[天津卷]2016年天津卷理科数学(全解析)
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2016 年天津卷理科数学试题逐题详解
考试时间:2016 年 6 月 7 日(星期二)15:00～17:00 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
详解提供: 南海中学 钱耀周
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
由图像可知,在 [ 0, +¥ ) 上, f ( x ) = 2 - x 有且仅有一个解,故在 ( -¥, 0 ) 上, f ( x ) = 2 - x 同样有且仅有一个解,当 3a > 2 即 a >
2
2 时,联立 3
x 2 + ( 4a - 3) x + 3a = 2 - x ,则 D = ( 4a - 2 ) - 4 ( 3a - 2 ) = 0 ,解得
所以 xy =
2 ì , x < 0 ) x + 3a ï x + ( 4a - 3 8. 已知函数 f ( x ) = í ( a > 0 ,且 a ¹ 1 )在 R 上单调递减,且关于 x 的方程 x ³ 0 ï îlog a ( x + 1) + 1,
f ( x ) = 2 - x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是(
a2 n -1 + a2 n < 0 ”的(
A．充要条件
) C．必要而不充分条件
2 n- 2
B．充分而不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】C；由题意得, a2 n -1 + a2 n < 0 Û a1 q
(
+q
2 n -1
) < 0 Û q
2( n -1 )
( q + 1) < 0 Û q < -1 ,故
A． ç 0, ú 3
) D． ê , ÷ U í ý
æ è
2 ù û
B． ê , ú 3 4
é2 3ù ë û
C． ê , ú U í ý 3 3 4
é 1 2 ù ë û
ì 3 ü î þ
é 1 2 ö ì 3 ü ë 3 3 ø î 4 þ
ì02 + ( 4a - 3) × 0 + 3a ³ f ( 0 ) = 1 1 3 ï 【解析】C；因为 f ( x ) 在 R 上递增,所以 0 < a < 1 且 í 3 - 4 ,解得 £ a £ , a 3 4 ³ 0 ï î 2
æ1 3ö è2 2ø
(
a -1
) >
f - 2 , f - 2 = f
14.设抛物线 í 设 C ç
(
) (
)
( 2 ) ,故 2
a -1
< 2 ,即 a - 1 <
1 1 3 ,解得 < a < . 2 2 2
ì x = 2 pt 2 î y = 2 pt
( t 为参数, p > 0 )的焦点为 F ,准线为 l .过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B .
A． 2 B ． 4 C． 6 D． 8 )
n > 3? 是 输出S 结束
【解析】B；依次循环 S = 8, n = 2 ； S = 2, n = 3 ； S = 4, n = 4 ,结束循环, 输出 S = 4 ,选 B. 5. 设 {a 是首项为正数的等比数列,公比为 q ,则“ q < 0 ”是“对任意的正整数 n , n }
a= 3 é 1 2 ù ì 3 ü 或 1 (舍),当1 £ 3a £ 2 时,由图像可知,符合条件.综上, a 的取值范围是 ê , ú U í ý . 4 ë 3 3 û î 4 þ
第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. a 9. 已知 a , b Î R , i 是虚数单位,若 (1 + i )(1 - bi ) = a ,则 的值为_______. b ì1 + b = a a 【解析】 2 ； (1 + i )(1 - bi ) = 1 + b + (1 - b ) i = a ,则 í ,所以 a = 2 , b = 1 , = 2 . b î1 - b = 0
æ b 4 2 b ö x 得 A ç , ÷, 2 2 2 è b + 4 b + 4 ø
【解析】D；由对称性,不妨设 A ( x, y ) 在第一象限,联立 x 2 + y 2 = 4 与 y =
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x 2 y 2 8 b b 2 = ,解得 b = 12 ,故双曲线的方程为 = 1 . b 2 + 4 2 4 1 2 A 7. 已知 DABC 是边长为1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE uuu r uuu r D 并延长到点 F ,使得 DE = 2 EF ,则 AF × BC 的值为( ) 5 1 1 11 A． - B． C． D． B E C 8 8 4 8 F uuu r uuur uuu r uuu r uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 3 【解析】B；设 BA = a , BC = b ,所以 DE = AC = ( b - a ) , DF = DE = ( b - a ) , AF = AD 2 2 2 4 uuur uuu r uuu r 1 3 5 3 5 3 2 5 3 1 + DF = - a + ( b - a ) = - a + b ,所以 AF × BC = - a × b + b =- + = . 2 4 4 4 4 4 8 4 8
1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4} , B = y y = 3x - 2, x Î A ,则 A I B = ( A． {1} B． {4} C． {1,3}
{
}
) D． {1, 4 }
【解析】D；依题意得 B = y y = 3x - 2, x Î A = {1, 4, 7,10} ,故 A I B = {1, 4 } .
