高考数学复习专题三基本初等函数专项练习理

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2024年高考数学一轮复习(新高考版)《基本初等函数》练习题课件

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16.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数 n 与纸的长边 ω(cm)和厚度 x(cm) 有以下关系：n≤23log2ωx .现有一张长边为 30 cm，厚度为 0.01 cm 的矩形纸，根据以上信息，当对折完 4 次时，ωx 的最小值为___6_4____，该矩形纸最多能对折___7___次.(参考数值：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
10x，x≤0， 2.(2023·苏州质检)已知函数 f(x)＝lg x，x>0，则 f(f(1))等于
A.0
1 B.10
√C.1
D.10
f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.
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3.函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为
7.已知 f(x)＝x－2－log2aa2－x－13x＋，3xa>，2 x≤2，是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是
√A.52，6
C.[1,6]
B.52，＋∞ D.1，52
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x2－2a－1x＋3a，x≤2，
因为 f(x)＝－loga2x－3，x>2
是 R 上的减函数，
2a－2 1≥2，所以a>1，
4－22a－1＋3a≥0，
解得52≤a≤6.
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8.已知函数 f(x)＝2 022x＋ln( x2＋1＋x)－2 022－x＋1，则关于 x 的不等式

高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习

高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a 0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增，所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根，所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点，即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点，即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)，当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1，则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二函数的零点与方程考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点，因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ，当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0，解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0；由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0，可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元，则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析因为g (x )＝e x －1e x －2，所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立，即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b cb>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )，所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析由题图可得函数图象过点(10，1)，代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2，当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。

高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析

5.2　导数的运算5.2.1　基本初等函数的导数基础过关练题组一　利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二　导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析　(1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析　因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。

数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)

数学高考复习基本初等函数专题强化练习（附答案）初等函数包括代数函数和逾越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生温习数学有协助。

1.(文)(2021江西文，4)函数f(x)=(aR)，假定f[f(-1)]=1，那么a=()A. -1B.-2C.1D.2[答案] A[解析] f(-1)=2-(-1)=2，f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.(理)(2021新课标理，5)设函数f(x)=那么f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[答案] C[解析] 考察分段函数.由得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，应选C.2.(2021哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，那么满足f(x)=27的x的值是()A. B.C. D.[答案] B[解析] 设f(x)=x，那么-=(-2)，=-3，f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.3.(文)命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.那么在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是()A.q1，q3B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4[答案] C[解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数，y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，应选C.[点拨] 1.由指数函数的性质首先判别命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假.2.考察指、对函数的单调性是这一局部高考命题的主要考察方式之一.经常是判别单调性;单调性讨论参数值或取值范围;依据单调性比拟数的大小等.(理)实数a、b，那么2a2b是log2alog2b的()A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件[答案] B[解析] 由y=2x为增函数知，2ab;由y=log2x在(0，+)上为增函数知，log2alog2ba0，a/ a0，但a0ab，应选B.4.(文)(2021湖南理，5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，那么f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案] A[解析] 考察函数的性质.由得-10，a1，xR)叫指数函数函数y=logax(a0，a1，x0)叫对数函数值域 (0，+) (-，+) 图象性质 (1)y(2)图象恒过点(0,1);(3)a1，当x0时，y当x0时，00时，01;(4)a1，在R上y=ax为增函数;00;(2)图象恒过点(1,0);(3)a1，当x1时，y当01时，y当00;(4)a1，在(0，+)上y=logax为增函数;0f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0，且a1)，+=.假定数列{}的前n项和大于62，那么n的最小值为()A.6B.7C.8D.9[答案] A[思绪剖析] 经过审题可以发现，标题中多处触及的方式，x=1时，即，x=-1时，即，x=n时，即，又=ax，故这是解题的切入点，结构函数F(x)=，那么效果迎刃而解.[解析] 令F(x)=，那么F(x)=ax，F(x)=0，F(x)单调递增，a1.∵F(1)+F(-1)=+==a+，a=2，F(x)=2x，{F(n)}的前n项和Sn=21+22++2n==2n+1-262，2n+164，n+16，n5，n的最小值为6.7.以下函数图象中不正确的选项是()[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，故C正确.y=log2|x|=是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误. 8.(文)假定存在正数x使2x(x-a)1成立，那么a的取值范围是()A.(-，+)B.(-2，+)C.(0，+)D.(-1，+)[答案] D[解析] 由题意得，ax-()x (x0)，令f(x)=x-()x，那么f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)f(0)=-1，a-1，应选D.(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+)上是增函数，且f()=0，那么不等式f(logx)0的解集是()A.(0，)B.(2，+)C.(0，)(2，+)D.(，1)(2，+)[答案] C[解析] 解法1：偶函数f(x)在[0，+)上为增函数，f(x)在(-，0)上为减函数，又f()=0，f(-)=0，由f(logx)0得，logx或logx-，02，应选C.解法2：f(x)为偶函数，f(logx)0化为f(|logx|)0，f(x)在[0，+)上为增函数，f()=0，|logx|，|log8x|，log8x 或log8x-，x2或01，那么g(x)=x+lnx1，00且a1)的图象恒过点(0，-2);命题q：函数f(x)=lg|x|(x0)有两个零点.那么以下说法正确的选项是()A.p或q是真命题B.p且q是真命题C.p为假命题D.q为真命题[答案] A[解析] f(0)=a0-2=-1，p为假命题;令lg|x|=0得，|x|=1，x=1，故q为真命题，pq为真，pq为假，p为真，q为假，应选A.(理)函数f(x)=(其中aR)，函数g(x)=f[f(x)]+1.以下关于函数g(x)的零点个数的判别，正确的选项是()A.当a0时，有4个零点;当a0时，有2个零点，当a=0时，有有数个零点B.当a0时，有4个零点;当a0时，有3个零点，当a=0时，有2个零点C.当a0时，有2个零点;当a0时，有1个零点D.当a0时，有2个零点;当a=0时，有1个零点[答案] A[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可扫除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，对恣意x0，有f(x)=，故a=0时，g(x)有有数个零点.11.(文)(2021中原名校第二次联考)函数y=f(x+)为定义在R 上的偶函数，且当x时，f(x)=()x+sinx，那么以下选项正确的选项是()A.f(3)f(f(3)，f(2)f(3)，应选A.(理)函数f(x)=x3+ax2+bx+c，以下结论中错误的选项是()A.x0R，f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.假定x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(-，x0)单调递减D.假定x0是f(x)的极值点，那么f (x0)=0[答案] C[解析] 由题意得，f(x)=3x2+2ax+b，该函数图象启齿向上，假定x0为极小值点，如图，f(x)的图象应为：故f(x)在区间(-，x0)不单调递减，C错，应选C.12.如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，假定AC 恰恰平行于y轴，那么点A的坐标为()A.(log94,4)B.(log92,2)C.(log34,4)D.(log32,2)[答案] D[解析] 此题考察指数函数的图象与性质，难度中等.设A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，那么C(x1,3x2)在函数y=9x的图象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .又O，A，B共线，所以= ，联立解得x1=log32，故点A的坐标为(log32,2)，应选D.[易错剖析] 此题易犯两个错误：一是不能将直线与指数函数图象相交于A，B两点转化为OA，OB的斜率相等;二是不能运用指数的运算法那么求解.普通地，解指数方程时，将方程两边化为同底，或许应用指数式化为对数式的方法求解.二、填空题13.(文)函数f(x)=在区间[-1，m]上的最大值是1，那么m 的取值范围是________.[答案] (-1,1][解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上为减函数，在[-1,0]上f(x)的最大值为f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上为增函数，在[0，m]上f(x)的最大值为，f(x)在区间[-1，m]上的最大值为1，或-11，那么m的取值范围是________.[答案] (-，0)(2，+)[解析] 当m0时，由f(m)1得，log3(m+1)1，m+13，m当m0时，由f(m)1得，3-m1.-m0，m0.综上知m0或m2.16.(文)函数f(x)=假定函数g(x)=f(x)-m有3个零点，那么实数m的取值范围是________.[答案] (0,1)[解析] 函数f(x)的图象如下图：当0a-7对一切正整数n都成立，那么正整数a的最大值为________.[剖析] 要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式+++的最小值，可将其视为关于n的函数，经过单调性求解.[解析] 令f(n)=+++(nN*)，对恣意的nN*，f(n+1)-f(n)=++-=0，所以f(n)在N*上是增函数.又f(1)=，对一切正整数n，f(n)a-7都成立的充要条件是a-7，所以a，故所求正整数a的最大值是8.[点拨] 此题是结构函数法解题的很好的例证.假设对数列求和，那就会悬崖勒马.此题结构函数f(n)，经过单调性求其最小值处置了不等式恒成立的效果.应用函数思想解题必需从不等式或等式中结构出函数关系并研讨其性质，才干使解题思绪灵敏变通.基本初等函数专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

