x －1)．当sin x ＝12，即x ＝π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，f ′(x )＝0.所以要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝2，此时f ′(x )＝－(2sin x－1)2≤0恒成立，即f (x )单调递减，故在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3π2.答案：2 －32π。

2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第二部分专题六第4讲导数与不等式 Word版含解析

第4讲导数与不等式证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x<x<e x(x>0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．－x2＋2ln x2<0.续表[典型例题](2019·四省八校双教研联考)已知函数f (x )＝ax －ax ln x －1(a ∈R ，a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x >1时，求证：1x －1>1ex －1. 【解】 (1)f ′(x )＝a －a (ln x ＋1)＝－a ln x ，若a >0，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；若a <0，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：要证1x －1>1e x －1，即证x x －1>e －x ，即证x －1x <e x ，又由第(1)问令a ＝1知f (x )＝x －x ln x －1在(1，＋∞)上单调递减，f (1)＝0，所以当x >1时，x －x ln x －1<0，即x －1x <ln x ，则只需证当x >1时，ln x <e x 即可．令F (x )＝e x －ln x ，x >1，则F ′(x )＝e x －1x 单调递增，所以F ′(x )>F ′(1)＝e －1>0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (x )>F (1)，而F (1)＝e ，所以e x －ln x >e>0，所以e x >ln x ，所以e x >ln x >x －1x ，所以原不等式得证．一般地，要证f (x )>g (x )在区间(a ，b )上成立，需构造辅助函数F (x )＝f (x )－g (x )，通过分析F (x )在端点处的函数值来证明不等式．若F (a )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递增即可；若F (b )＝0，只需证明F (x )在(a ，b )上单调递减即可．[对点训练]1．(2019·唐山模拟)设f (x )＝2x ln x ＋1. (1)求f (x )的最小值；(2)证明：f (x )≤x 2－x ＋1x ＋2ln x .解：(1)f ′(x )＝2(ln x ＋1)．所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝1e 时，f (x )取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－2e . (2)证明：x 2－x ＋1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x－2(x －1)ln x＝(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ，令g (x )＝x －1x －2ln x ，则g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝（x －1）2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0.所以当0<x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ≥0，即f (x )≤x 2－x ＋1x＋2ln x .2．已知函数f (x )＝a e x －b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1e －1x ＋1. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>0.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1e －1，所以⎩⎨⎧a e ＝1e ，a e －b ＝1e －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e 2，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝1e2·e x －ln x (x >0)．因为f ′(x )＝e x －2－1x 在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)<0，f ′(2)>0，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1，2)．当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值．由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2＝1x 0，则x 0－2＝－ln x 0.故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2－ln x 0＝1x 0＋x 0－2>21x 0·x 0－2＝0，所以f (x )>0.根据不等式确定参数范围一般地，若a >f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a >f (x )max ；若a <f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a <f (x )min .若存在x 0∈D ，使a >f (x 0)成立，则只需a >f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a <f (x 0)成立，则只需a <f (x 0)max ，由此构造不等式，求解参数的取值范围．分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．<2＋22＋…＋2n＝1－的函数，利用函数最值确定参数的取值范围．在构造函数或求最值过程中常用的放缩方法有函数放缩法，基本不等式放缩法，叠加不等式放缩法等．[典型例题](2019·福建五校第二次联考)已知函数f (x )＝ln x －mx 2，g (x )＝12mx 2＋x ，m ∈R ，令F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当m ＝12时，求函数f (x )的单调区间及极值；(2)若关于x 的不等式F (x )≤mx －1恒成立，求整数m 的最小值．【解】 (1)由题意得，f (x )＝ln x －12x 2(x >0)，所以f ′(x )＝1x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.由f ′(x )>0，得0<x <1，所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，由f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f (x )极大值＝f (1)＝－12，无极小值．(2)法一：令G (x )＝F (x )－(mx －1)＝ln x －12mx 2＋(1－m )x ＋1，所以G ′(x )＝1x －mx ＋(1－m )＝－mx 2＋（1－m ）x ＋1x.当m ≤0时，因为x >0，所以G ′(x )>0，所以G (x )在(0，＋∞)上是增函数．又G (1)＝－32m ＋2>0，所以关于x 的不等式F (x )≤mx －1不能恒成立．当m >0时，G ′(x )＝－mx 2＋（1－m ）x ＋1x ＝－m ⎝⎛⎭⎫x －1m （x ＋1）x.令G ′(x )＝0，得x ＝1m，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m 时，G ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞时，G ′(x )<0. 因此函数G (x )在⎝⎛⎭⎫0，1m 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上是减函数．故函数G (x )的最大值为G ⎝⎛⎭⎫1m ＝12m －ln m .令h (x )＝12x －ln x ，因为h (1)＝12>0，h (2)＝14－ln 2<0，h (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以当x ≥2时，h (x )<0，所以整数m 的最小值为2.法二：由F (x )≤mx －1恒成立，知m ≥2（ln x ＋x ＋1）x 2＋2x (x >0)恒成立．令h (x )＝2（ln x ＋x ＋1）x 2＋2x (x >0)，则h ′(x )＝－2（x ＋1）（2ln x ＋x ）（x 2＋2x ）2. 令φ(x )＝2ln x ＋x ，因为φ⎝⎛⎭⎫12＝12－ln 4<0，φ(1)＝1>0，且φ(x )为增函数，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使φ(x 0)＝0，即2ln x 0＋x 0＝0.当0<x <x 0时，h ′(x )>0，h (x )为增函数，当x >x 0时，h ′(x )<0，h (x )为减函数．