[精品]2019高中数学2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式预习导学案新人教B版必修88
[精品]2019高中数学2.2.2直线方程的几种形式知识导学案新人教B版必修83
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2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式知识梳理1.直线的倾斜角和斜率 (1)倾斜角α:当直线l 与x 轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和l 重合时所转过的最小角,即为α； 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α=0，故α的取值范围是0≤α＜π. (2)斜率k:k=tan α，当α=0时，k=0；当0＜α＜2π时，k ＞0；当α=2π时，k 不存在；当α＞2π时，k ＜０. (3)两点斜率公式——直线方向坐标化:已知直线上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线的斜率k=1212x x y y --(x 1≠x 2).2.直线方程的几种形式直线方程都是关于x 、y 的一次方程，关于x 、y 的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 平行于x 轴的直线方程为y=a;平行于y 轴的直线方程为x=b(平行于y 轴的直线的斜率不存在); 过原点的直线方程为y=kx; x 轴的方程是y=0;y 轴的方程是x=0(y 轴的斜率不存在). 知识导学要学好本节内容，应突破已知直线的斜率求直线倾斜角的难点,主要在于对直线倾斜角范围的认识,特别是斜率为负值且不是特殊角的情况,要注意钝角和负角的区别.根据直线的斜率取值范围求倾斜角的取值范围也是本节的难点,特别是斜率既有负值又有正值的情况是比较容易混淆的,这类问题可以结合正切函数的图象写出结果.根据实际问题认清直线方程的五种形式各有自己的特点,解题时作出灵活选择与判断.实际上,我们用的最多的还是点斜式和斜截式的方程,在设出这些方程的时候一定要根据实际的图形来判断斜率不存在的情况,在使用截距式方程时还要讨论过原点的情况,特别是在问题中出现“在两坐标轴上的截距(或者截距的绝对值)相等”这一类的问题.已知斜率的范围求倾斜角的范围的记忆口诀:斜率有正负,图象来定位. 疑难突破1.方程y=kx+b(k≠0)能表示所有直线吗？剖析:方程y=kx+b(k≠0)是直线方程的一种形式——斜截式，由于直线按斜率分类可以分为两类：一类是存在斜率的直线，另一类是不存在斜率的直线.故方程y=kx+b(k≠0)只能表示斜率存在的直线，而斜率不存在的直线用方程y=kx+b(k≠0)是不能表示的.所以方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线.由方程y=kx+b(k≠0)不能表示所有的直线，我们可以得出一般性的结论：平面直角坐标系中，凡是根据直线的斜率推导出来的直线方程都不能表示所有的直线.如：点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示所有直线. 2.在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中有三个不同参数A 、B 、C,为什么可由两个独立条件确定一条直线？ 剖析:根据等式的基本性质：在等式两边同时乘以(或除以)一个非零的数(或式子)，等式仍然成立.由于在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中已经给出了一个已知条件“A、B 不同时为零”，所以从形式上看有三个不同参数，而实际上我们可以把它转化成只含有两个不同参数的方程，即在方程Ax+By+C=0的两边同时除以A(或B)，则原方程可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),也就是说，在二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)中,形式上尽管有三个不同参数A 、B 、C,但却可由其中的两个独立条件确定一条直线.根据条件“A、B 不同时为零”进行分类讨论：(1)当A=0，B≠0时，方程Ax+By+C=0即为By+C=0，也就是y=-BC，这是一条与x 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(2)当B=0，A≠0时，方程Ax+By+C=0即为Ax+C=0，也就是x=-AC，这是一条与y 轴平行或重合的直线，当然可以由两个独立条件确定.(3)当A≠0且B≠0时，方程Ax+By+C=0可转化为x+A B y+A C =0(或B A x+y+BC=0),即原方程可转化为只含有两个待定系数的方程.当然可以由两个独立条件确定.3.利用斜率相等你可以得到哪些结论？剖析:斜率公式的应用非常广泛，在利用斜率公式时应注意：(1)直线的倾斜角和斜率是直线本身的属性，它们重视与三角函数的渗透和对字母参数的讨论;(2)斜率与倾斜角是数与形的有机结合.不同的两条直线斜率相等时,它们的倾斜角也相等，所以这两条直线平行.在三点两两相连确定的直线中，如果经过同一点的两直线斜率相等，则这三点共线.4.研究直线的方程的基础是什么？在学习直线的斜率公式k=1212x x y y --(x 1≠x 2)时需要注意什么？剖析:斜率公式表明直线对于x 轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而使用比较方便.斜率(公式)是研究直线方程的各种形式的基础，必须熟记并灵活运用.斜率公式与选取两点的顺序与位置无关.当x 1≠x 2,即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立；当x 1=x 2时，倾斜角α=2π，而没有斜率，故斜率公式不成立.。