新高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案

新高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”；对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.2．已知21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，下列正确的是（）A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD 【分析】令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】令()0f x t =≥，则关于x 的方程2[()]()210f x f x k -+-=，可得2210t t k -+-=，当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =；当58k <时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根；当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根；作出()f x 的大致图象，如下：当58k =时，此时12t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确；当58k <时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根，当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确；当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，当58k >时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.3．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（）A ．9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围.【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.4．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确．对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增，且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=，所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点，所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.6．已知函数()221,0log 1,xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解，当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.7．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==>⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．8．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；B ．()()220212f f -+-=；C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则142k <<-4k =；【答案】BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]0,2上单调性一致，所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]5,4--上是减函数，故A 错误；对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误；对于D ，由0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根，即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，则020001244124k k xkx x x⎧>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩，解得04222=2k x ⎧=-⎪⎨⎪⎩，要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，则k 的取值范围为：14222k <<-；当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点，设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得02242=k x ⎧=-⎪⎨'-⎪⎩综上，方程()1f x kx =+有3个实根，则14222k <<-或224k =-,故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.9．下列说法中，正确的有（） A ．若0a b >>，则b a a b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误；对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确；对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>，所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx xx f x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x x f x f x --------====-+⋅++，所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数，由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确；对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.11．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（）A ．若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭B ．关于x 的方程*1()0()2n f x n N -=∈有24n +个不同的解 C ．对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D ．当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-；当 322x <≤时，()42f x x =-；当23x <≤，则3122<≤x ， 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当34x <≤，则3222<≤x， 1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当46x <≤，则232<≤x， 11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；当68x <≤，则342<≤x，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；依次类推，作出函数()f x 的图像：对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =，124=n k ，11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1()2f x =有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =上，故3()2≤f x x恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．设函数ln(2),2()1,2x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有（）A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.【详解】作出函数()f x 的图象：令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，由()0g t =，得1221t t ==-，，由2122t x x ==--12117117x x -+⇒=由2234151512t x x x x -+=-=--⇒==所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，， 22()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+23294m m --≥， 221329329144m m m m t m -----=---23254m m --+=，因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=，所以2132504m m t --+->，所以213254m m t --+>，即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；当20()t f x ==，得1213x x =-=，；当13()t f x ==，得3442x x =-=，，352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.13．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．【详解】对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误；对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确；对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．14．下列函数求值域正确的是（）A．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C．()h x =(0D．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B；()h x ==利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()w x =()24w x =，由于()0w x >，可得()w x =2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-，当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立，所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确；对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又11y x x =+-[1)+∞，上恒不等于0，则11y x x =++-在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()12h = 又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(02]，，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，， ()2()131313213w x x x x x x x x x =-+=-++=-+++-⋅+222(1)(3)422342(1)44x x x x x =-++=--++=-+++设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]240,4t +，[]2444,8t +∈，则2()2(1)442,22w x x ⎡=-+++⎣，()w x 的值域为[222]，，故选项D 正确，故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用；（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.15．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011x y -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.16．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1，故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确.因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x xπ=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin x xf x e e -=+，()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手：（1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.18．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断；【详解】令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.19．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确；对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.20．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2nnx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.。