所以h (x )max ＝h (x 0)＝2ln x 0＋2x 0＋2x 20＋2x 0＝1x 0. 而x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以1x 0∈(1，2)，所以整数m 的最小值为2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常先将问题转化为形如a ≥f (x )(或a ≤f (x ))的形式，再通过求函数f (x )的最值求得参数范围．[对点训练](2019·广东六校第一次联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x .(1)求函数f (x )在[1，＋∞)上的值域；(2)若∀x ∈[1，＋∞)，ln x (ln x ＋4)≤2ax ＋4恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)易知f ′(x )＝－1－ln xx 2<0(x ≥1)，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (1)＝2. 因为x ≥1时，f (x )>0，所以f (x )在[1，＋∞)上的值域为(0，2]．(2)令g (x )＝ln x (ln x ＋4)－2ax －4，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫ln x ＋2x －a ，①若a ≤0，则由(1)可知，g ′(x )>0，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，因为g (e)＝1－2a e>0，与题设矛盾，所以a ≤0不符合要求．②若a ≥2，则由(1)可知，g ′(x )≤0，g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )≤g (1)＝－2a －4<0，所以a ≥2符合要求．③若0<a <2，则∃x 0∈(1，＋∞)，使得ln x 0＋2x 0＝a ，则g (x )在[1，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (x 0)＝ln x 0(ln x 0＋4)－2ax 0－4. 因为ln x 0＝ax 0－2，所以g (x )max ＝(ax 0－2)(ax 0＋2)－2ax 0－4＝(ax 0＋2)·(ax 0－4)．由题意知g (x )max ≤0，即(ax 0＋2)(ax 0－4)≤0，－2≤ax 0≤4，即－2≤ln x 0＋2≤4⇒1<x 0≤e 2.因为a ＝ln x 0＋2x 0，且由(1)可知f (x )＝ln x ＋2x 在(1，＋∞)上单调递减，所以4e 2≤a <2.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4e 2，＋∞.1．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解：(1)由f (x )＝e x －2x ＋2a (x ∈R )，知f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 当x <ln 2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－∞，ln 2)上单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(ln 2，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a ，无极大值．(2)证明：要证当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1，即证当a >ln 2－1且x >0时，e x －x 2＋2ax －1>0.设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1(x ≥0)．则g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，由(1)知g ′(x )min ＝g ′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a . 又a >ln 2－1，则g ′(x )min >0.于是对∀x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增．于是对∀x >0，都有g (x )>g (0)＝0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝m e x －ln x －1.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若m ∈(1，＋∞)，求证：f (x )>1. 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝e x －ln x －1，所以f ′(x )＝e x －1x，所以f ′(1)＝e －1，又因为f (1)＝e －1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x . (2)证明：当m >1时，f (x )＝m e x －ln x －1>e x －ln x －1，要证明f (x )>1，只需证明e x －ln x －2>0，设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x －1x (x >0)，设h (x )＝e x －1x (x >0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2>0，所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，因为g ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，g ′(1)＝e －1>0，所以函数g ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为g ′(x 0)＝0，所以e x 0＝1x 0，即ln x 0＝－x 0，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)，故g (x )≥g (x0)＝e x 0－ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2>0，综上可知，若m ∈(1，＋∞)，则f (x )>1.3．(2019·济南市学习质量评估)已知函数f (x )＝x (e x ＋1)－a (e x －1)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为1，求实数a 的值； (2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x e x ＋e x ＋1－a e x .因为f ′(1)＝e ＋e ＋1－a e ＝1，所以a ＝2.(2)设g (x )＝f ′(x )＝e x ＋1＋x e x －a e x ，则g ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x －a e x ＝(x ＋2－a )e x ，设h (x )＝x ＋2－a ，注意到f (0)＝0，f ′(0)＝g (0)＝2－a ，(i)当a ≤2时，h (x )＝x ＋2－a >0在(0，＋∞)上恒成立，所以g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以g (x )>g (0)＝2－a ≥0，所以f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立．所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0在(0，＋∞)上恒成立，符合题意．(ii)当a >2时，h (0)＝2－a <0，h (a )＝2>0，∃x 0∈(0，a )，使得h (x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，所以g ′(x )<0，所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，所以f ′(x )在(0，x 0)上是减函数．所以f ′(x )<f ′(0)＝2－a <0，所以f (x )在(0，x 0)上是减函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上所述，a ≤2，即实数a 的取值范围为(－∞，2]．4．(2019·福建五校第二次联考)已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求a 的取值范围； (2)当x >1时，f (x )<(1－m )x 2恒成立，求m 的取值范围．解：(1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x. (i)当a ＝0时，g (x )＝x 2，x >0时无零点．(ii)当a >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a ，则g (x 0)＝g (e －1a)＝－1＋⎝⎛⎭⎫e －1a 2<0，因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)<0，此时函数g (x )恰有一个零点．(iii)当a <0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝－a 2.当0<x <－a 2时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a 2上单调递减；当x >－a 2时，g ′(x )>0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增．