命题和定理
《命题、定理、证明》
如何正确理解和使用命题、定理与证明
学生应该理解命题、定理和证明的基本概念和关系，掌握它们的证明方法和技巧 。 学生应该学会如何使用定理和命题来证明新的命题或解决问题。
学生应该理解证明的逻辑结构，并能够分析证明中的错误和不正确之处。
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《命题、定理、证明》
2023-11-06
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目录
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明方法 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的局限性 • 命题、定理与证明的关系
01
命题与定理的基本概念
命题的定义与性质
定义
命题是一个陈述句，它表达了一个判断或观点。
性质
命题具有真假性，即它要么是真，要么是假。此外，命题还可以被分类为可 证明的或不可证明的。
命题是指一个可判断的陈述句，它表达了一个数学结 论或观点。
证明是使用逻辑推理来证明一个命题为真的过程。
命题、定理与证明在学术研究中的重要性
命题、定理与证明是数学学术 研究的基础，它们帮助学者们 建立和理解复杂的数学理论。
它们为数学和其他科学领域提 供了基础工具，促进了学术研
究的进步和发展。
在数学教育中，它们是培养学 生逻辑思维能力、分析和解决 问题的能力以及创新精神的重
• 步骤：首先通过观察具体实例，总结出一般规律；然后证明这个规律 对于所有情况都成立。
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
定理和命题在代数中应用广泛，如解方程、因式 分解、求根等。
几何
定理和命题在几何中用于证明角、边、面积的关 系，以及解决几何问题。
概率统计
定理和命题在概率论和统计学中用于证明各种概 率公式和统计规律。
人教版七年级数学下册课件： 命题、定理、证明
是假命题，是假命题的举反例加以说明.
（1）如果AB＝BC，那么C是AB的中点；
（2）如果 ＝ ，那么a＝b.
思路点拨：（1）利用分类讨论思想可说明命题为假命
题；（2）分别取a，b的值说明这是假命题.
解：（1）这是假命题.
反例：当点C在AB的延长线上时，虽然AB＝BC，但点
条件，另一个作为结论构成一个命题，根
据平行线的判定和性质及对顶角相等进行
证明.
图5－10－1
解：命题为“如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么∠A＝
∠D”.
证明：∵∠1＝∠CGD，
∠1＝∠2，
∴∠CGD＝∠2.
∴EC∥BF.
∴∠AEC＝∠B.
又∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠C.
∴AB∥CD.
∴∠A＝∠D.（答案不唯一）
（2）这是假命题.
反例：如答图5－10－1，∠1与∠2为
同位角，但∠1≠∠2.
答图5－10－1
典例精析
【例5】（创新题）如图5－10－1，有三个条件：①∠1
＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个
作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命
题的正确性.
思路点拨：根据题意，从中任选两个作为
举一反三
10. （创新题）如图5－10－2，在四边形ABCD中，①
AB∥CD；②∠A＝∠C；③AD∥BC.
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一
个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，
并说明理由.
图5－10－2
解：（1）命题为“如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么
AD∥BC”.
（2）这个命题是真命题. 理由如下：
定义、定理、命题
中考数学易混易错——定义、命题与定理1.命题：（1）关于“定义”的定义：能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义（2）“命题”的定义：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：①命题必须是个完整的句子;②这个句子必须对某件事情做出判断。
命题的分类(按正确、错误与否分)命题包括两种：真命题（正确的命题）；假命题（错误的命题）。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例即可。
2.逆命题（1）把原命题的结论作为命题的系件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题。
（2）在两个命题中，如果第一个命题是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题叫做他的逆命题。
（3）正确写出一个命题的逆命题关键在于是否能够正确区这个命题的题设与结论。
（4）每一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
3、互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题3.命题的结构：任何命题的结构都是一样的，即，命题有题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
任何命题都写成"如果……，那么……"的形式。
"如果"后面是题设计“那么”后面是结论。
4.定理：已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。
一般为某个演绎系统的初始命题。
这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。
定理都是真命题。
5.逆定理：（1）定义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。
命题与定理知识点总结
命题与定理知识点总结命题和定理是数学中非常重要的概念，它们是推理和证明的基础，也是数学研究的重要工具。
在数学中，命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
而定理则是已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。
在数学中，命题与定理的概念有很重要的地位，下面我们将对命题与定理的知识点进行总结。
一、命题1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。
命题是可以判断真假的陈述句，而不能同时为真和假的陈述句不能称为命题。
比如：“1+1=2”、“地球是圆的”等句子都是命题。
2. 命题的类型（1）简单命题简单命题是最基本的命题，它不含有任何连接词或者其他命题，并且可以明确的判断真假。
（2）合取命题合取命题由多个简单命题用“且”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的合取命题，只有所有的简单命题都为真时，该合取命题才为真，否则为假。
（3）析取命题析取命题是由多个简单命题用“或”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的析取命题，只有有一个简单命题为真时，该析取命题就为真，否则为假。
（4）否定命题否定命题是由一个简单命题用“非”连接而成，形式为~p，这种形式的否定命题，当原命题为真时，否定命题为假，当原命题为假时，否定命题为真。
二、定理1. 定理的定义定理是数学中已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。
定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题。
在数学上，定理是通过数学推理和证明得出的数学结论。
2. 定理的特点（1）定理是经过证明的命题定理是经过严格的数学证明和验证的，它是数学研究的成果之一。
（2）定理可以用来解决问题定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题，它是数学研究的重要工具。
（3）定理可以推广和应用定理可以根据特定的条件进行推广和应用，可以在实际问题中得到应用。
三、命题与定理的关系1. 命题与定理的联系命题与定理是数学中非常重要的概念，它们有着密切的联系。
命题是数学研究的基础，而定理则是通过命题推理和证明得出的数学结论。
命题、定理、证明