高考数学复习专题三基本初等函数专项练习理(2021学年)

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专题三《基本初等函数》数学试卷考试范围:xxx;考试时间:100分钟；命题人：ｘxx学校：_______＿_＿_姓名:_＿＿_____＿__班级：＿＿_____＿___考号:____＿_____＿题号一二三四总分得分注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上ﻫ第1卷评卷人得分一、选择题１、给出下列函数①；②;③;④；⑤.其中满足条件的函数的个数是( )A.1个B.2个C.３个ﻫD．4个2、函数的值域是( ）A。

B.C．ﻫＤ。

３、设函数,如果,则的取值范围是( )A。

B。

Ｃ.D。

4、设为正数,且，则( )A.Ｂ．C.D。

5、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为。

则下列各数中与最接近的是( )（参考数据：)A。

ﻫ B.ﻫC。

ﻫD。

6、已知函数（且）过定点,则点坐标（) A.Ｂ．Ｃ．ﻫＤ．7、若函数，则 ( ）A．B。

ﻫC．ﻫＤ。

８、函数的最小值为( )Ａ.ﻫB。

ﻫＣ.ﻫD。

9、已知,则的大小关系为( )Ａ．B.Ｃ．ﻫＤ.10、已知奇函数在上是增函数,.若，,,则的大小关系为( )Ａ。

ﻫＢ。

C.ﻫD.11、已知函数,若，则实数的取值范围为( ) A。

ﻫＢ。

C.ﻫD。

高考数学(理科)-基本初等函数中含有参数问题-专题练习有答案

高考数学（理科）专题练习基本初等函数中含有参数问题一、练高考1．【2015高考天津】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（）A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．【2015高考山东】设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则满足()()()2f af f a =的a 取值范围是（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞3．【2015高考新课标2】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞4．【2015高考湖南】已知32,(),x x af x x x a ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________．5．【2016高考浙江文数】设函数32 31f x x x =++（）．已知0a ≠，且2(x )(x ),–f R f A b a x x --∈（）（）=，则实数a =__________，b =__________．6．【2016高考上海】已知a R ∈，函数21(x)log ()f a x=+．（1）当5a =时，解不等式(x)0f >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数(x)f 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．二、练模拟1．已知函数y A ，集合3{|||,0}B x x a a ＝－＜＞，若A B ⋂中的最小元素为2，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,4B ．()0,4C ．(]1,4D ．()1,42．【山西大学附中高三第二次模拟测试】设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a 的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．【河北省邯郸市一中高三下学期研六】已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．【河北省衡水中学高三上学期一调】若不等式()()1213lg 1lg33x xa x ++-≥-对任意(),1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．[)0,+∞5．【宁夏育才中学高三上学期第二次月考】若函数xx k k x f 212)(⋅+-=在定义域上为奇函数，则实数=k __________．6．【山西省孝义市高三上学期二轮模考】函数2()log ()a f x ax x =-在区间[2,4]上是单调增函数，则a 的取值范围是__________．三、练原创1．函数2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[1,2]-B ．[1,0]-C ．[1,2]D ．[0,2]2．函数()f x 的导函数为'(x)f ，对x R ∀∈，都有2'()()f x f x >成立，若(ln 4)2f =，则不等式2()exf x =的解是（） A ．ln 4x > B ．0ln4x << C ．1x >D ．01x <<3．已知函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),00,1-∞D ．()()0,11,+∞4．已知函数2()ln ,af x x a R x=+∈．（1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,e]上的最小值为3，求实数a 的值． 5．已知函数2()(1)1,f x ax a x a R =-++∈．（1）求证：函数()f x 的图象与x 轴恒有公共点；（2）当0a >时，求函数y =（3）若存在0m >使关于x 的方程1()m f x m=+有四个不同的实根，求实数a 的取值范围．高考数学（理科）专题练习基本初等函数中含有参数问题答案一、练高考 1~3．DCA4．(,0)(1,)-∞⋃+∞ (0,)⎫+∞⎪⎭；(1,2]{3,4}；⎫+∞⎪⎭高考数学（理科）专题练习基本初等函数中含有参数问题解析1．2．【解析】当1a ≥ 时，()21af a =>，所以，()()()2f aff a = ，即1a >符合题意．当1a < 时，()31f a a =- ,若()()()2f aff a = ，则()1f a ≥ ，即：2311,3a a -≥≥ ，所以213a ≤<适合题意综上，a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C ． 3．4．5．【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．6．1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．二、练模拟1．2．【解析】令()()()21,xg x ex h x ax a =-=-．由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方．()()'21x g x e x =+，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --．当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12m e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．3．4．5．【解析】122(1)(1)111212k k f f k k k ---=-⇒=-⇒=±++． 6．【解析】设2()u x ax x =-，则()log ()a f x u x =，要使函数()f x 在区间[2,4]上是单调增函数，由复合函数单调性的判定方法可知()log ()a f x u x =与2()u x ax x =-同为增函数或同为减函数时才能满足，故有1122a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或01142a a<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，所以1a >．三、练原创1．【解析】因为当0≤x 时，2)()(a x x f -=，因为)0(f 是)(x f 的最小值，所以0≥a ；又因为当0>x 时，221)(a a a xx x f ≥+≥++=，即21≤≤-a ．综上所述， a 的取值范围为[]2,0．故应选D ． 2．3．【解析】由函数()122,0,log ,0.x a x f x x x ⎧⋅≤⎪=⎨>⎪⎩可知，在0x ≤部分．当0a >时20x a ⋅>．当0a <时20x a ⋅<．当0a =时20x a ⋅=恒成立．因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有一个实数解，所以只能是()1f x =只有一个解．当0x >时有一个解12x =．所以要使在0x <上没解，有前面可得0a <成立．当0a >时要使01a <<才能成立．故选C ．4．③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数．所以()()min 213af x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =． 5．11 / 11。