æ 7 ö p, 0 ÷ , AF 与 BC 相交于点 E .若 CF = 2 AF ,且 DACE 的面积为 3 2 ,则 p 的值为____. è 2 ø
【解析】 6 ；抛物线的普通方程为 y 2 = 2 px , F ç
7 p æ p ö , 0 ÷ , CF = p - 2 2 è 2 ø 3 3 = 3 p ,又 CF = 2 AF ,则 AF = p ,由抛物线的定义得 AB = p , 2 2 EF CF EF CF 所以 x A = p ,则 y A = 2 p ,由 CF // AB 得 = ,即 = = 2 , EA AB EA AF 1 所以 S DCEF = 2S DCEA = 6 2 , S DACF = SDAEC + S DCFE = 9 2 ,所以 ´ 3 p ´ 2 p = 9 2 , p = 6 ． 2 3 æ p ö 另解: x, y 满足函数 y 2 = 2 px , F ç , 0 ÷ ,所以 CF = 3 p , AB = AF = p ,可得 A p, 2 p ,易知 2 è 2 ø
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3
俯视图
1 ´ ( 2 ´ 1) ´ 3 = 2 . 3 12.如图, AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E , BE = 2 AE = 2 , BD = ED , 则线段 CE 的长为__________.
因此体积为 V = 【解析】
C A E B D
{
}
ì x - y + 2 ³ 0 ï 2. 设变量 x, y 满足约束条件 í 2 x + 3 y - 6 ³ 0 ,则目标函数 z = 2 x + 5 y 的最小值为( ) ï3 x + 2 y - 9 £ 0 î A． - 4 B ． 6 C．10 D．17
【解析】 B ； 可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A ( 0, 2 ) , B ( 3, 0 ) , C (1,3 ) ,直线 z = 2 x + 5 y 过点 B 时取得最小值 6 . 3. 在 DABC 中,若 AB = 13 , BC = 3 , ÐC = 120° ,则 AC = ( A． 1 B ． 2 C． 3
“ q < 0 ”是“ a2 n -1 + a2 n < 0 ”的必要而不充分条件.
x 2 y 2 6. 已知双曲线 - 2 = 1 ( b > 0 ),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近 4 b 线相交于 A 、 B 、 C 、 D 四点,四边形的 ABCD 的面积为 2b ,则双曲线的方程为( ) x 2 3 y 2 A． = 1 4 4 x 2 4 y 2 B． = 1 4 3 x 2 y 2 C． = 1 4 4 x 2 y 2 D． = 1 4 1 2
在圆中 DBCE : D DAE ,则
13.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ( -¥, 0 ) 上单调递增.若实数 a 满足 f 2 则 a 的取值范围是__________.
(
a -1
) > f ( - 2 ) ,
【解析】 ç , ÷ ；由 f ( x ) 是偶函数可知, f ( x ) 在 ( -¥, 0 ) 上递增,在 ( 0,+ ¥ ) 上递减,又 f 2
2
开始
)
否
S = 4, n=1
D． 4
S ≥ 6? 是 S=2S S=S 6 n=n+1 否
x + 9 - 13 1 【解析】A；设 AC = x ,由余弦定理得 cos120 °= = - ,解得 2 × x ×3 2
x = 1 或 -4 (舍),故 AC = 1 . 4. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(
2 2 3 ；设 CE = x ,则由相交弦定理得 DE × CE = AE × BE , DE = ,又 x 3
BD == 1 ,又 AB 是圆的直径,则 BC = 32 - 12 = 2 2 , AD = 9 - 2 , x x
BC EC 2 3 2 2 x = ,即 . = ,解得 x = AD AE 3 4 1 9 - 2 x
(
)
DAEB : DFEC ,
2 2 AE AB 1 1 1 1 = = ,故 S △ ACE = S△ ACF = ´ 3 p ´ 2 p ´ = p = 3 2 ,所以 FE FC 2 3 3 2 2
p 2 = 6 ,又 p > 0 ,所以 p = 6 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2 10. ç x -
æ è
1 ö 2 ÷ 的展开式中 x 的系数为________.(用数字作答) xø
8
r 【解析】 -56 ；通项 Tr +1 = C8 x2
( )
8 - r
r æ 1 ö r 16 - 3 C8 x r ,令16 - 3r = 7 , ç - ÷ = ( -1) è xø 3
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = 4 tan x sin ç
pö æp ö æ - x ÷ cos ç x - ÷ - 3 . 3 ø è2 ø è
r
3
3 7 得 r = 3 ,所以含 x 的项系数为 ( -1) C8 = -56 .
