【2020版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)

二次根式分母有理化及应用
一、分母有理化
1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2. 有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式；
②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：
a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与等分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤
二、两种特殊有理化方法
1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。

分母有理化：()
23232316
6233212186623
---====---；
2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。

分母有理化： ()
()2
2
2
23223
237432323
23
23
+
+⨯⨯++=
==++++。

总结：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

根号内含有分数或分式
根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数
2
1
中根号内分子分母同乘以2；27
1
中根号内分子分母同乘以3，而不是27
分母中含有
根式 分子分母同乘以能使分母化为整式的根式
2
1
中分子分母同乘以2，
3
21
中分子分母同乘以3而不是23
分母中含有根式的和（差）
分子分母同乘以有理化因式 能构成平方差的形式
例题1 )12013)(2012
201313
412
311
21(
+++
+++
++
+ =（ ）
A. 2010
B. 2011
C. 2012
D. 2013
解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。

答案：解：)12013)(2012
20131
341
231
121
(
+++
+++
++
+
=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-
=2013－1 =2012。

故选C 。

点拨：考查二次根式的分母有理化。

主要利用了平方差公式，所以一般来说，二次根式的有理化因式是符合平方差公式特点的式子。

例题2 与2
12171-最接近的整数是（ ） A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
解析：将原式进行分母有理化，再进行估算。

答案：解：原式=
832171
⨯-=
1
92388
-⨯+=
2
2
)8(83231
+⨯-
=2
)83(1
-=8
31-=83+=223+≈5.828。

与6最接近。

故选B 。

点拨：考查了无理数的估算，先利用完全平方公式将分母化简，再进行分母有理化是解题的关键。

有理化在方程中的应用
示例 已知225x -－215x -＝2，则225x -+215x -的值为（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析：根据题意，225x -－215x -＝2，变形为225x -＝2+215x -，两边平方得x 2
=12
4
3
，代入求值即可。

答案：∵225x -－215x -＝2，∴225x -＝2+215x -，两边平方得25－x 2
=4+15－x 2
+4215x -，即4215x -=6，2215x -=3，两边再平方得4（15－x 2
）=9，
化简，得x 2
=12
43，把x 2
=124
3代入225x -+215x -，
得431225-+431215-=4112+412=27+2
3
=5，故选C 。

（答题时间：45分钟）
一、选择题 1. 化简
2
53-时，甲的解法是：
2
53-=
)
25)(25()25(3+-+=25+，
乙的解法是：
2
53-=
(52)(52)
(52)
+--=25+
，以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
2. 已知：a ＝3
101-，b ＝
1
103
+，则 222-+b a 的值等于（ ） A. 5 B. 6
C. 7
D. 8 *3. 若a=
8
31-－
7
81-+
6
71-－
5
61-，则a 的值所在范围为（ ） A. a≥0
B. 0＜a ＜1
C. 1＜a ＜2
D. a ＞2
**4.
6
535++x
+
2
77--x
=2的解是（ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
**5. 设r≥4，a=r 1－11+r ，b=r 1−11+r ，c=)
1(1
++r r r ，则下列各式一定成立
的是（ ）
A. a ＞b ＞c
B. b ＞c ＞a
C. c ＞a ＞b
D. c ＞b ＞a
二、填空题 *6. 若a=
1
19971996-，则a 5－2a 4－1996a 3
的值为 。

*7. 若x 2
－x －2=0，则
3
1)(3
22
2
2+--+-x x x x 的值等于 。

**8. 设M= 2013
20121
431321211++++++++ ，N=1－2+3－4+5－
6+…+2012－2013，则2
)1(+M N
= 。

**9. 方程x 1
+(12)x ++(23)x ++……+(20102011)x +=2011
1的解是
x= 。

三、解答题
*10. 已知；x ＝1213-，y ＝112
131++。

（1）求证：x ＞y ；（2）求
y
x
的整数部分。

**11. （1）已知9+13与9−13的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； （2）设x ＝n
n n n ++-+11，y ＝
n
n n n -+++11，n 为自然数，如果2x 2+197xy+2y 2
=1993
成立，求n 。