【教育资料】056--2.2.2 直线方程的几种形式(2)学习专用
昆虫记阅读题及答案
（2）求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
武术期末考试试卷
教学工作情况五、课堂练习
机器人教学存在的问题1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()
新军事变革全面发展始于。A．y＝x＋3B．y＝－x＋1C．y＝x＋2D．y＝－x－2
高一数学（2019级）导学案
课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：056
2.2.2直线方程的几种形式（2）
一、学习目标
1、掌握直线方程的两点式．
2、掌握直线方程的截距式．
3、进一步巩固截距的概念．
二、基础知识
1、直线方程的两点式和截距式
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两
点
式
P1(x1，y1)，
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 ＋ ＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式
2、一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()
A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
P2(x2，y2)，
其中x1≠x2，
y1≠y2
＝
斜率存在
且不为0
截
距
式
在x，y轴上的
截距分别为a，b且ab≠0
斜率存在且不为0，
不过原点
2、线段ห้องสมุดไป่ตู้中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则 ．
直线方程的五种形式(包括哪五种)
直线方程的五种形式（包括哪五
种）
大家好，小乐为大家解答以下问题。
很多人不知道线性方程的五种形式，包括哪五种。
现在让我们来看看！
一、直线方程的五种形式
1、1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
2、2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3、3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4、4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5、5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
二、五种形式的注意事项
6、一般式为ax+by+c=0，它的优点就是它可以表示平面上的任意一条直线，仅此而已。
其它式都有特例直线不能表示。
比如：
7、1：斜截式y=kx+b，就不能表示垂直x轴的直线x=a.
8、2：点斜式y-y0=k(x-x0)，也不能表示垂直x轴的直线x=a
9、3：两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
不能表示两点x1=x2或y1=y2时的直线（即垂直或水平直线）
10、4：截距式x/a+y/b=1不能表示截距为0时的直线，比如正比例直线。
本文到此结束，希望对你有所帮助。
【高中教育】最新高中数学2-2直线的方程2-2-2直线方程的几种形式预习导学案新人教B版必修2
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学2-2直线的方程2-2-2直线方程的几种形式预习导学案新人教B版必修2______年______月______日____________________部门预习导航课程目标学习脉络1．通过点斜式方程的推导，初步体会求直线方程的方法与过程．2．理解并掌握直线方程的几种形式以及它们之间的相互转化．3．能根据确定直线位置的几何要素，灵活选用方程形式来求直线的方程．1．直线方程的几种形式名称已知条件方程说明点斜式 点P (x 1，y 1)和斜率ky －y 1＝k (x －x 1)不包括y 轴和平行于y 轴的直线斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b y ＝kx ＋b不包括y 轴和平行于y 轴的直线两点式点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)121y y y y --＝121x x x x -- (x 1≠x 2，y 1≠y 2)不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为bx a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0) 不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线一般式——Ax ＋By ＋C ＝0 A ，B 不同时为0思考1 方程＝k 和y －y0＝k(x －x0)表示同一条直线吗？y y x x -- 提示：方程＝k 和y －y0＝k(x －x0)不表示同一条直线，前者表示的直线缺少一个点P0(x0，y0)．y y x x --思考2 截距是距离吗？提示：“截距”并非指“距离”，它是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，可以取一切实数，而距离必须大于或等于零．思考3 怎样的直线不能用两点式表示？两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了？提示：两点式不适用于斜率为0与斜率不存在的直线．只需将＝变形为(x －x2)·(y2－y1)＝(y －y2)(x2－x1)的形式，就能适用于所有直线了．