1
1
正视图
1
1
侧视图
11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位: m ), 则该四棱锥的体积为_______ m . 【解析】 2 ；由三视图可知四棱锥的高为 3 ,底面平行四边形的底为 2 ,高为1 ,
考试时间:2016 年 6 月 7 日(星期二)15:00～17:00 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
详解提供: 南海中学 钱耀周
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
由图像可知,在 [ 0, +¥ ) 上, f ( x ) = 2 - x 有且仅有一个解,故在 ( -¥, 0 ) 上, f ( x ) = 2 - x 同样有且仅有一个解,当 3a > 2 即 a >
2
2 时,联立 3
x 2 + ( 4a - 3) x + 3a = 2 - x ,则 D = ( 4a - 2 ) - 4 ( 3a - 2 ) = 0 ,解得
所以 xy =
2 ì , x < 0 ) x + 3a ï x + ( 4a - 3 8. 已知函数 f ( x ) = í ( a > 0 ,且 a ¹ 1 )在 R 上单调递减,且关于 x 的方程 x ³ 0 ï îlog a ( x + 1) + 1,
f ( x ) = 2 - x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是(
a2 n -1 + a2 n < 0 ”的(
A．充要条件
) C．必要而不充分条件
2 n- 2
B．充分而不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】C；由题意得, a2 n -1 + a2 n < 0 Û a1 q
(
+q
2 n -1
) < 0 Û q
2( n -1 )
( q + 1) < 0 Û q < -1 ,故
A． ç 0, ú 3
) D． ê , ÷ U í ý
æ è
2 ù û
B． ê , ú 3 4
é2 3ù ë û
C． ê , ú U í ý 3 3 4
é 1 2 ù ë û
ì 3 ü î þ
é 1 2 ö ì 3 ü ë 3 3 ø î 4 þ
ì02 + ( 4a - 3) × 0 + 3a ³ f ( 0 ) = 1 1 3 ï 【解析】C；因为 f ( x ) 在 R 上递增,所以 0 < a < 1 且 í 3 - 4 ,解得 £ a £ , a 3 4 ³ 0 ï î 2
æ1 3ö è2 2ø
(
a -1
) >
f - 2 , f - 2 = f
14.设抛物线 í 设 C ç
(
) (
)
( 2 ) ,故 2
a -1
< 2 ,即 a - 1 <
1 1 3 ,解得 < a < . 2 2 2
ì x = 2 pt 2 î y = 2 pt
( t 为参数, p > 0 )的焦点为 F ,准线为 l .过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B .
A． 2 B ． 4 C． 6 D． 8 )
n > 3? 是 输出S 结束
【解析】B；依次循环 S = 8, n = 2 ； S = 2, n = 3 ； S = 4, n = 4 ,结束循环, 输出 S = 4 ,选 B. 5. 设 {a 是首项为正数的等比数列,公比为 q ,则“ q < 0 ”是“对任意的正整数 n , n }
a= 3 é 1 2 ù ì 3 ü 或 1 (舍),当1 £ 3a £ 2 时,由图像可知,符合条件.综上, a 的取值范围是 ê , ú U í ý . 4 ë 3 3 û î 4 þ
第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. a 9. 已知 a , b Î R , i 是虚数单位,若 (1 + i )(1 - bi ) = a ,则 的值为_______. b ì1 + b = a a 【解析】 2 ； (1 + i )(1 - bi ) = 1 + b + (1 - b ) i = a ,则 í ,所以 a = 2 , b = 1 , = 2 . b î1 - b = 0
æ b 4 2 b ö x 得 A ç , ÷, 2 2 2 è b + 4 b + 4 ø
【解析】D；由对称性,不妨设 A ( x, y ) 在第一象限,联立 x 2 + y 2 = 4 与 y =
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x 2 y 2 8 b b 2 = ,解得 b = 12 ,故双曲线的方程为 = 1 . b 2 + 4 2 4 1 2 A 7. 已知 DABC 是边长为1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE uuu r uuu r D 并延长到点 F ,使得 DE = 2 EF ,则 AF × BC 的值为( ) 5 1 1 11 A． - B． C． D． B E C 8 8 4 8 F uuu r uuur uuu r uuu r uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 3 【解析】B；设 BA = a , BC = b ,所以 DE = AC = ( b - a ) , DF = DE = ( b - a ) , AF = AD 2 2 2 4 uuur uuu r uuu r 1 3 5 3 5 3 2 5 3 1 + DF = - a + ( b - a ) = - a + b ,所以 AF × BC = - a × b + b =- + = . 2 4 4 4 4 4 8 4 8
1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4} , B = y y = 3x - 2, x Î A ,则 A I B = ( A． {1} B． {4} C． {1,3}
{
}
) D． {1, 4 }
【解析】D；依题意得 B = y y = 3x - 2, x Î A = {1, 4, 7,10} ,故 A I B = {1, 4 } .