5.3.2(1)命题、定理、证明一．【知识要点】1.判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
二．【经典例题】1．把命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .2.在下列命题中：①两条直线相交所成的角是对顶角；①有公共顶点的角是对顶角；①一个角的两个邻补角是对顶角；①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角，其中正确的是.3.已知a、b.、c是同一平面内的3条直线，给出下面6个命题：a∥b， b∥c，a∥c ，a ⊥b，b⊥c，a⊥c，请从中选取3个命题（其中2个作为题设，1个作为结论）尽可能多地去组成一个真命题，并说出是运用了数学中的哪个道理。
举例如下：∵a∥b， b∥c，∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）三．【题库】【A】1.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：2.把命题“零没有倒数”改写成“如果……那么……”的形式：如果，那么。
【B】1.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是_______________________________. .【C】1.下列说法正确的是（）A.延长射线OA到BB.经过两点M/N的直线有且仅有两条C.凡是大于900 的角都是钝角D.直线a经过点M，即是点M在直线a上。
【D】1.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。
新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2
判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条 件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件 或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨 设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有 一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题 在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理 在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为 定理. 3.定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求
数学中 公理 定理 定义 命题的区别
数学中公理定理定义命题的区别摘要：一、公理与定理的区别1.公理：不需要证明，实践得出的结论2.定理：由公理推导出来，需要证明二、定义与命题的区别1.定义：对事物的概括性描述，用于明确概念的含义2.命题：对某个事物的陈述或判断，可以是真或假三、定理、公理、定义、命题在数学中的实际应用1.定理：作为数学推理的基础，用于证明其他定理或命题2.公理：构建数学体系的基础，无需证明3.定义：为数学概念赋予意义，便于交流与理解4.命题：用于表述数学问题，可以是真或假正文：在数学领域，公理、定理、定义和命题是构建数学知识体系的重要元素。
它们之间的区别在于：公理与定理的区别：公理是不需要证明的基本事实或结论，通常是数学体系的基础。
它们是通过实践和观察得出的结论，被认为是真实的，无需进一步证明。
例如，欧几里得的公理体系是几何学的基础，其中包括诸如“直线可以无限延伸”和“两个直线可以在一个点相交”等公理。
定理则是从公理或其他已知的定理中推导出来的结论，需要通过逻辑推理和证明来证实。
例如，勾股定理就是一个著名的定理，它通过公理和已知定理的推导得出。
定义与命题的区别：定义是对某个数学概念的描述，用于明确概念的含义。
定义通常包含概念的本质特征、属性以及与其他概念的区别。
例如，直角的定义是“90度的角”。
命题是对某个事物的陈述或判断，可以是真或假。
命题可以用来描述数学关系、性质或事实。
例如，“三角形的三条边之和等于180度”就是一个真命题。
在数学中，定理、公理、定义和命题的实际应用：定理作为数学推理的基础，用于证明其他定理或命题。
定理的证明过程通常包括逻辑推理、数学证明和实例验证。
公理是构建数学体系的基础，无需证明。
公理的存在保证了数学体系的完整性和一致性。
定义为数学概念赋予意义，便于交流与理解。
定义明确了概念的内涵和外延，有助于数学家们在研究中达成共识。
命题用于表述数学问题，可以是真或假。
命题是数学研究的基本单位，真命题反映了数学世界的规律，而假命题则揭示了数学知识的不完备性。
命题定理定义4种常见考法归类(原卷版)
2.1 命题、定理、定义4种常见考法归类1、命题：将可判断真假的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.2、定理、定义(1)有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.(2)定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的3、判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．例如：“起立”、“ 是有理数吗？”、“今天天气真好！”等．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．4、命题的条件与结论(1)若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．(2)命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.(3)“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．5、将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则6、命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.考点一 命题的判断考点二 命题真假的判断 考点三 命题的条件与结论 考点四 根据命题的真假求参数考点一 命题的判断1．（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①{}0N ∈；①220x y +=；①2x x >；①{}210x x +=，其中命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）下列语句中是命题的个数为（ ）①5Z -∈；①π不是实数；①大边所对的角大于小边所对的角；.A ．1B ．2C ．3D ．43．（2023秋·高一课时练习）在下列语句中，命题的个数是（ ）①空集是任何集合的子集；①若x ∈R ，则210x x -+=；①若a b >，则22ac bc >.A ．1B ．2C ．3D ．04．（2023·高一课时练习）下列语句中：①12-<；①1x >；①210x 有一个根为0；①高二年级的学生；①今天天气好热！①有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①5．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)3π是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．考点二 命题真假的判断6．（2023秋·高一校考课时练习）判断下列命题的真假：(1)一个实数不是质数就是合数；(2)若3x =或7x =，则()()370x x --=；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若A B B =，则B A ⊆7．（2023秋·高一校考课时练习）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．{}∅是空集B ．{}N 13|x x ∈-<是无限集C ．π是有理数D ．方程250x x -=的根是自然数8．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）①2210mx x +-=是一元二次方程；①函数21y x =-的图象与x 轴有一个交点；①互相包含的两个集合相等；①空集是任何集合的真子集．