要使函数g (x )恰有一个零点，则g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln －a 2－a 2＝0，即a ＝－2e. 综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0恒成立．h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝（x －1）（2mx －1）x.(i)若0<m <12，则x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞时，h ′(x )>0恒成立，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝⎛⎭⎫h ⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞，所以不符合题意． (ii)若m ≥12，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈()h （1），＋∞，所以不符合题意．(iii)若m ≤0，则x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是h (x )<0对任意的x ∈(1，＋∞)都成立的充要条件是h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上，m 的取值范围是[－1，0]．。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：计数原理与二项式定理练典型习题提数学素养

一、选择题1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )A ．10种B ．40种C ．70种D ．80种解析：选B.若Grace 不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C 15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C 24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C 15C 24＝30种搜寻方案；若Grace 参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C 25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C 25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.2．(2019·合肥市第一次质量检测)若⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式的常数项为60，则a 的值为( )A ．4B ．±4C ．2D ．±2解析：选D.⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(ax )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·a 6－r ·C r6·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4，则(－1)4·a 2·C 46＝60，解得a ＝±2，故选D. 3．(2019·重庆市七校联合考试)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：选C.由多项式乘法知，若求⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数，只需求(1＋x )6展开式中x 2和x 4的系数．(1＋x )6展开式中含x 2和x 4的项分别是C 26x 2＝15x 2和C 46x 4＝15x 4，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数是30.故选C. 4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A ．4种B ．8种C ．12种D ．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.5．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于()A．80 B．－80C．－160 D．－240解析：选D.因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C45×(－1)4×C55×(－2)5＋C55×(－1)5×C45×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D.6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A．5 B．10C．15 D．20解析：选A.在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a ＝1，故(x＋1)5的展开式的通项T r＋1＝C r5x5－r.当r＝1时，得T2＝C15x4＝5x4，当r＝4时，得T5＝C45x＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A.7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()A．72 B．70C．66 D．64解析：选D.从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有()A．900种B．600种C．300种D．150种解析：选B.第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C25×A44＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C46×A44＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B.9．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.10．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33，故总编排方案有A 22A 33＋A 22A 33＋C 12A 22A 33＋C 13A 22A 33＋C 13A 22A 33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．11．(多选)若二项式⎝⎛⎭⎫x ＋m x 6展开式中的常数项为15，则实数m 的值可能为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选AB.二项式⎝⎛⎭⎫x ＋m x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫m x r＝C r 6x 6－32rm r .令6－32r ＝0，得r ＝4，常数项为C 46m 4＝15，则m 4＝1，得m ＝±1.故选AB.12．(多选)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选BC.由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选BC.13．(多选)(2019·山东日照期末)把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有( )A ．C 13C 12C 11C 13种B ．C 24A 33种C ．C 13C 24A 22种D ．18种解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分两步进行分析：法一：①先将四个不同的小球分成3组，有C 24种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33种放法．则不允许有空盒子的放法有C 24A 33＝36种．法二：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有C 13C 24种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A 22种放法，则不允许有空盒的放法有C 13C 24A 22＝36种，故选BC.二、填空题14．在⎝⎛⎭⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．解析：⎝⎛⎭⎫x ＋4x －45的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r ·⎝⎛⎭⎫x ＋4x r，r ＝0，1，2，3，4，5，⎝⎛⎭⎫x ＋4x r的展开式的通项T k ＋1＝C k r xr －k⎝⎛⎭⎫4x k＝4k C krx r －2k ，k ＝0，1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.所以x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.答案：18015．(2019·福州市质量检测)(1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为________．解析：设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7①，令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7②，②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)．