高三数学一轮复习易错题3基本初等函数

综上可知所求的取值范围是1＜＜2
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
【例7】已知求
【错解】∵ ∴
∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
【正解】∵ ∴
∴
易错点8．关于方程根考虑不全面
【例8】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
【错解】设 ∵ 有且只有一根在区间（0,1）内
∴ 得＜－2
所以，解得，此时，
综上，即的取值范围是，
故选：D.
10．函数在的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、 ,
故选：D.
11．已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【正解】方法一：∵
＝＝＝－，∴ 是奇函数
方法二：∵
＝
∴ 是奇函数
易错点5．不理解定义域和单调性的联系
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
综上， .
故选：C
8．函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx| 的零点；
在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.
故选：B.
9．已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

高考数学(理)三轮冲刺课时训练：基本初等函数(6)(含答案)

基本初等函数课时提升训练（6）一、选择题（每空？分，共？分）1、定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为。

A . B. C. D.2、定义在上的函数满足，若关于x 的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．3、设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数在上的零点的个数为( )个。

A. B. C. D.4、定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为………（）.．．．．5、对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( ) wA． B． C． D．6、如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（）A．208 B.216 C.212 D.2207、对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数的一个“稳定区间”，现有四个函数：①②③④其中存在“稳定区间”的函数为（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④8、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）A. B. C . D.9、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A． B. C. D.10、已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）11、下列说法：①命题“存在”的否定是“对任意的”；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．012、函数的定义域为D，若对任意且，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（）A. B. C. 1 D.13、函数的图象是( )14、已知的定义域为，值域为，则的取值范围是A ．B ．C．{１} D ．二、简答题（每空？分，共？分）15、对于定义域为D 的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数不存在“和谐区间”．（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）16、已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数3.2函数的基本性质试题含解析

§3.2 函数的基本性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一函数的单调性及最值1。

下列说法中正确的个数是（） ①若对任意x 1,x 2∈I,当x 1〈x 2时,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0，则y=f(x)在I 上是增函数;②函数y=x 2在R 上是增函数; ③函数y=-1x在定义域上是增函数;④函数y=1x的单调区间是（-∞,0)∪（0，+∞）.A 。

0B 。

1C 。

2 D.3 答案 B2.下列函数在(0，2)上是单调递增函数的是( ） A 。

y=1x -2B.y=lo g 12（2-x ）C.y=(12)x -2 D 。

y=√2-x答案 B3.函数y=lo g 12（-x 2+x+6）的单调增区间为( )A.(12,3) B 。

(-2,12)C.（—2,3） D 。

(12,+∞)答案 A4。

已知函数f （x ）为R 上的增函数,若f(a 2-a)〉f （a+3)，则实数a 的取值范围为。

答案（—∞，-1）∪（3，+∞)考点二函数的奇偶性5。

函数f(x)=x｜x｜+px，x∈R，则f（x)（)A。

是偶函数 B。

是奇函数C.既不是奇函数又不是偶函数 D.奇偶性与p有关答案B6。

设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=3x-7x+2b（b为常数）,则f（-2）=（)A。

6B。

-6 C.4D。

-4答案A7。

已知奇函数f(x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，若f(x—1)〉0,则x的取值范围为(）A。

｛x|0<x〈1或x>2} B.{x｜x<0或x>2}C。

{x｜x〈0或x>3}D。

{x|x〈—1或x>1｝答案A考点三函数的周期性8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f（x+2）=-,当2≤x≤3时， f（x)=x，则f(105。