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2023秋·高一课时练习）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；①若a b >，则a c b c +>+；①空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．【多选】（2023秋·高一课时练习）下列命题是假命题的是（ ）A ．形如a +B ．函数21y ax x =++是二次函数C ．若1m >，则方程220x x m -+=无实数根D ．若x y +为有理数，则,x y 都是有理数11．（2023秋·高一课时练习）下列命题:①相等的角是对顶角；①若0ab =，则220a b +=；①若M N M ⋂=，则N M ⊆.其中假命题的个数是 .考点三 命题的条件与结论12．（2023·江苏·高一假期作业）命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ．13．（2023秋·高一校考课时练习）命题：若0x y +>，则0x >且0y >，条件p ： ，结论q ： . 14．（2023·上海·高一专题练习）将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 15．（2023秋·黑龙江绥化·高一统考期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p ，则q ”形式为 .（格式正确，描述清楚即可）16．（2023·江苏·高一专题练习）将命题“tan 30︒=”改写成“若p 则q ”的形式： ． 17．（2023秋·全国·高一专题练习）写出下列命题的条件和结论.（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；（3）若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数；（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；（5）若a b =，则2a ab =；（6）若1q ≥-，则方程220x x q +-=有实数解.18．（2023·江苏·高一假期作业）把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当14m >时，210mx x -+=无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．19．（2023·江苏·高一假期作业）将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2；(2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．20．（2023·江苏·高一假期作业）将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当1a >-时，方程2210ax x 有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知,x y 为非零自然数，当2y x -=时，4,2y x ==.21．（2023秋·全国·高一专题练习）将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式.（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）两个无理数的和是无理数；（4）乘积为正数的两个数同号；（5）两个奇数的和是偶数；（6）矩形的四个角相等；（7）等腰三角形的两个底角相等；（8）直径所对的圆周角是直角.考点四 根据命题的真假求参数22．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）给出命题“方程210x ax ++=有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是（ ）A ．4B ．2C ．0D ．3-23．（2023·江苏·高一假期作业）若命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题，则a ，b 满足的条件是 ． 24．【多选】（2023·全国·高一期末）已知2()2f x x x m =+-，如果(1)0f >是假命题，(2)0f >是真命题，则实数m 可取（ ）A ．0B ．3C ．6D ．825．（2023·江苏·高一假期作业）若[]2,5x ∈和{|1x x x ∈<或}4x >都是假命题，则x 的范围是 26．（2023秋·全国·高一专题练习）已知命题p ：实数x 满足1x ≤-或3x ≥．命题q ：实数x 满04x <<．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．27．（2023秋·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考阶段练习）已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 为真命题，q 为假命题，求实数a 的取值范围.。
命题和定理
学生：科目：数学教师：第阶段第次课 2013年月日课题：命题与定理授课内容：（一）、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．（二）、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．(三)例题例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等．（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．例2、写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
1、自然数必为有理数； 2、若|a|＝|b|，则a ＝b ； 3、若a ＝b ，则a 3＝b 3；4、若x ＝a ，则2()0x a b x ab -++=；解：1、逆命题为：有理数必为自然数。
原命题为真命题，逆命题为假命题；2、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。
命题定理与证明的意义
随着学科交叉和融合的深入，命题证明将涉及更多领域的知识和方法， 未来的发展将更加注重跨学科的研究和应用。
03
形式化证明
形式化证明是一种将证明过程转化为计算机可读的形式化语言的方法，
可以大大提高证明的可靠性和可验证性，是未来发展的重要方向之一。
命题证明的教育改革
要点一
强调思维训练
命题证明是培养逻辑思维和创新思维的重要手段，教育改 革应更加注重命题证明的教学和训练，提高学生的思维能 力和综合素质。
总结词
归纳法是一种通过对部分已知实例的分 析和归纳，得出一般性结论的证明方法 。
VS
详细描述
归纳法通过对已知实例的分析和归纳，得 出一般性的结论。这种方法通常适用于对 大量数据的分析和推断，例如数学中的数 列求和、函数性质等。通过归纳法得出的 结论可以作为新的已知条件，用于其他问 题的求解。
构造法
反证法
总结词
反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题正确的证明方法。
详细描述
反证法采用“反证逆推”的思路，即先假设原命题不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从 而证明原命题是正确的。这种方法的关键在于找到一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明原命题的 正确性。
归纳法
探讨代数结构
03
利用命题证明，我们可以深入探讨各种代数结构，包括群、环
、域等。
几何领域的应用
证明定理
01
在几何中，命题证明被广泛应用于证明各种定理，如
平行线定理、勾股定理等。
解决几何问题
02 通过命题证明，我们可以解决各种几何问题，如求面
积、证明相似等。
探讨几何性质
03
利用命题证明，我们可以深入探讨各种几何性质，如
数学中 公理 定理 定义 命题的区别
数学中公理定理定义命题的区别【最新版】目录一、引言二、公理、定义、命题的区别1.公理的概念及其特点2.定义的概念及其特点3.命题的概念及其特点三、定理与定律的区别1.定理的概念及其特点2.定律的概念及其特点3.定理与定律的联系与区别四、结论正文一、引言在数学的学习和研究中，我们经常遇到一些专业术语，如公理、定义、命题、定理和定律等。
对于这些概念，我们不仅需要理解它们的意义，还要区分它们之间的差别。
本文将对这些概念进行详细解析，以帮助读者更好地理解它们。
二、公理、定义、命题的区别1.公理的概念及其特点公理是数学中的一种基本原理，它是不需要证明的、显然成立的命题。
