高中数学专题训练试题-整除

整 除
在本讲义中，所有的字母出特别说明的外都表示整数．
1．证明： 2000
1001 个能被1001整除．
2．设0m n >≥，证明：22(21)|(21)n m +-．
3．对正整数n ，记()S n 为n 的十进制表示中各数位上的数码之和．
证明：9|9|()n S n ⇔．
4．设1k ≥是一个奇数，证明：对任意正整数n ，数1+2k k k n ++ 不能被2n +整除．
5．设,m n 为正整数，2m >，证明：(21)|(21)/m n -+
6．任给1n >，证明：存在正整数k ，使得1k k +，1k k k
+，…中所有数均能被n 整除．
7．任给1n >，证明：存在n 个互不相同的正整数，其中任意两个的和，整除这n 个数的积．
8．设n 和k 都是正整数，证明：1,2,3,,n 中恰有n k
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
个数被k 整除．
9．11个女孩与n 个男孩去采蘑菇．所有这些孩子共采到292n n +-个蘑菇，并且每个孩子采到的个数都相同．试确定，采蘑菇的孩子中是女孩多还是男孩多．
10．设正整数n 的十进制表示为10k n a a a = （09i a ≤≤，0k a ≠），
记01()(1)k k T n a a a =-++- （由n 的个位起始的数码的正、负交错和）．
证明：11|11|()n T n ⇔．
11．设n 个整数具有下述性质：其中任意1n -个数之积与剩下的那个数的差都能被n 整除． 证明：这n 个数的平方和也能被n 整除．
12．设整数,,,a b c d 满足1ad bc ->．
证明：,,,a b c d 中至少有一个数，不能被ad bc -整除．
最大公约数与最小公倍数
1．对任意整数n ，证明：分数
214143n n ++是既约分数．
2．设n 是正整数，证明：()!1, (1)!11n n +++=．
3．记22
1k k F =+，0k ≥．证明：若m n ≠，则(),1m n F F =．
4．设1a >，,0m n >，证明：()
(,)1,11m n m n a a a --=-．
5．设,0m n >，22|()mn m n +，证明：m n =．
6．设正整数,,a b c 的最大公约数为1，并且ab c a b
=-．证明：a b -是一个完全平方数．
7．设k 为正奇数，证明：123n ++++ 整除123k k k k n ++++ ．
8．设n 为整数，证明：()125,941n n ++=．
9．设,m n 都是正整数，m 是奇数，证明：()
21,211m n -+=．
10．设(),1a b =，证明：()22,1a b ab +=．
11．证明：若一个有理数的k 次幂是整数（1k ≥），则这个有理数必是整数．
更一般地，证明：一个首项系数为1±的整系数多项式的有理数根，必定是一个整数．
12．设,,m n k 都是正整数，满足[,][,]m k m n k n +=+，证明：m n =．。