指数函数的概念导学案

4.2.1 指数函数的概念导学案
【学习目标】
1.了解指数函数的概念.
2.会画出指数函数图象(重点).
3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).
【自主学习】
一．指数函数的定义
一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .
【答案】y ＝a x
二．指数函数的图象和性质
指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：
a >1 0<a <1
图象
定义域 R 值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点 ，即x ＝0时，y ＝1
函数值的变化 当x >0时， ；
当x <0时， 当x >0时， ；
当x <0时， 单调性
在R 上是
在R 上是
【答案】【当堂达标基础练】
1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C
【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1
()12x
f x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()
()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3
f x f x --=
【答案】C
3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠
【答案】C
【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3
a =. 故选：C
4．若()233x
y a a a =-+是指数函数，则有（ ）
A ．1a =或2
B ．1a =
C ．2a =
D ．0a >且1a ≠
【答案】C
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为()233x
y a a a =-+是指数函数，
所以233101a a
a a ⎧-+=⎪
>⎨⎪≠⎩
，解得2a =.
故选：C ．
5．已知函数1(),0
2()0x
x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.
故答案为：4
6.若函数()132x
f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．
一、选择题
1．若函数y ＝(a 2
－4a ＋4)a x
是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1
[答案C
【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，a ≠1，
a 2－4a ＋4＝1，
解得a ＝3，故选C.
2．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
(x ≥8)的值域是( ) A ．R
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，1256
C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫1256，＋∞
【答案】B
【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128
＝1256.
3．函数y ＝2x
－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】由2x
－1≥0得2x
≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1
－1的图象一定过点( )
A ．(0,1)
B ．(0，－1)
C ．(－1,0)
D ．(1,0)
【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a
－1＋1
－1＝a 0
－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．
5．函数f (x )＝a x
与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )
A B C D
【答案】A
【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x
单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.
二、填空题
6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)
【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．
7．已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7
【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －1
＋b ＝5，a 0
＋b ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝3，
所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2
＋3＝4
＋3＝7.
8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x <0，
－2－x
，x >0，
则函数f (x )的值域是________．
【答案】(－1,0)∪(0,1)
【解析】由x <0，得0<2x
<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x
<1， ∴－1<－2－x
<0.
∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1
(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.
(1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．
[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12， 所以a
2－1
＝12，则a ＝12
.
(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2， 所以函数的值域为(0,2]．
10．已知f (x )＝9x
－2×3x
＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x
，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．
[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x
在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为
9，t 的最小值为1
3
.
(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2
＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，
故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.
【当堂达标素养练】
1．函数y ＝a
－|x |
(0<a <1)的图象是( )
A B C D
【答案】A
【解析】y ＝a －|x |
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a |x |
，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a
>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0
时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.
2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x
＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限
【答案】A
【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．
3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12
【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3
x
3x ＋1的值域是________．
【答案】(0,1)
【解析】函数y ＝f (x )＝3x
3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x
＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．
5．已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，a ≠1)．
(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；
(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．
由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.
6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；
（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．
试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒
∵
∴
（2）法一：方程为 令
，则
1
44
t ≤≤ 且方程为
在有两个不同的解．
设2
211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点
由图知31,164b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，方程有两不同解．
法二： 方程为 ，令，则
1
44
t ≤≤ ∴方程
在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设2
1(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦
解得31,164b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
考点：求函数的解析式，求参数的取值范围
【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意
自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。