公理通常是基于实践和观察得出的结论，它们为数学体系的建立和发展提供了基础。
公理的特点是：不言自明、无需证明、具有普遍性。
2.定义的概念及其特点定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义。
定义的特点是：准确、简洁、明确。
在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究。
3.命题的概念及其特点命题是能够判断真假的陈述句，它由题设和结论两部分组成。
命题的特点是：具有判断性、可以证明或证伪。
在数学中，命题通常用来描述公理和定理之间的关系，以及它们在数学体系中的地位。
三、定理与定律的区别1.定理的概念及其特点定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
定理的特点是：有一个设定（一大堆条件），然后有一个结论（在条件下成立的数学叙述）。
通常写作若条件，则结论。
用符号逻辑来写就是条件结论。
而当中的证明不视为定理的成分。
2.定律的概念及其特点定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论。
定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。
定律的特点是：具有普遍性、基于客观事实、可以部分描述现实世界。
考点17 定义、命题、定理-中考数学考点讲解
考点17 定义、命题、定理一、定义与命题1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．2．判断一件事情的语句叫做命题．3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．二、真命题、假命题1．正确的命题叫做真命题．2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．三、逆命题1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．四、公理与定理1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．典例1命题“任意两个直角都相等”改写成“如果……那么……”的形式是__________．【答案】如果两个角都是直角，那么这两个角相等1．把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式为__________．考向二真命题、假命题1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．典例2下列命题是真命题的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C2．下列命题中，假命题的是A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b【答案】C3．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．4．有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个1．下列语句是命题的是A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等．2．下列命题是假命题的是A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．正六边形的内角和是720°D．角的边越大，角就越大3．下列命题的逆命题是真命题的是A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A．0个B．1个C．2个D．3个5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–36．命题“对顶角相等”的条件是__________，结论是__________．7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．8．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+14=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．9．若命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．10．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．学科！网11．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行．（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等．12．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②⇒③；B：①③⇒②；C：②③⇒①．（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．1．（2017•德阳）下列命题中，是假命题的是A．任意多边形的外角和为360°B．在△ABC和△A′B′C′中，若AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，则△ABC≌△A′B′C′C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D．同弧所对的圆周角和圆心角相等2．（2017•泸州）下列命题是真命题的是A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．（2017•嘉兴）下列关于函数y=x2–6x+10的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3–n时的函数值；③若n>3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n–4）个；④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a>0，b>0，则a<b．其中真命题的序号是A．①B．②C．③D．④4．（2017•玉林）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1=S2，那么A ．①是真命题②是假命题B ．①是假命题②是真命题C ．①是假命题②是假命题D ．①是真命题②是真命题5．（2017•常德）命题：“如果m 是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：__________．6．（2017•呼和浩特）下面三个命题：①若x a y b =⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨-=⎩的解，则a +b =1或a +b =0； ②函数y =–2x 2+4x +1通过配方可化为y =–2（x –1）2+3；③最小角等于50°的三角形是锐角三角形，其中正确命题的序号为__________．1．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余【解析】把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．2．【答案】A【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A 是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B 是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C 是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D 是真命题；故选A ．4．【答案】A【解析】若x 2=x ，则x =1或x =0，所以原命题错误；若x =1，则x 2=x ，所以原命题的逆命题正确；若a 2=b 2，则a =±b ，所以原命题错误；若a =b ，则a 2=b 2，所以原命题的逆命题正确； 变式拓展线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．1．【答案】D【解析】根据命题的定义：选项D“两直线平行，内错角相等”是能对事情判断的语句，故此选项正确；故选D．2．【答案】D【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；C、正六边形的内角和是720°，真命题；D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．