高考总复习数学理精练第五章平面向量检测附答案答案含详解

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章平面向量
检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )．
A ．⎝⎛⎭⎫2，72
B ．⎝
⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2) D ．(1，3)
3．如图，在ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )．
A ．AC ＝A
B ＋AD B ．BD ＝AD －AB
C ．AO ＝12AB ＋12A
D D ．A
E ＝5
3
AB ＋AD
4．在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM 在向量BC 方向
上的投影是( )．
A ．1
B ．－1
C ．355
D ．－35
5
5．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·
BC ＝0，则△ABC 一定是( )．
A ．等腰直角三角形
B ．非等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
6．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM PN ⋅＝0，则实数m 的取值范围是( )．
A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)
B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)
C ．[－25,25]
D ．[－5,5]
7．已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝⎝⎛⎭⎫32，3
2.在△ABC 中，AB ＝2m ＋2n ，AC ＝2m
－6n ，D 为BC 边的中点，则AD 等于( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(1，3)，若m ∥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( )．
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
9．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，且a ，b ，c 两两夹角均为120°，则|a ＋b ＋c |＝( )．
A ．7
B ．7
C ．35
D ．7或7 10．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a b ＝(a 1，a 2)(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已
知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π
3，0，点P 在y ＝sin x 的图像上运动，点Q 在y ＝f (x )的图像上运动，且满足OQ ＝m OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )． A ．2，π B ．2,4π
C ．12，π
D ．1
2
，4π
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(3,3),2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝__________.
12．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，AD ＝1，则AC AD ⋅＝__________.
13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝3
2，|a ＋b |＝22，则|b |＝__________.
14．已知向量m ＝(1,1)，n ＝⎝⎛⎭
⎫0，1
5，设向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[0，π])且m ⊥(OA －n )，则tan α＝__________.
15．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，重心为G ，若a GA ＋b GB ＋
3
3c GC ＝0，则∠A ＝______.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB AD ⋅＝5，2
AD ＝10. (1)求D 点坐标；
(2)若D 点在第二象限，用AB ，AD 表示AC ；
(3)AE ＝(m,2)，若3AB ＋AC 与AE 垂直，求AE 坐标．
17.(12分)已知角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝⎝
⎛⎭⎫
1－cos(A ＋B )，cos A －B 2，
n ＝⎝⎛⎭⎫5
8
，cos A －B 2，且m ·n ＝98.
(1)求tan A tan B 的值；
(2)求ab sin C
a 2＋
b 2－c
2的最大值．
18．(12分)已知点M (1＋cos 2x,1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝
OM ON ⋅(O 为坐标原点)．
(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求此时f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最小值． 19．(12分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．
20．(13分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3
4
π，且m ·n ＝－1.
(1)求向量n ；
(2)若向量n 与向量q ＝(1,0)的夹角为π
2
，向量p ＝⎝⎛⎭⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A ，B ，C 依次成等差数列，试求|n ＋p |的取值范围．
21．(14分)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA ，OB 满足OA OB OA OB +=-，设圆C 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.
(1)证明线段AB 是圆C 的直径；
(2)当圆C 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为25
5
时，求p 的值．
参考答案
一、选择题
1．C 解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，
又a 与b －c 都是非零向量， ∴a ⊥(b －c )．
又由a ⊥(b －c )得a ·(b －c )＝0，即a ·b ＝a ·c . 故a ·b ＝a ·c 是a ⊥(b －c )的充分必要条件． 2．A 解析：设D (x ，y )，∵BC ＝(4,3)，AD ＝(x ，y －2)，且BC ＝2AD ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＝4，
2y －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝72
. 3．D 解析：排除法．如题图，AC ＝AB ＋AD ，故A 正确．
而BD ＝AD －AB ，故B 正确．
AO ＝12AC ＝12(AD ＋AB )＝12AB ＋1
2AD .故C 正确．
4．D 解析：如图所示，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则M (2,1)，AM ＝(2,1)，＝(－4,2)，向量AM 在向量BC 方向上的投影是
||
AM BC BC ⋅＝－8＋216＋4＝－35
5.
5．C 解析：∵(AB ＋AC )·
BC ＝0， ∴(AB ＋AC )·(AC －AB )＝0，
∴2
AC －2
AB ＝0，即AC ＝AB ，又A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝60°，从而C ＝60°，A ＝60°，
∴△ABC 为等边三角形．
6．D 解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－1－x ，－y )，PN ＝(1－x ，－y )， PM ·PN ＝(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝x 2＋y 2－1＝0.