221y y y y --221x x x x --特别提醒 如果直线l 的方程为＋＝1，则x a yb①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|＋|b|＋；22a b + ②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝|ab|；12③当直线在两坐标轴上的截距相等时，直线l 的斜率k ＝－1，故常设直线方程为x ＋y ＝a ．2．几种特殊直线的方程选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)．过点(a ，b)且平行于x 轴的直线方程为y ＝b ．过点(a ，b)且平行于y 轴的直线方程为x ＝a(平行于y 轴的直线的斜率不存在)．过原点的直线方程为y ＝kx(k≠0)．x 轴的方程是y ＝0．y轴的方程是x＝0(y轴的斜率不存在)．思考4 在方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，当A＝0或B＝0时方程分别表示怎样的直线？提示：在方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若B＝0，则x＝－，它表示一条与y轴平行或重合的直线，此时直线的斜率不存在；若A＝0，则y＝－，它表示一条与x轴平行或重合的直线，此时直线的斜率为0．。
原创1：2.2.2 直线方程的几种形式（一）（讲授式）
生能用联系的观点看问题．
学习目标
三维目标及重难点分析
4 ．重点与难点
重点
直线的点斜式方程和两点式方程.
难点
直线的点斜式方程和两点式方程的应用．
新课讲授
点斜式直线方程的概念
直线的点斜式方程
由直线上一定点和直线的斜率确定
的直线方程，叫直线的点斜式方程，即过点P0（x0，y0），
ሺ ≠ ሻ，
−
所以由直线的点斜式方程可得
− =
又因为 ≠ ，
−
ሺ
−
− ሻ.
这就是经过两点
， 和 ，
( ≠ , ≠ )的直线方程.
新课讲授
直线的两点式方程
直线的两点式方程
( ≠ , ≠
答：斜率不存在或倾斜角为90°时，
显然直线 l 上的任何一点的横坐标均相同， y
均为x0，而y0可以为任意实数，所以这时的
直线方程为x= x0 或x- x0=0.
特别的，y 轴所在的直线上的每一点的横坐
标均为0，所以其所在直线的方程为x=0.
O
l
0 ሺ0 ，
0 ሻ
x
新课讲授
直线方程的特例——其它直线方程
思考9
我们把经过两点 ， 和 ，
−
)的直线方程
−
=
−
叫做直线的两点式方程.
−
若 = 或者 = ，这个方程还能用吗?
答：因为当x1＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义，
所以此时直线P1P2没有两点式方程.
达标检测
直线方程的点斜式与斜截式的理解与应用
3.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( B )
精品推荐高中数学2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式预习导学案新人教B版必修2
2.2.2 直线方程的几种形式预习导航1．直线方程的几种形式说明不包括y 轴和平行于思考1 方程x x -＝k 和y －y 0＝k (x －x 0)表示同一条直线吗？ 提示：方程y y x x --＝k 和y －y 0＝k (x －x 0)不表示同一条直线，前者表示的直线缺少一个点P 0(x 0，y 0)． 思考2 截距是距离吗？提示：“截距”并非指“距离”，它是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，可以取一切实数，而距离必须大于或等于零．思考3 怎样的直线不能用两点式表示？两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了？提示：两点式不适用于斜率为0与斜率不存在的直线．只需将221y y y y --＝221x x x x --变形为(x －x 2)·(y 2－y 1)＝(y －y 2)(x 2－x 1)的形式，就能适用于所有直线了．特别提醒 如果直线l 的方程为x a ＋yb＝1，则 ①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a |＋|b |②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|ab |； ③当直线在两坐标轴上的截距相等时，直线l 的斜率k ＝－1，故常设直线方程为x ＋y ＝a ． 2．几种特殊直线的方程选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)．过点(a ，b )且平行于x 轴的直线方程为y ＝b ．过点(a ，b )且平行于y 轴的直线方程为x ＝a (平行于y 轴的直线的斜率不存在)． 过原点的直线方程为y ＝kx (k ≠0)．x 轴的方程是y ＝0．y 轴的方程是x ＝0(y 轴的斜率不存在)．思考4 在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，当A ＝0或B ＝0时方程分别表示怎样的直线？ 提示：在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与y 轴平行或重合的直线，此时直线的斜率不存在；若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与x 轴平行或重合的直线，此时直线的斜率为0．。
原创2：2.2.2 直线方程的几种形式（二）（问题导学式）
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
y
解析：由题设条件可知b≠0，将直线方程化成斜截式
得：y＝－ x－ ．∵直线过第一、二、三象限，∴它
的斜率与在y轴上的截距均为正，
∴－ >0，－ >0.∴ab<0，bc<0，∴应选择D.