æ 7 ö p, 0 ÷ , AF 与 BC 相交于点 E .若 CF = 2 AF ,且 DACE 的面积为 3 2 ,则 p 的值为____. è 2 ø
【解析】 6 ；抛物线的普通方程为 y 2 = 2 px , F ç
7 p æ p ö , 0 ÷ , CF = p - 2 2 è 2 ø 3 3 = 3 p ,又 CF = 2 AF ,则 AF = p ,由抛物线的定义得 AB = p , 2 2 EF CF EF CF 所以 x A = p ,则 y A = 2 p ,由 CF // AB 得 = ,即 = = 2 , EA AB EA AF 1 所以 S DCEF = 2S DCEA = 6 2 , S DACF = SDAEC + S DCFE = 9 2 ,所以 ´ 3 p ´ 2 p = 9 2 , p = 6 ． 2 3 æ p ö 另解: x, y 满足函数 y 2 = 2 px , F ç , 0 ÷ ,所以 CF = 3 p , AB = AF = p ,可得 A p, 2 p ,易知 2 è 2 ø
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俯视图
1 ´ ( 2 ´ 1) ´ 3 = 2 . 3 12.如图, AB 是圆的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E , BE = 2 AE = 2 , BD = ED , 则线段 CE 的长为__________.
因此体积为 V = 【解析】
C A E B D
{
}
ì x - y + 2 ³ 0 ï 2. 设变量 x, y 满足约束条件 í 2 x + 3 y - 6 ³ 0 ,则目标函数 z = 2 x + 5 y 的最小值为( ) ï3 x + 2 y - 9 £ 0 î A． - 4 B ． 6 C．10 D．17
【解析】 B ； 可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A ( 0, 2 ) , B ( 3, 0 ) , C (1,3 ) ,直线 z = 2 x + 5 y 过点 B 时取得最小值 6 . 3. 在 DABC 中,若 AB = 13 , BC = 3 , ÐC = 120° ,则 AC = ( A． 1 B ． 2 C． 3
“ q < 0 ”是“ a2 n -1 + a2 n < 0 ”的必要而不充分条件.
x 2 y 2 6. 已知双曲线 - 2 = 1 ( b > 0 ),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近 4 b 线相交于 A 、 B 、 C 、 D 四点,四边形的 ABCD 的面积为 2b ,则双曲线的方程为( ) x 2 3 y 2 A． = 1 4 4 x 2 4 y 2 B． = 1 4 3 x 2 y 2 C． = 1 4 4 x 2 y 2 D． = 1 4 1 2
在圆中 DBCE : D DAE ,则
13.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ( -¥, 0 ) 上单调递增.若实数 a 满足 f 2 则 a 的取值范围是__________.
(
a -1
) > f ( - 2 ) ,
【解析】 ç , ÷ ；由 f ( x ) 是偶函数可知, f ( x ) 在 ( -¥, 0 ) 上递增,在 ( 0,+ ¥ ) 上递减,又 f 2
2
开始
)
否
S = 4, n=1
D． 4
S ≥ 6? 是 S=2S S=S 6 n=n+1 否
x + 9 - 13 1 【解析】A；设 AC = x ,由余弦定理得 cos120 °= = - ,解得 2 × x ×3 2
x = 1 或 -4 (舍),故 AC = 1 . 4. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为(
2 2 3 ；设 CE = x ,则由相交弦定理得 DE × CE = AE × BE , DE = ,又 x 3
BD == 1 ,又 AB 是圆的直径,则 BC = 32 - 12 = 2 2 , AD = 9 - 2 , x x
BC EC 2 3 2 2 x = ,即 . = ,解得 x = AD AE 3 4 1 9 - 2 x
(
)
DAEB : DFEC ,
2 2 AE AB 1 1 1 1 = = ,故 S △ ACE = S△ ACF = ´ 3 p ´ 2 p ´ = p = 3 2 ,所以 FE FC 2 3 3 2 2
p 2 = 6 ,又 p > 0 ,所以 p = 6 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2 10. ç x -
æ è
1 ö 2 ÷ 的展开式中 x 的系数为________.(用数字作答) xø
8
r 【解析】 -56 ；通项 Tr +1 = C8 x2
( )
8 - r
r æ 1 ö r 16 - 3 C8 x r ,令16 - 3r = 7 , ç - ÷ = ( -1) è xø 3
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = 4 tan x sin ç
pö æp ö æ - x ÷ cos ç x - ÷ - 3 . 3 ø è2 ø è
r
3
3 7 得 r = 3 ,所以含 x 的项系数为 ( -1) C8 = -56 .
1
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正视图
1
1
侧视图
11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位: m ), 则该四棱锥的体积为_______ m . 【解析】 2 ；由三视图可知四棱锥的高为 3 ,底面平行四边形的底为 2 ,高为1 ,