5）=(）1f(x)A.-2.5B。

2。

5 C.5。

5D。

—5.5答案B9.奇函数f（x)的定义域为R，若f(x+1）为偶函数,且f(—1)=-1,则f（2 018）+f（2 019)=（）A.—2B。

高三数学专项训练：基本初等函数小题练习

高三数学专项训练：基本初等函数小题练习1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2x f x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（）A. (1,2)-B. (2,1)-C. (,1)(2,)-∞-+∞D. (,2)(1,)-∞-+∞2．若函数()1,01≠>-+=且a b a y x的图像经过第二，第三和第四象限，则一定有A C 3( ) A C 4．已知1>a ，函数)(log x y a y a x -==与的图象只可能是（）5．函数y ＝a x -2＋1(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，1)D ．(2，2)6 ）7．设a ，b ，c ∈R ，且3a= 4b= 6c，则( )．(A) (C)8．已知35a b A +=，且a 1＋b1= 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．2259）A、b a c >> D 、b c a >> 10 ）A、b a c >> D 、b c a >>10 11．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，（）（A ）x 轴对称（B ）y 轴对称（C）原点对称（D ）以上均不对12．已知3()log f x x =，则f = （） A.12 B.13C.3 13．已知3()log f x x =，则f =⎝⎭（）A.13 B.13- C.12 D.12-14．若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(21)x ]在定义域上是( )．(A)．增函数且y ＞0 (B)．增函数且y ＜0(C)．减函数且y ＞0 (D)．减函数且y ＜0 15．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤ 1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞116．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lga1，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 17( )A. (4,1)--B. (4,1)-C. (1,1)-D. (1,1]- 18．已知，则函数的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 19．设集合A=｛x|－3＜x ＜1｝，B=｛x|log 2|x|＜1｝则A∩B 等（） A ．（－3，0）∪（0，1） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－2，1） D ．（－2，0）∪（0，1）20．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3 21．如果对于正数,,,z y x 有，那么=346z y x （） A ．1B ．10C ．610D ．121022 （）A ．a 3BC ．aD 23．若1x 满足2225,x x x +=满足222log (1)5x x +-=，则12x x +=（）D. 4 24．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg ba)2的值是( )．(A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．125．函数()y f x =由(2)22x yxy=⋅确定，则方程2()3x f x =的实数解有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 26．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（）A BC D 27．已知幂函数mx x f =)(的图象经过点（4，2），则=)16(f （）28 （）A B C D29（a 、b 为有理数），则=+b aA ．45B ．55C ．70D ．8030．计算234()m m ⋅等于（）A.9mB.10mC.12mD.14m 31．下列对函数()0,2≠∈=-x R x xy 的性质描述正确的是（）A ．偶函数，先减后增B ．偶函数，先增后减C ．奇函数，减函数D ．偶函数，减函数 32．若幂函数f （x ）图像经过点P （4．2）．则它在P 点处的切线方程为（） A ．8x －y －30=0 B ．x －4y+4=0 C ．8x+y －30=0 D ．x+4y+4=033数是幂函数的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个34．如果幂函数()ay x a R =∈图像经过不等式组4340602x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，则a的取值范围是ABCD35 ）A ．22mn> B．22log log m n > D 36．幂函数()Z m xy m m ∈=--322的图象如右图所示，则m 的值为A 、 -1＜m ＜ 3B 、0C 、1D 、237，若210x x <<，则系是（）D.无法确定38．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在（0，+∞）上是减函数，又()()f x f x -=，则m =（）A. 0B. 1C. 2D. 3 39．已知0,0a b >>，且为幂函数，则ab 的最大值为A B D 40．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为 A ．12160x y --= B ．40x y -= C ．12160x y +-= D ．640x y --=41．幂函数)(x f y =的图象经过点（）42．三个数231.0=a ，31.0log 2=b ，31.02=c 之间的大小关系为（） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a43．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A ． ②2y x =③④1y x -= B ． ①3y x =②2y x =③④1y x -= C ． ①2y x =②3y x =③④1y x -=D ． ③2y x =④1y x -= 44．已知幂函数2()mf x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（）A ．8B ．4C ．2D ．145．若函数23()(23)m f x m x -=+是幂函数，则m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．246A.a c b <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a <<47．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是 ( )B. 4x y =C. 2-=x y D.48．函数f (x)＝(m 2－m －1)x 223m m －－是幂函数，且在x ∈（0，＋∞）上是减函数，那么实数 m 的值为A B ．－2 C D ．249．若幂函数()322233-+++=m m xm m y 的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是A ．2-=m B.1-=m C.12-=-=m m 或 D.13-≤≤-m 50．已知幂函数)(x f 过点，则函数)(x f 的表达式为（）B.()2x x f =C.()3x x f = D.高三数学专项训练：函数的性质小题练习参考答案1．B 【解析】试题分析：当0x >时，'()22ln 20xf x x =+>，知2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()2x f x x =+在R 上为单调递增函数.所以22a a ->，解得21a -<<.考点：1.函数单调性的判定；2.一元二次不等式解法. 2．A 【解析】试题分析：根据指数函数的图象可知要使函数的图象经过第二，第三和第四象限，需要0111a b <<⎧⎨-<-⎩，即010<<=,0.30.3log 0.4log 0.31c =<=,所以c b a<<. 考点：本小题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数的大小.点评：当底数不同时，可以选择中间值0,1等. 4．B【解析】对于底数a>1，当则指数函数递增，对数函数递减，那么可以排除C ，A,然后根据对数函数的定义域，则x<0,那么可知选B. 5．D【解析】解：因为令x=2,y=2,函数y ＝a x -2＋1(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点(2，2),选D 6．D【解析】解：因为根据题意，当0<a<1D,当a>1不成立。