O
x
课堂练习
1.若直线 l 在 x 轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
【问题1】上述四种直线方程有什么共同特征？Fra bibliotek【提示】
它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是
一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，它们又都可以
变形为Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的形式.
探究点1
直线的方程与二元一次方程之间的关系
【问题2】关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）
1 3
(2)由(1)知直线恒过定点A( ， ).
5 5
y
1 3
A( ， )
5 5
直线OA的斜率为kOA＝3.
直线l恒过A点，且斜率为a，
则要使直线l不经过第二象限，须k＝a≥3.
O
x
规律总结：
1.直线过定点问题通常方法有：
①化直线为点斜式，从而求出定点；
②以参数a为主元，化直线为关于参数a的方程，根据等式恒成
都表示直线吗？
【提示】
A C
A
若B≠0，方程可化为：y＝− x− ，表示斜率为− ，在
B B
B
C
C
y轴上截距为− 的直线；若B=0，方程可化为x＝− ，表示垂直于x
2.2.2直线方程的几种形式(2)
解法二：因为 ， 在已知直线上 在已知直线上， 解法二：因为P(2，3)在已知直线上，
2a1 + 3b1 + 1 = 0 所以 2a2 + 3b2 + 1 = 0
可见两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的坐标 可见两点 ， 的坐标 都满足方程2x+3y+1=0， ， 都满足方程 所以过Q 所以过 1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直 ， 两点的直 线方程是2x+3y+1=0. 线方程是
3．在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零） ．在一般式 不全为零） （ 、 不全为零 中， 若A=0，则y= ， 直的直线； 直的直线； 直的直线. 直的直线
C 它表示一条与 轴垂 − ，它表示一条与y轴垂 B
C 它表示一条与x轴垂 若B=0，则x = − ，它表示一条与 轴垂 ， A
例1．过点 ．过点A(1，4)且纵截距与横截距相等 ， 且纵截距与横截距相等 的直线方程. 的直线方程 解：（1）当直线经过原点时，横截距和 ：（ ）当直线经过原点时， 纵截距都为0，符合题意； 纵截距都为 ，符合题意；直线方程为 y=4x. （2）当直线不经过原点时， ）当直线不经过原点时，
1 为：S= | ab | ； 2
x y 此时， 此时，直线的方程为 + = 1 ， 2 4
即2x+y－4=0. －
过点P(1， 作直线 作直线l， ， 轴的正半轴 过点 ，2)作直线 ，交x，y轴的正半轴 两点， 面积为4， 于A、B两点，求使△OAB面积为 ，这样的 、 两点 求使△ 面积为 直线有几条？面积为5呢 面积为3呢 直线有几条？面积为 呢？面积为 呢？
若A≠0，则方程化为 ， 定
高中数学2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式学案新人教B版必修2
2.2.2 直线方程的几种形式1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式)，尤其要掌握点斜式、斜截式和一般式．2．理解直线与二元一次方程的对应关系．1．直线方程的几种形式名称已知条件方程说明点斜式点P(x1，y1)和斜率k __________不包括y轴和平行于y轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距b________不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)__________不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b__________(a≠0，b≠0)不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线一般式——________A，B不同时为0A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)【做一做1－2】集合A＝{x|x为直线的斜截式方程}，B＝{x|x为一次函数的解析式}，则集合A，B间的关系为( )．A．A⊆B B．B A C．B＝A D．A B【做一做1－3】若ac＜0，bc＞0，那么直线ax＋by＋c＝0必不过( )．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【做一做1－4】过点P(2,1)，斜率为－3的直线方程为__________．2．几种特殊直线的方程直线方程都是关于x，y的一次方程，关于x，y的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)．平行于x轴的直线方程为______．平行于y轴的直线方程为______(平行于y轴的直线的斜率______)．过原点的直线方程为______．x轴的方程是______．y轴的方程是______(y轴的斜率______)．在学习直线的斜截式方程时要注意“截距”与“距离”的区别，实际上直线在y轴上的截距是指与y轴交点的纵坐标，而不是交点到原点的距离．【做一做2－1】若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )．A ．m ≠0B ．m ≠－32C ．m ≠1D ．m ≠1，m ≠－32，m ≠0【做一做2－2】已知直线过点(1,1)，则(1)垂直于x 轴的直线方程为__________； (2)垂直于y 轴的直线方程为__________； (3)截距相等的直线方程为__________．1．直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化 剖析：直线方程各种形式之间的转化关系如下．2．直线方程的几种形式的选择技巧剖析：(1)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，如对于点斜式和斜截式，要求直线的斜率存在，因此，如果选用点斜式或斜截式，应考虑斜率不存在的情况．对于两点式，它不能表示平行或重合于坐标轴的直线．截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外，还不能表示过原点的直线．那么，如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢？一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．