∴x 2＋y 2＝1，因此P 的轨迹为单位圆． 又P 点在直线3x －4y ＋m ＝0上，
∴原点到直线的距离d ＝|m |
5
≤1，
∴|m |≤5.
∴－5≤m ≤5，∴实数m 的取值范围是[－5,5]．
7．A 解析：由D 为BC 边的中点，得AD ＝()12
AB AC +，∵12()
AB AC +＝12(4m －4n )＝2m －2n ＝(1，－3)，
∴AD ＝2，故选A.
8．A 解析：∵m ∥n ，则有cos A ·3－s in A ·1＝0，即tan A ＝3，A ＝60°. 又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，
∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc
＝c sin C .
整理，得sin C ＝1，即C ＝90°. 又A ＋B ＋C ＝180°，A ＝60°，C ＝90°， 故B ＝30°.
9．A 解析：|a ＋b ＋c |2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c
＝|a |2＋|b |2＋|c |2
＋2|a |·|b |·cos 120°＋2|b |·|c |·cos 120°＋2|a |·|c |·cos 120°
＝1＋4＋16＋2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＋2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1×4×⎝⎛⎭
⎫－12＝21－2－8－4＝11－4＝7. ∴|a ＋b ＋c |＝7.
10．D 解析：设点P (x 0，sin x 0)，点Q (x ，y )，则有(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫2x 0，12sin x 0＋⎝⎛⎭
⎫π
3，0＝⎝⎛⎭
⎫2x 0＋π3，12sin x 0，
故⎩
⎨⎧
x ＝2x 0＋π
3
，
y ＝1
2
sin x 0，
消去x 0得y ＝12sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， 即f (x )＝1
2sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π6， 因此y ＝f (x )的最大值是1
2
，最小正周期是4π.
二、填空题
11．31010
解析：∵a ＝(3,3),2b －a ＝(－1,1)，
∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝932×5＝310
10
.
12．3解析：∵AC ＝AB ＋BC ＝AB ＋3BD ＝AB ＋3(BA ＋AD )＝(1－3)AB ＋3AD .
∴AC ·AD ＝[(1－3)AB ＋3AD ]·AD ＝(1－3)AB ·AD ＋32
AD ＝32
AD ＝ 3.
13．2 解析：∵|a ＋b |＝22， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8.
又∵|a |＝1，a ·b ＝3
2
，∴b 2＝4，|b |＝2.
14．－4
3
解析：由题意得
OA －n ＝⎝⎛⎭⎫cos α，sin α－1
5， ∵m ⊥(OA －n )，
∴m ·(OA －n )＝cos α＋sin α－1
5
＝0，
即cos α＋sin α＝1
5
，
两边平方得cos αsin α＝－12
25
.
∴cos αsin αcos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α
＝－1225， 整理得12tan 2α＋25tan α＋12＝0，
解得tan α＝－43或tan α＝－3
4.
由cos αsin α＝－12
25
，α∈[0，π]
可得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，又cos α＋sin α＝15
， ∴|cos α|＜|sin α|.
∴⎪⎪⎪⎪sin αcos α＞1.即|tan α|＞1
故tan α＝－4
3
.
15．π
6
解析：由G 为△ABC 的重心知GA ＋GB ＋GC ＝0，GC ＝－GA －GB .因此由
题意有a GA ＋b GB ＋33c (－GA －GB )＝⎝⎛⎭⎫a －33c GA ＋⎝
⎛⎭⎫b －3
3c GB ＝0；又GA 、GB 不
共线，因此有a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－a 22×3
3
c 2
＝3
2；又
0＜A ＜π，所以A ＝π
6
.
三、解答题
16．解：(1)设D (x ，y )，AB ＝(1,2)，AD ＝(x ＋1，y )．
由题得222
125(1)10AB AD x y AD x y ⎧⋅=++=⎪⎨=++=⎪⎩，，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＝4，(x ＋1)2＋y 2
＝10. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝1. ∴D 点坐标为(－2,3)或(2,1)．
(2)∵D 点在第二象限，∴D (－2,3)．
∴AD ＝(－1,3)．∵AC ＝(－2,1)，
设AC ＝m AB ＋n AD ，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n .∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，n ＝ 1. ∴AC ＝－AB ＋AD .