故选D．4．【答案】B【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．故选B．5．【答案】C考点冲关【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；当a=–3，b=–2时，a2>b2，但a>b不成立，故C选项符合题意；当a=–2，b=–3时，a2>b2不成立，故D选项不符合题意；故选C．6．【答案】两个角是对顶角；这两个角相等【解析】此命题可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”；结论是“这两个角相等”．故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．9．【答案】a=–3【解析】当x=1、y=–2时，a+4=1，解得a=–3，故当a=–3时，12xy=⎧⎨=-⎩是方程ax–2y=1的解，则a=–3时，可以说明命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，故答案为：a=–3．10．【解析】已知：∠1=∠2，∠B=∠C；求证：∠A=∠D．证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴EC∥BF，∴∠AEC=∠B．又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C，∴AB∥CD，∴∠A=∠D．11．【解析】（1）同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题不成立；（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题不成立．12．【解析】（1）A、B、C；（2）选择B进行证明．已知：AB=AC，BD=CE，求证：AD=AE．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB ACB C BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．2．【答案】D【解析】A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选D．直通中考3．【答案】C【解析】∵y =x 2–6x +10=（x –3）2+1，∴当x =3时，y 有最小值1，故①错误；当x =3+n 时，y =（3+n ）2–6（3+n ）+10，当x =3–n 时，y =（n –3）2–6（3–n ）+10，∵（3+n ）2–6（3+n ）+10–[（n –3）2–6（3–n ）+10]=0，∴n 为任意实数，x =3+n 时的函数值等于x =3–n 时的函数值，故②错误；∵抛物线y =x 2–6x +10的对称轴为x =3，a =1>0，∴当x >3时，y 随x 的增大而增大，当x =n +1时，y =（n +1）2–6（n +1）+10，当x =n 时，y =n 2–6n +10，（n +1）2–6（n +1）+10–[n 2–6n +10]=2n –5，∵n 是整数，∴2n –5是整数，∴y 的整数值有（2n –4）个；故③正确；∵抛物线y =x 2–6x +10的对称轴为x =3，1>0，∴当x >3时，y 随x 的增大而增大，x <3时，y 随x 的增大而减小，∵y 0+1>y 0，∴当0<a <3，0<b <3时，a >b ；当a >3，b >3时，a <b ；当0<a <3，b >3时，a <b ；故④错误，故选C ．4．【答案】D【解析】∵AC =AB ，∴∠C =∠B ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B =∠CDE ，∴∠C =∠CDE ，∴DE =CE ；①正确；连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEC =90°，又∠C =45°，∴ACCE ，∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠B =∠CDE ，∠CAB =∠CED ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CDE CBA S S △△=（CE CA）2=12，∴S 1=S 2，②正确，故选D ．5．【答案】如果m是有理数，那么它是整数．【解析】命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．故答案为：如果m是有理数，那么它是整数．6．【答案】②③。
2-1 命题、定理、定义(原卷版)
2.1命题、定理、定义一、命题1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。
【注意】（1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题；（2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题；3、命题的分类：命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。
（1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等；（2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可；（3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。
4、判断一个命题真假的方法：在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。
二、命题的结构形式1、命题的一般形式：“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.三、公理、定理、定义1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。
2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。
3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别题型一 命题概念的理解【例1】下列语句为命题的是（ ）A ．1x >B ．你们好！C ．下雨了吗？D ．对顶角相等【变式1-1】下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x -=． A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④【变式1-2】下列语句是命题的是（ ） A ．鹿晗很帅 B ．请把手机收起来！ C ．10x + D ．1sin302︒=【变式1-3】唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ）A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思【变式1-4】关于区间()=+∞,I a ，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I 内乙：区间I 内不存在两个数互为倒数丙：区间I 内存在小于1的数丁：区间I 内每个数的平方都大于它本身如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁题型二 命题的结构形式【例2】写出下列命题的条件与结论.（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.【变式2-1】写出下列命题的条件和结论.（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；（3）若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数；（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；（5）若a b =，则2a ab =；（6）若1q ≥-，则方程220x x q +-=有实数解.【变式2-2】将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a ＞－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．【变式2-3】将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式.