另外，从所求的问题来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，则应选用截距式．(2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式．一般地，已知一点就待定斜率k ，但应注意讨论当斜率k 不存在时的情形；如果是已知斜率k ，一般选择斜截式，待定纵截距b ；如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截距．一般来说，几个系数待定就应列出几个方程．有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形式不同，导致的运算繁简程度就不同． 3．教材中的“？”函数y ＝kx ＋b 与方程y ＝kx ＋b ，这两种说法的含义相同吗？剖析：不相同，当k ≠0时，函数y ＝kx ＋b 是一次函数，方程y ＝kx ＋b 表示斜率不为0的直线；当k ＝0(b ≠0)时，函数y ＝kx ＋b 是常数函数，方程y ＝kx ＋b 表示一条平行于x 轴的直线．4．教材中的“思考与讨论”已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程． 剖析：过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，由点斜式方程得y －y 2＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 2)，变形得y －y 2y 2－y 1＝x －x 2x 2－x 1(x 1≠x 2，y 2≠y 1)．把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程．题型一 直线方程的点斜式 【例1】求下列直线的方程：(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－2； (2)过点P (2,－5)，且与x 轴平行； (3)过点P (3,－1)，且与y 轴平行．分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答． 反思：由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件，对于斜率为0和斜率不存在时要区别对待．题型二 直线方程的斜截式【例2】方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )．反思：根据直线的方程判断直线的形状，通常把直线转化成斜截式的形式，利用斜率和截距的几何意义作出判断．若直线l 的方程是y ＝kx ＋b ，则有①k ＞0，b ＞0⇔l 仅过第一、二、三象限； ②k ＞0，b ＝0⇔l 仅过第一、三象限； ③k ＞0，b ＜0⇔l 仅过第一、三、四象限； ④k ＜0，b ＞0⇔l 仅过第一、二、四象限； ⑤k ＜0，b ＝0⇔l 仅过第二、四象限； ⑥k ＜0，b ＜0⇔l 仅过第二、三、四象限；⑦k ＝0，b ＞0⇔l 仅过第一、二象限； ⑧k ＝0，b ＝0⇔l 不过任何象限； ⑨k ＝0，b ＜0⇔l 仅过第三、四象限． 题型三 直线方程的两点式【例3】三角形的顶点是A (－5,0)，B (3,－3)，C (0,2)，求这个三角形的三条边所在直线的方程．分析：由于每一条边上的两个点(顶点)已知，故可直接用两点式求解；或由两点可求出每条边所在直线的斜率，故可选择一个点(两顶点中的一个)，利用点斜式求该边所在直线的方程．反思：(1)由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式；(2)一定要注意两点式的对称性：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)． 题型四 直线方程的一般式【例4】设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．分析：(1)从截距的定义入手，因方程中含有变量a ，故需要对截距进行分类讨论．问题(2)中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑．反思：对于与截距有关的问题，一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等．题型五 易错辨析【例5】求经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．错解：设直线方程为x a ＋y a＝1，将x ＝2，y ＝3代入，得2a ＋3a＝1，解得a ＝5.故所求的直线方程为x ＋y －5＝0.错因分析：忘记截距为0的情况，而导致丢解． 【例6】求过点M (m,0)和点N (2,1)的直线的方程． 错解：由两点式直线方程得y －01－0＝x －m2－m， 整理得x ＋(m －2)y －m ＝0.错因分析：没有分类讨论，而忽视了两点式方程的适用条件为x 1≠x 2且y 1≠y 2，因题中已知含参数，故应讨论．1过点A (－2,1)且与x 轴垂直的直线的方程是( )． A ．x ＝－2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝－22在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( )． A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －23过点P (3,2)和点Q (4,7)的直线方程为__________．4已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3,－3)，C (0,2)，求BC 边上中线所在的直线方程．答案：基础知识·梳理1．y －y 1＝k (x －x 1) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) x a ＋yb＝1 Ax ＋By ＋C ＝0【做一做1－1】C 【做一做1－2】B【做一做1－3】B 由条件ac ＜0，bc ＞0知ab ＜0，而原方程可化为y ＝－ab x －c b，由于－a b ＞0，－c b＜0，所以直线过第一、三、四象限，不过第二象限．【做一做1－4】3x ＋y －23－1＝0 依题意得y －1＝－3(x －2)，整理得3x ＋y －23－1＝0.2．y ＝a x ＝b 不存在 y ＝kx (k ≠0) y ＝0 x ＝0 不存在【做一做2－1】C【做一做2－2】(1)x ＝1 (2)y ＝1 (3)y ＝x 或y ＝－x ＋2 典型例题·领悟【例1】解：(1)直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－2，由点斜式得y －3＝－2(x ＋4)，整理得所求方程为2x ＋y ＋5＝0.(2)直线过点P (2，－5)，且与x 轴平行时，斜率k ＝0， 故所求直线方程为y ＋5＝0(x －2)，即y ＝－5. (3)直线与y 轴平行，说明斜率不存在，又∵过点P (3，－1)，∴直线的方程为x ＝3.