答案：316．(2019·湖南郴州一模改编)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为256，则n 的值为________，展开式中1x2的系数是________．解析：令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为2n＝256，所以n ＝8，所以⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 28，它的展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(－1)r ·38－r·x 8－53r . 令8－5r 3＝－2，可得r ＝6，则展开式中1x 2的系数为C 68·32＝252. 答案：8 25217．(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C 316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C 24×C 112，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C 14×C 34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C 316－C 24×C 112－C 14×C 34＝472.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C 14×C 14×C 14＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C 23×C 12×C 24×C 14＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C 14×C 23×C 14×C 14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C 14×C 13×C 24＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：472。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章阶段强化练(二) Word版含解析

阶段强化练(二)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(5,6) 答案 C解析令f (x )＝log 3x ＋2x －6，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续，因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)，即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C. 3．(2018·咸阳模拟)函数f ()x ＝2x －1x 零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1x的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1x 的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个答案 B解析因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.6．(2019·山西大学附中诊断)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12<0，个数是1.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为3.故选D.7．(2019·珠海摸底)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，ln (x －1)，x >1，若函数g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞， 0]∪{2} B ．[0, ＋∞)∪{－2} C ．(－∞， 0] D ．[0, ＋∞)答案 A解析因为g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点，所以y ＝f (x )与y ＝x －a 只有一个交点，作出函数y ＝f (x )与y ＝x －a 的图象，y ＝x －a 与y ＝e x －1(x ≤1)只有一个交点，则－a ≥0，即a ≤0，y ＝ln(x －1)，x >1与y ＝x －a 只有一个交点，则它们相切，因为y ′＝1x －1，令1x －1＝1，则x ＝2，故切点为(2,0)，所以0＝2－a ，即a ＝2，综上所述，a 的取值范围为(－∞ , 0]∪{2}．故选A.8．(2019·淄博期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a(a >0)，若存在实数b 使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,2 019) D ．[1，＋∞)答案 B解析由题设有f (x )为(－∞，a ]上的增函数，也是(a ，＋∞)上的增函数，当a 3>a 2时，f (x )不是R 上的增函数，故必定存在b ，使得直线y ＝b 与f (x )的图象有两个交点，即g (x )＝f (x )－b 有两个零点，此时a >1.故选B.9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2，如果g (x )＝f (x )－log 5|x －1|，则方程g (x )＝0的所有根之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )及y ＝log 5|x －1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x ＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.10．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D解析 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，画出函数g (x )，f (x )在区间[－2,6]上的图象，函数g (x )，f (x )的图象关于点(2,1)对称，则F (x )＝0在区间[－2,6]上共有8个零点，其和为16.故选D.11．(2019·河北衡水中学模拟)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析曲线f (x )的“优美点”个数，就是x <0的函数f (x )关于原点对称的函数图象，与y ＝2－x (x ≥0)的图象的交点个数，由当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，得关于原点对称的函数y ＝－x 2＋2x ，x >0，联立y ＝－x ＋2和y ＝－x 2＋2x ，解得x ＝1或x ＝2，则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”，曲线f (x )的“优美点”个数为2，故选B.12．(2019·惠州调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x <2，2－x e x ，x ≥2，若函数F (x )＝f (x )－m 有 6 个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1e 3，14 B.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0∪⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎦⎤－1e 3，0 D.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0 答案 C解析函数f (x )是定义在R 上的偶函数，函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，则当x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点，令F (x )＝f (x )－m ＝0，即m ＝f (x )，①当0≤x ＜2时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，当x ＝12时有最大值，即为f ⎝⎛⎭⎫12＝14，且f (x )＞2－4＝－2，故f (x )在[0,2)上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，14. ②当x ≥2时，f (x )＝2－xex ≤0，且当x →＋∞时，f (x )→0， ∵f ′(x )＝x －3ex ，令f ′(x )＝x －3e x ＝0，解得x ＝3，当2≤x ＜3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ≥3时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝－1e3，故f (x )在[2，＋∞)上的值域为⎣⎡⎦⎤－1e 3，0， ∵－1e3＞－2，∴当－1e 3＜m ≤0，x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点，故当－1e 3＜m ≤0时，函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，故选C. 二、填空题13．