（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）两个无理数的和是无理数；（4）乘积为正数的两个数同号；（5）两个奇数的和是偶数；（6）矩形的四个角相等；（7）等腰三角形的两个底角相等；（8）直径所对的圆周角是直角.题型三 命题真假的判断【例3】命题“若1x >，则1≥x ”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.【变式3-1】（多选）下列说法中，以下是真命题的是（ ）．A ．存在实数0x ，使200240x x +-=+B ．所有的素数都是奇数C ．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D ．三条边都相等的三角形是等边三角形【变式3-2】（多选）下列命题是假命题的为（ ）A ．若11x y=，则x y = B ．若21x =，则1x = C ．若x y =x y D ．若x y <，则22x y <【变式3-3】（多选）给出以下四个命题，其中真命题是:（ ）A ．命题“若,x y 互为相反数，则0x y +=”B ．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C ．命题“若1q ≤-，则20x x q ++=有实根”D ．命题“若ab 是正整数，则,a b 都是正整数”题型四 已知命题的真假求参数【例4】命题:p 存在实数x ，使得,3,4x 能成为三角形的三边长.若命题p 为假命题，则x 的取值范围是______________.【变式4-1】已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，若a ∈A 是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥－3B ．a >－3C ．a ≤－3D ．a <－3【变式4-2】若[]2,5x ∈和{|1x x x ∈<或}4x >都是假命题，则x 的范围是__________【变式4-3】若“方程2320ax x -+=有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是_______.【变式4-4】给定两个命题，p ：对于任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根；（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果p 与q 中至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（3）如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．。
命题与定理
(1)天平的左边放一个20的物体,右边放一个10克砝 码和两个5克砝码,观察天平的两边是否平衡. (2)将天平右边的两个5克的砝码拿出,换成一个10 克的砝码,再观察天平两边是否平衡.
为什么将两个5克的砝码换成 一个10克砝码后,天平两边还会平 衡呢? 等量加等量,其和相等吗?
从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题 时常常要用到一些概念的定义，但是光用定义只能判断 一些很简单的命题是否为真，对于绝大多数命题的真的 判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外， 还能根据什么来推理，去判断命题的真呢？ 古希腊数学家欧几里德对他那个时代的数学知识作 了系统的总结，他挑选一些人们在长期实践中总结出来 的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题 为公理他以基本定义和公里作为推理的出发点，去判断 其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理，它也 可以作为判断其他命题的真假的依据。欧几里德按照这 种方法编写了一本书，书名叫《原本》，全书分为十三 卷，包括5条公理，5条公设，119个定义和465条命题， 构成了历史上第一个数学公理体系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这两个定理是互逆命题吗？ 如果一个定理的逆命题的也是定理， 称它是原来定理的逆定理。
考考你： 下列定理有逆定理吗？如果有，把它说出来。 （1）线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个 端点的距离相等； （2）等腰三角形两底角相等。 （3）两直线平行，同位角相等。 解（1）有逆定理，到线段两端的距离相等的点在线 段垂直平分线上。 （2）有逆定理，有两个角相等的三角形是等腰三角 形。 （3）有逆定理，同位角相等，两直线平行。
欧几里德的五条几何公理： 1）由任意一点到任意一点可作直线。 2）一条有限直线可以继续延长。 3）以任意点为中心及任意的距离可以画圆。 4）凡直角都相等。 5）从直线外一点，只能作一条平行直线。 五条欧氏一般公理： 1）若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理） 2）若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理） 3）若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理） 4）完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理） 5）全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）
中考数学知识点总结命题定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( ) A 、垂直 B 、两条直线C 、同一条直线D 、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是 ，结论是 。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式： 。
命题,定理--概述
命题，定理--概述∙命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的概念包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
定理：通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。
相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。
它是定理的来源，但并非唯一来源。
一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。
同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。
经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
∙命题的分类：（按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
四种命题：1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
相互关系：1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
命题与定理
(2)内错角相等 ,两条直线平行 (3)两条直线平行,内错角相等
证明:直角三角形的两个锐角互余．
已知： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证： ∠A＋∠B＝90°． 证明: ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180°） 又∠C＝90°，
这样的真命题叫做公理．
例如: (1)两点之间,线段最短 (2)同位角相等 ,两条直线平行 (3)两条直线平行,同位角相等
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等．
公理、定理
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，
这样的真命题叫做定理．
∴ ∠A＋∠B＝90°．
图 19.1.1
P66的练习
1、把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式， 指出它的题设和结论.