【例2】B 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a.当a ＞0时，斜率为正，在y 轴上的截距为正，则直线y ＝ax ＋1a过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a ＜0时，斜率为负，在y 轴上的截距为负，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【例3】解：直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0，这就是AB 所在直线的方程． 直线AC 过A (－5,0)，C (0,2)两点，由两点式得y －02－0＝x －－50－－5，整理得2x －5y ＋10＝0，这就是AC 所在直线的方程． 直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点， 斜率是k ＝2－－30－3＝－53.由点斜式得y －2＝－53(x －0)，整理得5x ＋3y －6＝0，这就是BC 所在直线的方程．【例4】解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.【例5】正解1：(1)当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)，∴直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，∴直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.(2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. ∵直线l 过点P (2,3)，∴2a ＋3a＝1，∴a ＝5.∴直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 正解2：由题意知，直线l 的斜率存在，且不为0. 设直线方程为y －3＝k (x －2)，且k ≠0. 令x ＝0，则y ＝3－2k ；令y ＝0，则x ＝2－3k.由题意，知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝32或k ＝－1.故满足条件的直线方程是y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.【例6】正解：(1)当m ＝2时，过点M (m,0)和点N (2,1)的直线斜率不存在，其方程为x ＝2.(2)当m ≠2时，直线的斜率为k ＝0－1m －2＝－1m －2.又∵直线过点N (2,1)， ∴直线方程的点斜式为y －1＝－1m －2(x －2)， 即x ＋(m －2)y －m ＝0.∵当m ＝2时，上述方程也就是x －2＝0，即x ＝2， ∴所求直线方程为x ＋(m －2)y －m ＝0. 随堂练习·巩固1．A 过点(x 0，y 0)与x 轴垂直的直线的方程是x ＝x 0，所以所求直线的方程为x ＝－2. 2．A3．5x －y －13＝0 过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的两点式方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，代入点P (3,2)和点Q (4,7)，求得直线方程为y －27－2＝x －34－3，整理得5x －y－13＝0.4．解：设BC 的中点为M ，由中点坐标公式可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.过A (－5,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.。
高中数学 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点A(1，-1)、B(3，3)、C(4，5)，求证:A 、B 、C 三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式. ∵k AB =1313-+=2，k AC =1415-+=2,∴k AB =k AC . ∴A、B 、C 三点共线. 证法二:利用直线方程.设AB:y=kx+b ，则⎩⎨⎧+=+=-,33,1b k b k ∴⎩⎨⎧-==.3,2b k∴直线AB 的方程为y=2x-3.当x=4时，y=2×4-3=5，故点C(4，5)在AB 上.∴A、B 、C 三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,4)共线，则a 的值等于_______________. 思路解析:因为k AB =220--a ，k BC =a --004，又因为三点A 、B 、C 共线，所以k AB =k BC ，即220--a =a--004，解得a=4.答案:4例2 设过定点A 的直线l 1的倾斜角为α.现将直线l 1绕点A 按逆时针方向旋转45°得到直线l 2,设直线l 2的倾斜角为β,请用α表示β的值. 思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0°≤α＜135°时,β=α+45°；当135°≤α＜180°时,β=α+45°-180°=α-135°. 黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为β=α+45°.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0°≤α＜180°,故当135°≤α＜180°时,180°≤α+45°＜225°.故作为直线的倾斜角应减去180°.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l 1的倾斜角α1=30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l 1的斜率k 1=tan α1=tan30°=33，∵l 2的倾斜角α2=90°+30°=120°， ∴l 2的斜率k 2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=3-.例3设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6，若直线在x 轴上的截距是-3，试确定m 的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-=---≠--)2(,33262)1(,03222m m m m m由①式，得m≠3且m≠-1.由②式，得3m 2-4m-15=0， 解得m=3或m=53-.因为m≠3，所以m=53-. 绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x 轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m 2-2m-3≠0的解是m≠3且m≠-1；而方程3m 2-4m-15=0的解是m=3或m=53-. 