(2019·西安一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，x 2－3x ＋1，x >0，则f (x )零点的个数是________．答案 3解析令2x －1＝0，解得x ＝0，令x 2－3x ＋1＝0，解得x ＝3±52，所以函数零点的个数为3.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln (x －1)|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______________．答案 (1,2]解析函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同交点，作出函数y ＝f (x )的图象：由图易得a ∈(1,2]．15．(2019·山东胶州一中模拟)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (x ＋1)＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时f (x )＝2x －1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为________．答案 11解析由题意知，函数满足f (1－x )＝f (x ＋1)，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，又f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的零点个数，即函数y ＝|cos πx |和y ＝f (x )在[－1,3]上图象的交点的个数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，在同一坐标系内，作出两个函数在[－1,3]的图象的草图，如图所示，结合图象可知，两个函数共有11个交点，即方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上有11个根，所有根的和为2×5＋1＝11.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－12，0 解析当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0，易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解，故m ＝12x －x .又g (x )＝12x －x 在(0,1]上是减函数，故m ≥12－1＝－12.即m ≥－12时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx ＋2＝0得，m ＝－2x ，故－2<m <0，即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解，综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是－12≤m <0.三、解答题17．(2019·湖南岳阳一中质检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥32，－3－x ，x <32，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，－3－x ≥0，解得x ≥3或x ≤－3，则原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象(图略)，可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时， a 的取值范围是(－2,2)．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)．(1)画出函数f (x )的图象； (2)求x 1f (x 2)的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，可得函数f (x )的图象如图所示．(2)由存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，m ∈(0,2]，且x 1∈(－2,0]，x 2∈(0,1)，则f (x 1)＝m ，即x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2，所以x 1f (x 2)＝(m －2)×m ＝m 2－2m ＝(m －1)2－1， m ∈(0,2]，当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1，当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0，所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1,0]．。

【精选】2020届高考数学(鲁京津琼)专用精练：阶段自测卷(四)含解析

阶段自测卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·衡水中学考试)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．(2019·四川诊断)若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 2a 1等于( )A.32B.23C.12 D ．2 答案 A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d . 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d ＝32.故选A.3．(2019·四省联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于( ) A ．－160 B ．－80 C ．20 D ．40 答案 B解析由于数列为等差数列，故⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝30，10a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B. 4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5 000 m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前1天多跑200 m ，则这个同学7天一共将跑( ) A ．39 200 m B ．39 300 m C ．39 400 m D ．39 500 m 答案 A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5 000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5 000×7＋7×62×200＝39 200 (m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于( )A.139B.79 C ．3 D ．1 答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列， ∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2 019位于分组序列中的( ) A ．第404组 B ．第405组 C ．第808组 D ．第809组答案 A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2 019为第1 010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2 019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a 9等于( ) A ．1 290 B ．1 280 C ．1 281 D ．1 821 答案 C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫S n n －1，又S 11－1＝a 1－1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n －1是首项为1，公比为2的等比数列，所以S nn －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故 a 9＝10×128＋1＝1 281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A.175264B.3988C.173264D.181264 答案 A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n ＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n ＝n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以数列{b n }的前n 项和为T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，所以T 10＝12⎝⎛⎭⎫32－111－112＝175264，故选A. 12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N * ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018<1 ，则实数x 可以等于( )A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案 B解析 ∵a n ＝nx (x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)，当x ＝－23时，x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2 018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2 018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，2×⎝⎛⎭⎫12a 1＋12×112d ＝2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10. 