人教版高中数学高二数学必修五学案 2.3 求通项1

课题:求数列的通项公式 自主预习案（一）
【学习目标】会用n S 法、累加法求数列的通项公式。

【预习内容】
1、n S 法求数列的通项公式
例题：数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，求n a 。

分析：考虑到123n n S a a a a =++++ 所以有11231n n S a a a a --=++++
两式相减即可得到n a 。

【归纳总结】
解：当1n =时，116a S == n S 法求通项的步骤： 当2n ≥时，1n n n a S S -=- 1.当1n =时，1a =
()()2
223[2113]n n n n =++--+-+ 2.当2n ≥时， 41n =- n a = 检验1n =时，136a =≠ 3.检验1a 是否符合
6,141,2
n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩ 所求n a 4.结论
易错点：没有对1a 进行检验，通项公式没有写成分段的。

11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 2、累加法求数列的通项公式
例题：已知数列{}n a 中，1a =1，()-12,2n n a a n n =+≥，求n a 。

分析：若2n 为常数，则递推式符合等差数列的定义，类似的可
以考虑累加法。

解：由题12n n a a n --=，()2n ≥ 【归纳总结】
()1221n n a a n --∴-=- 1.累加法求通项的条件：
已知1a ，()1n n a a f n --= 3223a a -=⨯
2122a a -=⨯ 2.累加法求通项的步骤： 以上所有1n -个式子累加得 （1）写出()1n n a a f n --= ()12212322n a a n n -=+-++⨯+⨯
（2）累加1n -个式子得 ()()
4212n n +-=
当 时的n a ()()21n n =+-22n n =+-
（3）检验1a 是否符合所求n a 11a =，()21,2n a n n n ∴=+-≥
（4）结论 检验：11a =不符合，所以()21,1
1,2n n a n n n =⎧⎪=⎨+-≥⎪⎩
易错点：没有检验1a
【预习检测】
1. 数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =-，求n a
2. 已知数列{}n a 中，1a =1，()-1,2n n a a n n =+≥，求n a 。

【我的收获】
【我的疑惑】
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课题：求数列的通项公式 合作探究案（一）
【预习反馈】
【合作探究一】数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，求n a
【合作探究二】已知数列{}n a 满足1a =-1，()-1212n n a a n n =+-≥，，求n a 。

【拓展训练】
1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足3n n S =，求n a 。

2.已知数列{}n a 中，()1111,,2(1)
n n a a a n n n -==+
≥-，求n a 。

【总结提升】
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课题：求数列的通项公式 复习巩固案（一）
1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，求n a 。

2.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-，求n a 。

3.已知数列{}n a 中，
1a =3，()13,2n n a a n n -=+≥，求n a 。

4.已知数列{}n a 中，
1a =3，()113,2n n n a a n --=+≥，求n a 。

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课题:求数列的通项公式 自主预习案（二）
【学习目标】1.会用累乘法求数列的通项公式；
2.会用构造法求数列的通项公式。

【预习内容】
1.累乘法求通项
例题：已知数列{}n a 中，1a =1，()11,21
n n n a a n n -+=≥-，求n a 。

分析：题中给出的递推式容易联想到等比数列的定义。

类比累加法，可以考虑累乘。

解：由题可得()11,21n n a n n a n -+=≥- 122
n n a n a n --∴=- 【归纳总结】 2313
n n
a n a n ---=- 1.累乘法求通项的条件： 3242a a = 已知1a ，()1
n n a f n a -= 2131
a a = 2.累乘法求通项的步骤：
以上1n -个式子累乘得： （1）写出()1
n n a f n a -= 111543123
321n a n n n a n n n +-=⋅⋅⋅⋅--- （2）累乘1n -个式子得 ()12n n += 当 时的n a ()111,2n
n n a a +=∴= （3）检验1a 是否符合所求n a
检验：当1n =时，1a 符合上式 （4）结论
综上：()12n n n a +=
易错点：没有检验1a 。

2.构造法求数列的通项
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例题：已知数列{}n a 中，1a =2，()121,2n n a a n -=-≥，求n a 。

分析：该数列递推公式有些类似等比数列定义式，区别就是多了
一个常数项。

因此，可以考虑将递推式变形成等比数列的
定义式进行求解。

解：()121,2n n a a n -=-≥ 【归纳总结】 ()1112221n n n a a a --∴-=-=- 递推公式形如1n n a pa q -=+ 1121
n n a a --∴=- （,p q 为非0常数）时，在等式 112
11a a =∴-= 两边加上同一个常数，构造新 数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列。

的等比数列。

即112n n a --=，121n n a -∴=+
易错点：构造后的数列成等比，而不是原数列。

【预习检测】
1.已知数列{}n a 满足1a =
23，11(2)n n n a a n n --=⋅≥，求n a 。

2.已知数列{}n a 满足1a =1，()11122
n n a a n -=
+≥，求n a 。

【我的收获】
【我的疑惑】
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课题：求数列的通项公式 合作探究案（二）
【预习反馈】
【合作探究一】已知数列{}n a 中，1a =1，()11,21
n n n a a n n --=≥+，求n a 。

【合作探究二】已知数列{}n a 中，1a =2，()132,2n n a a n -=-≥，求n a 。

【拓展训练】
1.已知数列{}n a 中，1a =1，()12,2n n n a a n -=≥，求n a 。

2.已知数列{}n a 中，1a =2，()112,23n n a a n -=
+≥，求n a 。

【总结提升】
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课题：求数列的通项公式 复习巩固案（二）
1.已知数列{}n a 中，1a =1，()131,232n n n a a n n --=
≥+，求n a 。

2.已知数列{}n a 中，1a =3，()11,22
n n n a a n n -+=≥+，求n a 。

3.已知数列{}n a 中，1a =1，()13,2n n n a a n -=≥，求n a 。

4.已知数列{}n a 中，1a =2，()11,22n n n a a n -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求n a 。