变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3A.若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B.若c ＞0，则a ＜0，b ＞0C.若c ＜0，则a ＞0，b ＜0D.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0思路解析：∵直线ax+by+c=0的斜率k=ba-＜0， ∴ab＞0.又∵直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a c -与bc-，∴a c -＞0，bc-＞0.∴ac＜0，bc ＜0.若c ＞0，则a ＜0，b ＜0；若c ＜0，则a ＞0，b ＞0.选D. 答案:D例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x 、y 轴上的截距. 思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x 的取值即为直线在x 轴上的截距;令x=0,则y 的取值即为直线在y 轴上的截距.解:令y=0,则x=21k -,于是直线在x 轴上的截距为21k-； 令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y 轴上的截距为131--k k；当k=31时,直线在y 轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y 轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=31的情形而造成错解.事实上，当k=31时，分式131--k k 无意义，此时的直线在y 轴上的截距不存在. 变式训练4一条直线经过点M(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是____________.思路解析：设直线在两轴上的截距均为a. 若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0； 若a≠0,则同上可求得直线方程为x+y=5. 答案:3x-2y=0或x+y=5 问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题.若点P 1与P 2关于点M 对称，则点M 是P 1、P 2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标.若点P 1与P 2关于直线l 对称，则直线l 是线段P 1P 2的中垂线，它应同时满足两个条件，即P 1、P 2的中点在直线l 上，且P 1P 2的连线与l 垂直，也就是说，P 1P 2的中点坐标满足直线l 的方程，且P 1P 2连线的斜率与直线l 的斜率互为倒数.曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称. 探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下： (1)点P(x 0,y 0)关于点M(a,b)的对称点为P(2a-x 0,2b-y 0);(2)点P(a,b)不在直线l ：Ax+By+C=0上，P 关于直线l 的对称点为P′(x,y)的求法：因为PP′中点M(2,200y b x a ++)在l 上,PP′⊥l,所以由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙--=++∙++∙,1)(,0220000B A ax by C y b B x a A 可解出P′(x 0,y 0). (3)几种特殊对称：点(a,b)关于x 轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x 的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x 的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t 的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m 的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x 、y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗? 导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度.直线系y=kx+b 中，若b 为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k 为常数，它表示平行线系.平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁.对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的形式，再解方程组⎩⎨⎧==0),(,0),(21y x f y x f 求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标. 探究：几种常见的直线系： (1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k 为参数，b 为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y 轴(即x=0).经过定点M(x 0，y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)(k 为参数)，它表示经过定点(x 0，y 0)的直线系，但不包括平行于y 轴的那一条(即x=x 0). (2)已知斜率的直线系y=kx+b(k 为常数，b 为参数)， 它表示斜率为k 的平行直线系. 若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0(m 为参数,且m≠C). 若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数). (3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0). 当m=1，n=0时，方程即为l 1的方程； 当m=0，n=1时，方程即为l 2的方程.上面的直线系可改写成(A 1x+B 1y+C 1)+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(其中λ为实数).但是，方程中不包括直线l 2，这个形式的直线系方程在解题中常见.。
原创1：2.2.2 直线方程的几种形式(二)（讲授式）
直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0），
叫做直线的一般式方程，简称为一般式.