14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π，则S 2 019＝________. 答案 2 020解析 ∵a n ＝(2n －1)sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋2 019π ＝(1－2n )sinn π2， ∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4， ∴S 2 019＝504×4＋a 2 017＋a 2 018＋a 2 019 ＝2 016＋[(1－2×2 017)＋0＋(2×2 019－1)] ＝2 016＋4＝2 020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案 3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1 ＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解 ∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5. 当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1， ∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列， ∴a n ＝5·5n －1＝5n . ∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明 ∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3. (1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n . (1)证明 b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)证明：{a n ＋1}是等比数列； (2) 若数列b n ＝log 2(a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b2n －1·b 2n ＋1的前n 项和T n . (1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. ∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)， ∴a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴ {a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＝2n ， ∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. 21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n . (1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n . 解 (1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，n ，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ， ∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列， ∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ≥m 成立，求实数m 的最大值．解 (1)∵S n ＝2a n －2， ① ∴S n ＋1＝2a n ＋1－2， ② ∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)， ∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n n 成等差数列，公差为12.首项T 11＝b 11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n 2n ＝n2n －1＝n ⎝⎛⎭⎫12n －1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n ，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12M n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④得，12M n ＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n ×⎝⎛⎭⎫12n＝2－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n， ∴M n ＝4－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n－4＋(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1＝n ＋12n >0. ∴{M n }为递增数列，且(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1>0，∴M n <4. ∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。

2020版高考数学(鲁京津琼)阶段滚动检测(四)

一、选择题1．(2018·珠海模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{0,1,2,4}，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{1,2}D ．{0,1,2,4}2．(2019·广东联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a 等于( ) A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.53．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象经过A ⎝⎛⎭⎫－π6，－2，B ⎝⎛⎭⎫π4，2两点，则ω的( ) A ．最小值为125B ．最大值为125C ．最小值为3D ．最大值为34．两等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝n ＋12n ，则a 8b 5等于( )A.45B.67C.89D ．2 5．(2019·内蒙古赤峰二中月考)“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢三节贮两升五，唯有中间三节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]四升五：4.5升．次第：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间三节的容积为( ) A ．3升 B ．3.25升 C ．3.5升 D ．3.75升6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192C ．10D ．12 7．在Rt △ABC 中斜边BC ＝a ，以A 为中点的线段PQ ＝2a ，则BP →·CQ →的最大值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．2 28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，cos 2A 2＝12＋b2c ，则△ABC 的形状为( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9．已知函数f (x )＝－x －x 3，α，β，γ∈R ，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f (α)＋f (β)＋f (γ)的值( ) A. 恒为正数 B. 恒等于零 C. 恒为负数D. 可能大于零，也可能小于零 10．函数y ＝x 2e x 的图象大致为( )11．已知函数f (x ＋2)是偶函数，且当x >2时满足xf ′(x )>2f ′(x )＋f (x )，则( ) A ．2f (1)<f (4) B ．2f ⎝⎛⎭⎫32>f (3) C ．f (0)<4f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (1)<f (3)12．(2019·重庆綦江区实验中学月考)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于( )A.2b 2＋2b 2B.3c 2＋2c 2 C ．5 D ．13二、填空题13．已知(a ＋i)(2＋b i)＝1＋3i 1－i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n (n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________. 15．已知a >0，b >0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．16．已知函数是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x ·(x ＋1)，给出下列命题： ①x >0时，f (x )＝e x (1－x )； ②函数有2个零点；③f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)； ④∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2. 其中正确的命题为____________．(填序号)。