高考专题---基本初等函数

专题1：基本初等函数（两课时）班级姓名一、前测训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥1，－x 2＋4，x ＜1，①若f (x )≥2，则x 的取值范围为．②f (x )在区间[－1，3]的值域为．答案：①[－2，＋∞)；②[2，4].2．①若f (x 2＋1)＝x 2，则f (x )＝．②已知f [f (x )]＝9＋4x ，且f (x )是一次函数，则f (x )＝．③已知函数满足2f (x )＋f (1x)＝x ，则f (2)＝；f (x )＝．答案：①x －1(x ≥1)；②2x ＋3或－2x －9；③76，23x －13x． 3．①若二次不等式f (x )＜0的解集为(1，2)，且函数y ＝f (x )的图象过点(－1，2)，则f (x )＝．②已知f (x )＝－x 2＋2x －2，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，则h (t )＝．答案：①13x 2－x ＋23；②⎩⎨⎧－t 2＋2t －2，t ＜12－t 2－1， t ≥12． 4．①已知2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝( 3)x 2＋2x 的值域为． ②设log a 13＜2，则实数a 的取值范围为．答案：①[33，81]；②(0，33)∪(1，＋∞). 5． ①lg 25＋lg2lg50＝．②已知函数y ＝log 12(x 2－2x ＋2)，则它的值域为．③已知函数y ＝log 12(2－ax )在区间[0，1]上为单调递减，则实数a 的取值范围为．答案：①1；②(－∞，0]；③(－∞，0).6．①函数f (x )＝lg x －sin x 零点的个数为．②函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝．答案：①3；②1.二、方法联想1．分段函数方法1：分段函数，分类处理；方法2：分段函数整体处理．2．解析式求法方法1 换元法、配凑法；方法2 待定系数法；方法3 方程组法．3．二次函数二次函数解析式求法一般设为三种形式：(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．二次函数最值求法求二次函数最值，考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍)．4．指数函数(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法．5．对数函数(1)对数式化简可利用公式log a m b n ＝n mlog a b 将底数和真数均化成最简形式． (2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底．6．零点问题方法1 数形结合法；方法2连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上至少存在一个零点．反之不一定成立．二次函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上存在唯一一个零点．三、例题分析第一层次例1.已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1).（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围；（2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值.解：（1）实数x 的取值范围为[2，3).（2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋30(a ∈R )的定义域为R ，求关于x 的方程xa ＋3＝|a －1|＋1的根的取值范围.解：取值范围为[94，18]. 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：方法:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．2．分段函数的值域：方法：①利用函数的图象，求值域．②分别求每个区间的值域，再求并集．(2)方法选择与优化建议：对于问题2，学生一般会选择方法②，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法②．本题的易错点是最后求得的x 的取值范围应该两段函数的值域的并集.例3.已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.（1）若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；（2）若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．解：（1）当a ＞0，b ＞0时，函数f (x )在R 上是增函数．同理，当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．（2）当a ＜0，b ＞0时，x 的取值范围为(log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞)；当a ＞0，b ＜0时，x 的取值范围为(－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ). 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab ＞0”和“ab ＜0”的含义是字母a 、b 同号或异号，因此需要具体到a 、b 各自的符号.第二层次例1.已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1).（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围；（2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值.解：（1）实数x 的取值范围为[2，3).（2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.（1）若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；（2）若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．解：（1）当a ＞0，b ＞0时，函数f (x )在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．（2）当a ＜0，b ＞0时，x 的取值范围为(log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞)；当a ＞0，b ＜0时，x 的取值范围为(－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ). 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab ＞0”和“ab ＜0”的含义是字母a 、b 同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.例3.设命题p：函数f(x)＝1ax2－ax＋1的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a－1对一切正实数x均成立.（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围.解：（1）实数a的取值范围为[0，4).（2）实数a的取值范围为[1，4).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：方法:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．3．复合命题的真假判断：方法：转化为判断构成复合命题的简单命题的真假，再根据逻辑联结词，来判断．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，因为它是二次不等式对于任意实数恒成立，只需研究判定式及二次项系数的符号即可；对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．在考查命题p是真命题时，容易漏掉a＝0的情况，另外容易出现因为忽视“ax2－ax＋1”出现的位置，在限制条件中将“△＞0”错写为“△≥0”.第三层次例1.已知函数f(x)＝log a(8－2x)(a＞0，且a≠1).（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.解：（1）实数x的取值范围为[2，3).（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为log a49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.（1）若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；（2）若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．解：（1）当a ＞0，b ＞0时，函数f (x )在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．（2）当a ＜0，b ＞0时，x 的取值范围为(log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞)；当a ＞0，b ＜0时，x 的取值范围为(－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ). 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象； ②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式． ②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a 的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab ＞0”和“ab ＜0”的含义是字母a 、b 同号或异号，因此需要具体到a 、b 各自的符号.例3.已知函数f (x )＝a －1|x |. （1）求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；（2）若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．解：（1）f (x )在(0，＋∞)上为增函数．（2）a 的取值范围为(－∞，3]．（3）a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．3．已知函数的值域，求参数的取值：方法：借助函数的图象了解函数单调性，再根据函数的单调性找最值来处理．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．。