(3)∵3AB ＋AC ＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，AE ＝(m,2)，∴(3AB ＋AC )·AE ＝0. ∴m ＋14＝0.∴m ＝－14. ∴AE ＝(－14,2)．
17．解：(1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝9
8
，
∴cos A cos B ＝9sin A sin B ，得tan A tan B ＝1
9
.
(2)∵tan A tan B ＝1
9
＞0，∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正．
tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98
(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34，当且仅当tan A ＝tan B ＝
1
3时，取得等号．
ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝1
2
tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38
，
∴所求最大值为－3
8
.
18．解：(1)依题意得OM ＝(1＋cos 2x,1)，
ON ＝(1，3sin 2x ＋a )
∴y ＝1＋c os 2x ＋3sin 2x ＋a
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6＋1＋a . ∴f (x )的最小正周期为π.
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－1
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 此时y max ＝2＋1＋a ＝4，
∴a ＝1，y min ＝－1＋1＋1＝1.
19．解：(1)m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋1
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝1
2，
∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12
. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得： (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，
∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.
∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π
3
，
∴π6＜A 2＋π6＜π2，1
2
＜sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12
. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭
⎫1，32. 20．解：(1)设n ＝(x ，y )，由m ·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①
又m 与n 夹角为3
4π，
有m ·n ＝|m ||n |cos 3
4π，
∴|n |＝1，有x 2
＋y 2＝1.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－1. 即n ＝(－1,0)，或 n ＝(0，－1)． (2)由n 与q 垂直知n ＝(0，－1)．
由2B ＝A ＋C 知B ＝π3，A ＋C ＝23π，0＜A ＜2π
3
.
若n ＝(0，－1)，则
n ＋p ＝⎝⎛⎭
⎫cos A ，2cos 2C
2－1＝(cos A ，cos C )， ∴|n ＋p |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos2C 2
＝1＋12⎣
⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫43π－2A ＝1＋1
2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3， ∵0＜A ＜23π，π3＜2A ＋π3＜5π
3
.
∴－1≤cos ⎝
⎛⎭⎫2A ＋π3＜12. 12≤1＋1
2cos ⎝
⎛⎭⎫2A ＋π3＜54， 即|n ＋p |2∈⎣⎡⎭⎫
12，54，
∴|n ＋p |∈⎣⎡⎭⎫22
，5
2.
21．解：(1)证法一：∵OA OB +＝OA OB -，
∴()
2
OA OB +＝2
()OA OB -，
即2OA ＋2OA ·
OB ＋2OB ＝2OA －2OA ·OB ＋2
OB ，整理得OA ·OB ＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
设点M (x ，y )是以线段A B 为直径的圆上的任意一点，则MA ·MB ＝0，
即(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
展开上式并将①代入得x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.故线段AB 是圆C 的直径． 证法二：∵OA OB +＝OA OB -， ∴()
2
OA OB
+＝2()OA OB -，即2OA ＋2OA ·OB ＋2OB ＝2
OA －2OA ·
OB ＋2OB ，整理得OA ·OB ＝0.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.②
以AB 为直径的圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝
⎭＋2
122y y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
]，展
开，并将②代入得x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.
∴线段AB 是圆C 的直径．
(2)设圆C 的圆心为C (x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝x 1＋x 22
，
y ＝y 1
＋y
2
2.
∵21y ＝2px 1，2
2y ＝2px 2(p ＞0)，
∴x 1x 2＝2212
2
4y y p
. 又∵x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＝－y 1y 2.
∴－y 1y 2＝2212
2
4y y p .
∵x 1x 2≠0，y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2.
∴x ＝x 1＋x 22＝14p 2212()y y ＋＝14p 22
1212(2)y y y y ＋＋－y 1y 22p ＝1p
(y 2＋2p 2)．
∴圆心的轨迹方程为y 2＝px －2p 2
.
设圆心C 到直线x －2y ＝0的距离为d ，
则d ＝|x －2y |5＝⎪⎪⎪⎪
1p
(y 2＋2p 2)－2y 5＝|(y －p )2＋p 2|5p
.
当y ＝p 时，d 有最小值p
5
，
由题设得p 5＝25
5，∴p ＝2.。