(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分54分专项练54分专项练(一)18、19、20、21(含解析)

54分专项练(一) 18、19、20、211．已知数列{a n }，a 1＝3，且na n ＋1－a n ＝na n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a ＝b ＋2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)若a ＋b ＝5，c ＝13，求△ABC 的面积．3．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE＝60°，G为BE的中点．(1)求证：AG⊥平面ADF；(2)若AB＝3BC，求二面角DCAG的余弦值．4．某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工工资的频数分布表以及B企业员工工资的饼状图如下：A企业：B企业：(1)若将频率视为概率，现从B 企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5 000元的概率；(2)①若从A 企业工资在[2 000，5 000)元的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人工资在[3 000，4 000)元的人数X 的分布列；②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．第二部分|解答题规范练54分专项练54分专项练(一) 18、19、20、211．解：(1)由na n ＋1－a n ＝na n ，得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1，以上n －1个式子相乘得a na 1＝n .因为a 1＝3，所以a n ＝3n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ，n ∈N *.(2)由等差数列前n 项和公式得S n ＝n （3n ＋3）2，所以1S n＝23n （n ＋1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝2n3n ＋3.2．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得2sin A ＝sin B ＋2sin C cos B ，则2sin(B ＋C )＝sin B ＋2sin C cos B ，得2sin B cos C ＝sin B . 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos C ＝12.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得13＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，得ab＝4.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.3．解：(1)证明：因为矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD ⊥AB ，矩形ABCD ∩菱形ABEF ＝AB ，所以AD ⊥平面ABEF .因为AG ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AG .因为菱形ABEF 中，∠ABE ＝60°，G 为BE 的中点，所以△ABE 为等边三角形．所以AG ⊥BE ，即AG ⊥AF .因为AD ∩AF ＝A ，所以AG ⊥平面ADF .(2)由(1)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG ，AF ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝3BC ＝3，则BC ＝1，AG ＝32，所以A (0，0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，D (0，0，1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，所以AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AD →＝(0，0，1)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.设平面ACD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎨⎧n 1·AC →＝32x 1－32y 1＋z 1＝0，n 1·AD →＝z 1＝0，取y 1＝3，得n 1＝(1，3，0)．设平面ACG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC →＝32x 2－32y 2＋z 2＝0，n 2·AG →＝32x 2＝0，取y 2＝2，得n 2＝(0，2，3)．设二面角D CA G 的平面角为θ，所以cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝232×7＝217，由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G 的余弦值为－217. 4．解：(1)由饼状图知，B 企业员工工资不低于5 000元的有50＋16＋2＝68(人)，故所求概率为68100＝0.68.(2)①A 企业员工工资在[2 000，5 000)元中的三个不同层次的人数比为1∶2∶4，按照分层抽样可知，所抽取的7人工资在[3 000，4 000)元的人数为2，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121，因此X 的分布列为②A 企业员工的平均工资：100×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)；B 企业员工的平均工资：1100×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．参考答案1：选企业B ，因为B 企业员工的平均工资不仅高，且工资低的人数少．参考答案2：选企业A ，因为A 企业员工的平均工资只比B 企业低10元，但是A 企业有高工资的团体，说明发展空间较大，获得8 000元以上的高工资是有可能的．(答案不唯一，只要言之有据，理由充分即可)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

54分专项练(四) 18、19、20、21
1．已知正项数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋a n －1＝2n －1
a n －a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3；
(2)设数列{b n }满足b n ＝(a n －1)2－n 2，证明：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项．
2．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c cos A ＋33a cos C ＝0，tan (2 019π＋2A )＝34
.
(1)求tan C 的大小；
(2)若C 为钝角且c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．
3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝3，AC ＝2，点E 是PD 的中点．
(1)求证：PB ∥平面AEC ；
(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M -AC -E 的余弦值为10
10
？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．
4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？
(2)UV 胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为1
2，每个环
节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为2
3，此环节不合格需要修复
的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
54分专项练(四) 18、19、20、21
1．解：(1)由已知可得a 2＋a 1＝3
a 2－a 1
＋2，因为a 1＝2，
所以a 22－22＝3＋2(a 2－2)，即a 2
2－2a 2－3＝0，
因为a 2>0，所以a 2＝3. 又a 3＋a 2＝5a 3－a 2
＋2，a 2＝3，
所以a 23－9＝5＋2(a 3－3)，即a 2
3－2a 3－8＝0，
因为a 3>0，所以a 3＝4. 故a 2＝3，a 3＝4.