第二章必刷小题3 基本初等函数-2025数学大一轮复习高考必刷题专练

一、单项选择题1．已知函数f (x )＝log 3x 与g (x )的图象关于y ＝x 对称，则g (－1)等于()A ．3 B.13C ．1D ．－12．(2023·邯郸质检)已知幂函数f (x )满足f (6)f (2)＝4，则f 13()A ．2 B.14C ．－14D ．－23．函数y ＝log 0.5(2－x －x 2)的单调递增区间为()A.－∞，－12B.－2，－12C.－12，＋∞ D.－12，14．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a －x ，y ＝log a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象可能是()5．函数f (x )＝lg(4x －2x ＋1＋11)的最小值是()A ．10B ．1C ．11D ．lg 116．若实数m ，n ，p 满足32534e ,5e m n ==，p ＝18e2()A ．p <m <nB ．p <n <mC ．m 0且a ≠1)，若f (x )>1恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(1,2)D ．(2，＋∞)8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)()A ．5B ．6C ．7D ．8二、多项选择题9．在下列四个图形中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y 的图象可能是()10．若0<a <1，则下列关系成立的是()A ．log a (1－a )>log a (1＋a )B ．log a (1＋a )<0C ．1132(1)(1)a a -<-D ．a 1－a <111．(2024·绥化模拟)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)12．(2023·郴州质检)已知正实数x ，y ，z 满足2x ＝3y ＝6z ，则()A.1x ＋1y ＝1zB ．2x >3y >6zC ．xy <4z 2D ．x ＋y >4z 三、填空题13．计算：23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋πlg 1＋log 223－log 4169＝________.14．方程log x 10＋2log 10x ＝6的解为________．15．已知函数f (x )＝lg(|x |＋1)，则使不等式f (2x ＋1)<f (3x )成立的x 的取值范围是________．16．若关于x 的不等式k e x ＋(k －1)e －x ＋2k ＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k 的取值范围是________．。

高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用

第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时，n a n＝a . (3)当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a <0.(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a mn＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r·a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q)．②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q)． ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q)．二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质(1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N＝N .(3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)．[小题速通]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a.2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x＝3－2＋13＝43.3.log 232－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选 B log 232－4log 23＋4＋log 213＝log 23－22－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )＝( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x 解析：选A 依题意知x <0，故－x3x＝－－x3x 2＝－－x .2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则x y的值为________．解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0，故x ＝y 不符合题意，舍去．所以x ＝4y ，即x y＝4. 答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92D.⎝⎛⎭⎪⎫－20，92解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝ 4幂函数[过双基]1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质函数特征性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R)之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x为增函数，f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (2)＝a 2.∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数对数函数的图象与性质y ＝log a x (a >0，且a ≠1)a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞)当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)；当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 232x －1 的定义域是( ) A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 232x －1≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x－1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知：当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B.当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d 2，d ＝log 20.3<0，由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,10)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x2(2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析：设f (x )＝x α，又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α，解得α＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x，x ≤1，ln x －1，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，e 1－x≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln x －1≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)．答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，恒有4x <log ax (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝4x，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得22≤a <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值．解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立，化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0，解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数 5年2考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例] ((n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )解析：选C ∵0<a 3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8，即4a－2a －1－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝1(x－3)2.42．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：1二次函数的图象与性质；2二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是( )A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m 的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈－∞，0∪0，1，－1a，a ∈[1，＋∞.4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f1＝x 2－3x ＋2>0，f －1＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3.5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1.7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点；当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f xx，令g (x )＝f xx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a 0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1，同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k －2，则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R. 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减，故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1.答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]指数函数的图象 5年3考指数函数图象的应用指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x·x2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x·x 2e －2x ＋1＝e x·x21＋e 2x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D 项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B 由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥1，⎝⎛⎭⎪⎫12x－1，x<1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]指数函数的性质高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题.常见的命题角度有：1比较大小或解不等式；2与指数函数有关的函数值域问题；3与指数函数有关的单调性问题；4与指数函数有关的最值与参数问题.角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( )A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：选B A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，故B正确；C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，故C错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x－4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解．角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y，所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥231x ＋1y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立．故1x ＋1y的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0.。

高考数学三轮冲刺专题提升训练基本初等函数(5)

基本初等函数（5）1、对于函数与，若区间上的最大值称为与的“绝对差”，则在上的“绝对差”为A ．B ． C. D ．2、方程的解（）4、给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（A ）（B ）（C ）（D）5、已知函数，若f（a﹣2）+f（a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．或B．a＞1 C．或D．a＜1]6、已知函数中，常数那么的解集为A． B． C．D．8、已知集合A={}，B={},且A∩B=A,则的所有值组成的集合是（）A. B. C.{,} D.{, ,0}9、下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A．， B．C． D．12、函数f(x)=3x–2的反函数f–1(x)=________．13、已知命题，则（）A. 不存在，B. ，C. ，D. ，15、已知二次函数的最小值为1，且．（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．16、已知，函数，当时，的值域为．（1）求的值；（2）设，,求的单调区间．17、19、已知函数。

（1）求函数的定义域和值域；（2）设（为实数），求在时的最大值；（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。

20、已知函数，.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围．23、已知函数，（1）当时，求的最大值和最小值（2）若在上是单调函数，且，求的取值范围27、设的定义域为A，的定义域为B。

（I）求A、B；（Ⅱ）若，p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围。

28、已知函数R,（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根，求的值。

31、（文）若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是___．32、函数的值域是33、不等式||>的解集为A，不等式|log2x|<2的解集为B，则A∩B＝________.1、D2、B 4、【解析】①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。

高考数学三轮冲刺基本初等函数课时提升训练(2).docx

基本初等函数（2）1、若，则 ;4、设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是。

5、已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．7、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是．8、定义在上满足:，当时，=，则= ．9、若曲线与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是．12、设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为______________13、设函数，（1）若不等式的解集．求的值；（2）若求的最小值．15、已知且，求的值.19、设（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若存在实数满足，试求实数的取值范围.30、定义在R上的函数满足当-1≤x<3时，A．2013 B．2012 C．338 D．33734、已知是函数的零点，，则①；②；③；④其中正确的命题是（）（A）①④（B）②④（C）①③（D）②③40、函数的图象大致是（）1、2 4、 5、答案：3解析：，7、由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。