适用条件
这个条件一定要记住
直线的一般式方程可以表示任线的一般式方程的再研究
二元一次方程Ax+By+C=0
这表示经过点(0, − )，斜率为− 的直线；
（A、B不同时为0）表示的
都是一条直线.
② 当B=0时,此时必有A≠0，方程变为 = − ，
这表示一条垂直于x轴，横截距为− 的直线.
新课讲授
总结
直线的一般式方程
由上面的讨论可知：
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；
即：kx-y+(y0-kx0)=0，这是一个关于x，y的二元一次方程.
结论：任何一条直线的方程都可以写成
②当直线l的斜率不存在时(即倾斜角α=90°)，直线l的方程为x-x
0=0，
关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0
这也可以看成是y的系数为0的二元一次方程，即：x-0·y-x0=0.
（A、B不同时为0）的形式.
C1，C2应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
答：若l1//l2，则两条直线的斜率相等且纵截距不等，
即−
=
− ，−
同理可得，若
≠
≠
− .所以当
时，l1与l2相交.
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2.2.2 直线方程的几种形式
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1．直线方程的几种形式
说明
不包括y 轴和平行于思考1 方程
x x -＝k 和y －y 0＝k (x －x 0)表示同一条直线吗？ 提示：方程
y y x x --＝k 和y －y 0＝k (x －x 0)不表示同一条直线，前者表示的直线缺少一个点P 0(x 0，y 0)． 思考2 截距是距离吗？
提示：“截距”并非指“距离”，它是直线与坐标轴交点的横、纵坐标，可以取一切实数，而距离必须大于或等于零．
思考3 怎样的直线不能用两点式表示？两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了？
提示：两点式不适用于斜率为0与斜率不存在的直线．只需将221y y y y --＝2
21
x x x x --变形为(x －x 2)·(y 2－y 1)＝(y
－y 2)(x 2－x 1)的形式，就能适用于所有直线了．
特别提醒 如果直线l 的方程为
x a ＋y
b
＝1，则 ①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a |＋|b |
②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝
1
2
|ab |； ③当直线在两坐标轴上的截距相等时，直线l 的斜率k ＝－1，故常设直线方程为x ＋y ＝a ． 2．几种特殊直线的方程
选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的直线方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)．
过点(a ，b )且平行于x 轴的直线方程为y ＝b ．
过点(a ，b )且平行于y 轴的直线方程为x ＝a (平行于y 轴的直线的斜率不存在)． 过原点的直线方程为y ＝kx (k ≠0)．
x 轴的方程是y ＝0．
y 轴的方程是x ＝0(y 轴的斜率不存在)．
思考4 在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)中，当A ＝0或B ＝0时方程分别表示怎样的直线？
提示：在方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2≠0)中，若B ＝0，则x ＝－C A
，它表示一条与y 轴平行或重合的直线，此时直线的斜率不存在；若A ＝0，则y ＝－C B
，它表示一条与x 轴平行或重合的直线，此时直线的斜率为0．。