（1） 同旁内角互补，两直线平行； （2） 三角形的外角和等于360°．
P67的习题19.1
试证明“如果两条直线垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行．”即， 已知：如图，AB⊥MN，CD⊥MN，
垂足分别为E、F． 求证：AB∥CD．
回顾
命题 真命题 假命题
可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题 正确的命题称为真命题， 错误的命题称为假命题．
回顾
命题的组成
题设 (已知事项) 结论 (由已知事项推出的事项)
形式:
题设
结论
“如果……，那么……”
公理、定理
数学中有些命题的正确性是人们 在长期实践中总结出来的，并把它们 作为判断其他命题真假的原始依据，
定理和命题练习题
定理和命题练习题在数学中，定理和命题是我们研究和解决问题的基础工具。
它们是通过逻辑推理和严密证明得出的一系列结论和观点。
在本文中，我们将介绍一些常见的定理和命题，并提供一些练习题供读者巩固理解和运用。
一、定理练习题1. 三角形内角和定理：任意三角形的内角和等于180度。
证明：设三角形的三个内角为A、B、C，根据几何知识我们知道，任意两条直线的夹角和为180度。
将三角形的边延长，构成一条射线。
则可以得出以下结论：∠CAB + ∠BAC + ∠ACB = 180度练习题1：请证明等腰三角形的底角相等。
练习题2：已知直角三角形的直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
二、命题练习题命题是由简单命题通过逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”）组合而成的复合命题。
在数学中，我们常常运用命题进行推理和证明。
以下是一些常见的命题及其解答。
命题1：如果一个整数能被3整除，那么它一定能被6整除。
解答：假设这个整数为x，如果它能被3整除，那么存在整数k，使得x = 3k。
又因为6 = 3 × 2，所以x可以表示为x = 6m，其中m = 2k。
由此可见，如果x能被3整除，那么x也能被6整除。
所以该命题成立。
命题2：对于任意实数x和y，如果x > y，则x² > y²。
解答：根据已知条件，x > y，可以得出以下不等式：x² - y² = (x + y)(x - y)由于x > y，所以x + y > y + y = 2y，且x - y > 0因此，(x + y)(x - y) > 2y × 0 = 0即x² - y² > 0，也就是x² > y²。
所以该命题成立。
练习题3：判断命题“如果一个整数是偶数，则它一定能被4整除。
”是否成立。
练习题4：已知命题“如果一个整数能被2和5整除，那么它一定能被10整除。
命题、定理
条件 ：两条直线都与第三条直线平行， 结论 ：这两条直线也互相平行
有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式， 条件与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情， 有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……” 形式. 例如：对顶角相等.
条件：两个角是对顶角
结论 ：这两个角相等
改写： 如果两个角是对顶角 ，那么这两个角相等.
或条件：③ ⑤ ；结论：②或 条件：②③；结论：⑤
5.把下列命题命题改写成“如果……，那么…… 的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. （2）角平分线上一点到角的两边距离相等. （3）同角的余角相等.
例3：将下列的命题写成“如果…..， 那么.….. ”的形式，并判断它的真假。
1）等角的余角相等； 2）内错角相等，两直线平行； 3）有理数一定是自然数； 4）两条直线平行，同位角相等； 5）相等的两个角，一定是对顶角；
6、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做定理。
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
定理举例： 1、补角的性质：
同角或等角的补角相等。
2、余角的性质：
同角或等角的余角相等。Fra bibliotek3、对顶角的性质：对顶角相等。
1.命题的定义： 判断一件事情的语句,叫做命题. （1）命题必须是一个完整的句子； （2）命题必须作出判断.