(2)证明：由已知条件可知，a 2n －a 2n －1＝2(a n －a n －1)＋2n －1，
所以(a n －1)2－(a n －1－1)2＝n 2－(n －1)2，
则(a n －1)2－n 2＝(a n －1－1)2－(n －1)2＝…＝(a 2－1)2－22＝(a 1－1)2－12＝0，而b n ＝(a n －1)2－n 2，
所以b n ＝0，数列{b n }为等差数列．所以(a n －1)2＝n 2，而a n >0，故a n ＝n ＋1.
2．解：(1)因为c cos A ＋33a cos C ＝0，所以sin C cos A ＋33sin A ·cos C ＝0.又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝－33tan A .
因为tan(2 019π＋2A )＝34，所以tan 2A ＝34，所以2tan A 1－tan 2A ＝34
，解得tan A ＝13或tan A ＝－
3.
①若tan A ＝13，则tan C ＝－33tan A ＝－33×1
3＝－3；
②若tan A ＝－3，则tan C ＝－33tan A ＝－33×(－3)＝9 3. 故tan C 的值为－3或9 3.
(2)因为C 为钝角，所以由(1)知tan C ＝－3，又因为0<C <π，所以C ＝2π
3
.
由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos 23π＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a
＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，
所以(a ＋b )2≤4，则a ＋b ≤2.
又a ＋b >c ＝3，所以a ＋b ∈(3，2]．
所以△ABC 的周长的取值范围是(23，2＋3]．
3.解：(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF .由平面ABCD
为平行四边形，可知F 为BD 的中点．
在△PBD 中，因为E ，F 分别为PD ，BD 的中点，所以EF ∥PB . 又EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .
(2)由题意知，AC ，AB ，AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，
则A (0，0，0)，B (0，3，0)，C (2，0，0)，D (2，－3，0)，P (0，0，3)，E ⎝⎛⎭⎫1，－32，3
2，所以AC →＝(2，0，0)，AE →
＝⎝
⎛⎭⎫1，－32，32. 设M (x 0，y 0，z 0)，PM →＝λPB →
(0<λ<1)，
则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0，3，－3)，得M (0，3λ，3－3λ)，所以AM →
＝(0，3λ，3－3λ)．设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，
n 1·
AC →＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝0，
2x 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝(0，1，1)．设平面MAC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3λy 2＋（3－3λ）z 2＝0，2x 2＝0，
取z 2＝1，得n 2＝⎝⎛⎭⎫0，1－1
λ，1. 设二面角M -AC -E 的大小为θ，则cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
＝
⎪⎪⎪
⎪2－1λ2·⎝⎛⎭
⎫1－1
λ2＋1＝1010，化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝13或λ＝2
3.
因为二面角M -AC -E 的余弦值为
1010，所以PM →＝13
PB →. 故PM →＝13PB →
时，二面角M -AC -E 的余弦值为1010.
4．解：(1)列联表如下：
K 2
的观测值k ＝60×（28×10－2×20）30×30×48×12
≈6.7<7.879，
所以没有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关．
(2)设X 为一次生产出来的石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X 的取值可以是0，100，200，300，400，500，600，700，则
P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫123
×23＝112，P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫123
×13＝124， P (X ＝200)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫122
×23＝14，
P (X ＝300)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫122
×13＝18， P (X ＝400)＝C 23×⎝⎛⎭⎫1－122
×12×23＝14， P (X ＝500)＝C 23×
⎝⎛⎭⎫1－122×12×13＝18
，
P (X ＝600)＝⎝⎛⎭⎫1－123
×23＝112， P (X ＝700)＝⎝⎛⎭⎫1－123
×13＝124
. 所以E (X )＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×1
24＝
1 000
3
. 所以一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要1 000
3元的修复费用．。