**12. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。

用现代式子表示即为：S ＝2222221[()]42
a b c a b +-⨯-…①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，S 为面积）。

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：S=))()((c p b p a p p ---…②
（其中p=
2
c
b a ++）。

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S ；
（2）你能否由秦九韶公式推导出海伦公式？请试试。

1. C 解析：甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母，均正确。

故本题选C 。

2. B 解析：∵a=
3
101-=
103(103)(103)+-+=103+ b=103
(103)(103)
-+-=
310-∴222-+b a =22)(2-+-ab b a =2236-+=6。

故选B 。

3. B 解析：∵831-=3+8=3+22，781-=8+7=22+7，671
-
=7+6，5
61
-=6+5，
∴a=3+22－22－7+7+6－6－5=3－5，又∵2＜5＜3，∴0＜a
＜1。

故选B 。

4. A 解析：∵
6
535++x +
2
77--x =2，∴
)
65)(65()
65)(35(-+-+x +
)
27)(27()
27)(7(+-+-x =2，即30－5+32x －15x +51（7+14－7x －2x ）=2，
解得：x =2，故选A 。

5. D 解析：取r=4，则a=41－51＝201，b=21−55＝10525-＝20)525(2-≈20
036
.1，
c=
)
52(41+＝
425-＝20)25(5-≈20
18
.1，∴c＞b ＞a 。

故选D 。

6. 0 解析：∵a=
1
19971996-=1997+1，∴a 5－2a 4－1996a 3=a 3（a －1）2－1997a 3=1997a
3
－1997a 3
=0。

故答案为0。

7.
3
32 解析：因为x 2－x －2=0，所以x 2
－x=2，则 原式=31)2(3222
+-+=3
3322++=)13(3)31(2++=33
2。

8. －
21
解析：将M 分母有理化可得 M=（2013
20121
431321211++++++++ ）=2013－1。

N=1－2+3－4+5－6+…+1993－1994=（1－2）+（3－4）+（5－6）+…+（2012－2013）
=－1×22013=－22013，∴2)1(+M N =2013
22013
-
=－21。

故答案为－21。

9. 2011 解析：原方程化为：
x 1
+x 12-+x 23-+……+x 20102011-=2011
1，
通分得
x 2011=2011
1
，解得x=2011。

故答案为2011。

10. （1）证明：
y
x
=1
12131
1213++-=（1213-）（11213++）=1+1213-，
∵13＞12，∴1+1213-＞1，∴x＞y ；（2）解：因为13的整数部分为3，
12的整数部分也为3，所以由（1）得y
x
=1+1213-的整数部分是1。

11. 解：∵9＜13＜16，∴12＜9+13＜13，得9+13=12+a ，a=13−3，同理可得b=4－13，把a 、b 代入ab －3a+4b+8，得（13−3）（4−13）－3（13－3）+4（4－13）+8=8，故ab －3a+4b+8的值为8。

（2）∵x+y=
n
n n n ++-+11+
n
n n n -+++11=4n+2，xy=
n
n n n ++-+11×
n
n n n -+++11=1，
若2x 2
+197xy+2y 2
=1993成立，即2（x+y ）2
+193xy=1993成立，∴2（4n+2）2
+193=1993，（4n+2）
2
=900，∵n＞0，∴n=7，故n 的值是7。

12. 解：（1）2222221[()]42a b c S a b +-=⨯-＝2222221578[57()]42
+-⨯-＝
2215(71)2⨯-2
5
48＝103； P=2
1
（5+7+8）=10，又S=)810)(710)(510(10---＝23510⨯⨯⨯＝103； （2）22222
2)2([41c b a b a -+-⨯]=222222222214()2()()(444
a b a b a b c c +-+⋅+-）
=161[c 2−（a −b ）2][（a +b ）2−c 2] =161（c+a －b ）（c －a+b ）（a+b+c ）（a+b －c ）=16
1（2p －2a ）（2p －2b ）•2P•（2p －2c ）=p （p －a ）（p －b ）（p －c ）
222222
1[()]42
a b c a b +-⨯-=))()((c p b p a p p ---。

（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算也正确）。