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学生：科目：数学教师：第阶段第次课 2013年月日课题：命题与定理授课内容：（一）、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．（二）、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．(三)例题例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等．（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．例2、写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
1、自然数必为有理数； 2、若|a|＝|b|，则a ＝b ； 3、若a ＝b ，则a 3＝b 3；4、若x ＝a ，则2()0x a b x ab -++=；解：1、逆命题为：有理数必为自然数。
原命题为真命题，逆命题为假命题；2、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。
原命题为假命题，逆命题为真命题；3、逆命题为：若33a b =，则a ＝b 。
原命题为为真命题，逆命题为真命题；4、逆命题为：若2()0x a b x ab -++=，则x ＝a 。
原命题为真命题，逆命题为假命题。
（三）、互逆定理1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 2．说明：（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．例3．下列命题中真命题的个数是 ( )①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10； 、 ②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2； ③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41； ④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5． A ．1个 B ．2个 c ．3个 D ．4个 例4．下列说法中，正确的是 ( ) A ．一个定理的逆命题是正确的B ．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C ．任何命题都有逆命题D ．定理、公理都应经过证明后才能用 例5．下列说法中，正确的是 ( )A ．每个命题不一定都有逆命题B ．每个定理都有逆定理C ．真命题的逆命题仍是真命题D ．假命题的逆命题未必是假命题 例6.设O 是等边△ABC 所在平面上一点，它使△ABO,△OBC,△OCA 都是等腰三角形，满足这种条件的O 点共有( ). A ．1个 B ．4个 C ．7个D ．10个例7．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为有理数的边数有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个例8．如图，已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b ＝4，ab=1，c=14。
试判断△ABC 的形状．S QP FEDC BAP QDBAC E例9．如图所示，已知：CD ⊥AB 于D ，且AC 2=AD ·AB. 求证：△ABC 为直角三角形．分析：可通过勾股定理和勾股定理的逆定理解决．例10． 已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,DE 垂直平分AB 于D,交AC 于E,求证：DE=CE.例11．已知：如图所示，△ABC 中，D 为BC 上一点，AB=AC ， ED=DF ，求证：BE=CF.例12．如图, 已知: B 是线段AD 上的一点, △ABC 、△BDE 均为等边三角形. AE 交BC 于P ,CD 交BE 于Q .求证:1)△ABE ≌△CBD . 2)△BDQ ≌△BEP .3)PQ ∥AD .例13、如图，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC=AC+AD ．DB AEFCACBDECBADDCB A例14．已知：如图，在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC , ∠A +∠C =180°,BC >BA . 求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．三、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字： 四、教师评定：1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差教师签字：教研组签字： 教务处签字： 教务处盖章练 习1、. 下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ）A 、同旁内角互补，两直线平行B 、全等三角形的对应边相等C 、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等D 、对顶角相等 2. 命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A 、经过半径外端点的直线是圆的切线B 、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线C 、垂直于半径的直线是圆的切线D 、经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3．如图，AB=AC=14cm ，DE 垂直平分AB ，若△BCD 的周长为24cm ，则BC= cm. 4．如图，△ABC ，∠C=90°，∠B=15°，DE 垂直平分AB ，若BD=8cm ，则AD= cm. ∠DAC= °.CBA ED3题图D CBE4题图AACBE D5题图5．如图，△ABC ，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，若∠CBD=40°，则∠A= 度. 6. 已知:AD 是△ABC 的中线,则S ABD △____________S ACD △.(填“＜”、“＞”或“＝”)． 7．Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=48°，则∠B= . 8．半径为5 cm 的圆O 的轨迹是 .9． 如图所示∠C=90°，AD 平分∠BAC ，CD=3，∠B=30°求D 到AB 的距离________. 10．如图所示，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，且PA=PB ，则P 在 .若PC=PD ，则点P在 .11．正方形ABCD 的边长为1，AE 是∠CAB 的平分线交BC 于E ，若BE ：CE=1：2，则点E 到AC 的距离为12．若△ABC 内一点O 到△ABC 的三个顶点距离都相等，则O 点是（ ）PB OC DA A BC D E6题图5题图A C BDCBAD（A ）三角形内角平分线的交点 （B ）三角形三边上中线的交点 （C ）三角形三条高的交点（D ）三条边垂直平分线的交点13．△ABC 中，∠C=90°，∠A 与∠B 的平分线交于P 点，则∠APB 的度数为（ ） （A ）120°（B ）150°（C ）90°（D ）135°14． 如图所示：PB 平分∠MBC ，PC 平分∠BCN ，下列结论正确的是（ ） （A ）∠MBP=∠P （B ）BP ∥AN(C)若连AP ，则被BC 平分(D)点P 到AM 与到AN 的距离相等三、计算与说理15．（在△ABC 中，AB =AC ，AE 是BC 边上的高，∠B 的平分线与AE 相交于点D ， 求证：点D 在ACB 的平分线上．16．已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，①若∠CAD=15°，求∠B 的度数; ②若∠CAB=50°，求∠CAD 的度数; ③若∠CAD ：∠DAB=1：2，求∠B 的度数.17．已知：如图，在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC , ∠A +∠C =180°,BC >BA . 求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．MA BC P9题图NBCAE D CBAD E。