通过换元结合图象可得8、2 9、【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以若曲线与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是。

12、213、915、 19、解：（Ⅰ）f(x)＝|x－3|＋|x－4|＝作函数y＝f(x)的图象，它与直线y＝2交点的横坐标为和，由图象知不等式的定义域为[，]．（Ⅱ）函数y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线．当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)．30、【答案】D【解析】因为，所以函数的周期为6，又因为当-1≤x<3时，f(x)=x，所以，所以34、A40、C 【解析】由于，因此函数是奇函数，其图像关于原点对称．当时，对函数求导可知函数先增后减，结合选项可知选C。

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专题三《基本初等函数》
数学试卷
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
卡上
第1卷
一、选择题
1、给出下列函数
①;②;③;④;⑤
.其中满足条件
的函数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、函数的值域是( )
A.
B.
C.
D.
3、设函数,如果,则的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
4、设为正数,且,则( )
A.
B.
C.
D.
5、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原
子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据:)
A.
B.
C.
D.
6、已知函数(且)过定点,则点坐标( )
A.
B.
C.
D.
7、若函数,则 ( )
A.
B.
C.
D.
8、函数的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9、已知,则的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
10、已知奇函数在上是增函数,.若
,,,则的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
11、已知函数,若,则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
12、幂函数在上是增函数,则( )
A.2
B. -1
C.4
D.2或-1
二、填空题
13、当,不等式恒成立,则实数的取值范围为________.
14、已知函数,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是______.
15、已知函数,则
.
16、若对于恒成立,则实数的取值范围是_______.
三、解答题
17、已知函数,,其中且
,.
1.若,且时,的最小值是,求实数的值;
2.若,且时,有
恒成立,求实数的取值范围.
18、
已知函数为常数,且得图象过点
1. 求实数的值;
2. 若函数试判断函数的奇偶数,并说明理由.
19、已知函数(且).
1.当时,求不等式的解集;
2.当时,恒成立,求实数的取值范围.
20、已知函数.
1.当时,求函数的值域;
2.是否存在,使在上单调递增,若存在,求出的取值范围;不存在,请说明理由.
21、已知函数是偶函数.
1.求的值;
2.若函数,是否存在实数使得
最小值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
四、计算题
1.
2.
参考答案：
一、选择题
1.
答案：B
解析：根据指数函数图像可知①不是凸函数,是凹函数;②,也是凹函数,不满足条件;③;也是凹函数;④;作图可知道是凸函数,成立;⑤是定义域内的凸函数,符合题意,故正确的个数为2,选B.
考点:本试题主要考查了凸函数的概念的理解和运用。

点评:解决该试题的关键是理解满足条件的函数必须要满足任意两点的中点的函数值都高于端点函数值和的一半。

即为凸函数。

2.
答案：B
解析：∵,∴函数的值域是
.
3.
答案：C
解析：当时,,则;当时,,则,故的取值范围是,故选C.
4.
答案：D
解析：取对数:,
,
∴,
,
则,
∴,
∴,
故选D。

5.
答案：D
解析：由于
,
所以,即最接近,故选D.
6.
答案：C
解析：令,得,所以,所以点坐标为
.
7.
答案：D
解析：因为,且,所以
,所以,,所以
.
8.
答案：C
解析：
,所以函数的最小值为.
9.
答案：C
解析：因为,,所以;故选C.
10.
答案：C
解析：因为是奇函数且在上是增函数,所以在时,,
从而是上的偶函数,且在上是增函数,
,,
又,则,所以即
,,
所以,故选C.
11.
答案：B
解析：由得,或,所以或,
由得或,
由得,
所以实数的取值范围为,故选B.
12.
答案：A
解析：根据幂函数的定义可知,,解得或,所以
或,又因为在上是增函数,所以
,,故选A.
二、填空题
13.
答案：
解析：显然,所以原不等式即为
,,易知函数是减函数,因此当时,,所以,即.
14.
答案：
解析：在上分别为增函数、减函数,则为增函数;
因为,所以在为奇函数;
因为,所以
,,
所以,在上恒成立,
所以,所以.
15.
答案：2
解析：
,.
16.
答案：
解析：,
因为,所以,
令,,所以,
令,所以,
令,所以,
所以在递增;在上递减,
所以,所以.
三、解答题
17.
答案：1.∵ ,
∴
,
易证在上单调递减,在上单调递增,且
,
∴ ,,
∴当时,,由,解得(舍去),
当时,,由,解得,
综上知实数的值是.
2.∵ 恒成立,即恒成立,
∴ ,
又∵ ,,∴,
∴恒成立,
∴,
令, ∴ .
故实数的取值范围为.
18.
答案：1. 把的坐标代入得
解得.
2. 是奇函数,理由如下:
由1知
所以.
函数的定义域为.
又.
所以函数为奇函数.
19.
答案：1.由于,于是不等式即为, 所以,解得.
即原不等式的解集为.
2.由可得,即:.
设,则为一次函数或常数函数,由
时,恒成立得:
,
又且,∴.
20.
答案：1.当时,,
设,
∴,∴的值域为.
2.要使在上单调递增,
只需
在上单调递减且在
上恒成立,
所以,此不等式无解,故不存在,使在上单调递增.
21. 答案： 1.∵,即
对于
任意
恒成立,
∴,
∴.
2.由题意,
令,
,开口向上,对称轴
,
当,即
时,
;
当
,
即
时,(舍去);
当,即时,,∴(舍
去). 存在使得最小值为.
四、计算题 22. 答
案： 1.原式
.
2.原式
.。