根轨迹的概念和系统分析

ih1(Tis 1)
K2r
l
(s
j1
Z
j
)
h
(s
i 1
Pi
)
（6-3）
式中 K1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨 迹增益；K2 为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹 增益。
9
系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
K
m
j1
(
js
1)
s
n
i 1
(Tis
1)
Kr
m
(s
j1
Z
j
)
(6-4)
s
n
i 1
本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。
2
§6–1 根轨迹的概念
一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。
例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s) H(s) K r s(s 2)
(s
Pi
)
K K1 K2 为系统的开环增益，
Kr K1r K2r 为开环系统的根轨迹增益；
m=f+L
为开环系统的零点数，
n q h 为开环系统的极点数。
将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得
(s)
s
K1r
f
(s
i 1
Zi
n
i 1
(s
Pi
)
)
h
j1
(s
Pj
)
K
r
m
(s
j1
Zi
)
（6-5）10
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
-
G(s) H(s)
C(s)
图6-2 控制系统
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前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s) 可分别表示
G(s)
K1
f
(
j1
js
1)
s
q
i1(Tis
1)
K1r
sjf 1iq(1s(sZPji)（) 6-2）
H(s)
K2
l
(
j1
js
1)
比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论： ⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 路根轨迹增益 K1r ；对于单位反馈系统，闭环系统 根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 ⑵闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反 馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统， 闭环零点就是开环零点。 ⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹 增益Kr 均有关。
可绘制出根轨迹图。
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二、绘制根轨迹的基本规则
通常，我们把以开环根轨迹增益Kr为可变 参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根 轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则如下。
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规则一 根轨迹的起点和终点
幅值条件可写成
m
| s
j1
n
| s
zj pi
| |
1 Kr
i 1
当 Kr
0
，必须有 si
pi (i
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根轨迹的概念和系统分析
1
根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由 于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即 系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根 轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶 系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法 更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征 方程根的影响，需要大量反复的计算。
1948年伊万斯（W·R·EVANS）提出了根轨迹 法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只 需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。
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二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立
开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭 环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方程。设 控制系统如图6-2所示，闭环传递函数为
单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当 Kr 1
时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃
响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 Kr 值的增加而加
大，但调节时间不会有显著变化。
15
§6–2 绘制根轨迹的规则
一、绘制根轨迹的依据
根轨法的基本任务在于，由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出 闭环极点。 Kr 由零变到无穷大时，闭环系统特征 方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特 征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程 为
试分析该系统的特征方程的根随系统参数K r 的变 化在S平面上的分布情况。
3
解 系统的闭环传递函数
(s)
C(s) R(s)
1
G(s) G(s) H(s)
s2
Kr 2s
Kr
系统的特征方程为 s2 2s K r 0
特征方程的根是
s1 1 1 K r ,s2 1 1 K r
设 Kr 〔0, ∞﹚，
Kr
j1
n ν
( Pi )
i1
i1 13
开环系统的根轨迹增益 与K开r 环系统的增益K 之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与 开环传递函数中的零点和极点有关。
由式（6-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹
放大系数）是系统的开环传递函数的分子﹑分
母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例6-
1中系统的开环传递函数为
G(s) H(s) K r
其开环增益为
s(s 2)
K lim sG(s)H(s) K r
s0
2
对于该系统，根轨迹增益K r 与开环增益K之 间的是 Kr 2K ，它们之间仅相差一个比例常 数2。
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四、根轨迹与系统性能
以图6-1为例进行说明
稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系 统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。
1,2,, n)
此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，
我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开
环根轨迹增益 Kr 0 。
当 Kr 时，必须有 s j zj(j 1,2,, m) ，此 时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我
们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环
根轨迹增益 Kr 。
23
结论：根轨迹起始于开环极点Kr 0，
终止于开环零点（ Kr 或 Kr )； 如果开环极点数n大于开环零点数m，则 有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处 (无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n条根轨迹起始于S平面 的无穷远处(无限极点)。
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规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性
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下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时， 根轨迹的起点与终点均有确定的值。
2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数 时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限 零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称 为无限零点)。如例6-1。
3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数 时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限 极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称 为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽 不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在 等效开环传递函数中。
i 1
满足相角条件的表达式为
n
| s Pi |
i1 m
Kr
| s Zj |
j1
m
n
(s Z j ) (s Pi ) 180 k 360
j1
i 1
(k 0,1,2,)
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综上分析，可以得到如下结论：
⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 的K r大 小无 关 。 即在 S 平 面上 ， 所 有满 足 相 角 条 件的点的集合的构成系统的根轨迹图。即相角条 件是绘制根轨迹的主要依据。
当 Kr 0时, s1 0,s2 2 ; 当0 Kr 1时，s1 与 s2为不相等的两个负实根； 当 Kr 1时，s1 s2 1 为等实根；
4
当1 Kr 时，s1,2 1 j Kr 1 为一对共 轭复根，其实部都等于-1，虚部随 Kr 值的增加 而增加；
当 Kr→∞时， s1、s2的实部都等于-1，是常
G(s) H(s) Kr (s z1)(s z2 )(s z3 )(s z4 ) (s p1)(s p2 )(s p3 )(s p4 )(s p5 )
其中P1、P2 、P3 、Z1 、Z2 为实极点和实零点， P4 、P5 、Z4 、Z5 为 共轭复数零、极点，它们在S平面上的分布如图4-4所示，试分
1 G(s)H(s) 0 G(s)H(s) 1
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当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征
方程可写成
Kr
m
(s
j1
n
(s
i 1
Zj) Pi )
1
式中， Zj为已知的开环零点，Pi 为已知的开环 极点， Kr 为可从零变到无穷的开环根轨迹增益。 我们把上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可
以画出当 由零K变r到无穷时系统的根轨迹。 在绘制根轨迹时，参数不限定是根轨迹增
稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系 统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系 统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围
为动过态阻性尼能系统当，0 其K单r 位1 时阶，跃所响有应闭为环单极调点上均升位的非于周实期轴过上程，。系当统
Kr 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，
K limsG(s)H(s) s0
（6-6）
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，
由它来确定该系统是零型系统（ 0）,Ⅰ型系统
（ 1）或Ⅱ型系统（ 2）等。
将（6-4）代入（6-6）可得
m
m
(s Z j)
( Zj)
K
limsν
s0
G(s) H(s)
limK
s0
r
j1
n ν
(s
Pi )
⑵绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的Kr大小有关。即 Kr值的变化会改变系统的闭环 极点在S平面上的位置。
⑶在系统参数确定的情况下，凡能满足相角条件 和幅值条件的S值，就是对应给定参数的特征根， 或系统的闭环极点。
⑷由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传
递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便
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根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法 找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环 传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点 可由式（6-5）直接得到。在已知闭环传递 函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用 拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接 求解。
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三、根轨迹增益 Kr与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为
益 ，可为系统的其它参数（如时间常数、反
馈系K数r 等）这时只要把系统的特征方程化为上式， 将感兴趣的参数取代根轨迹增益 的位置就可
以绘制根轨迹。
Kr
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根轨迹方程实际上是一个向量方程，用模和相角 的形式表示就是 | G(s) H(s) | e jG(s)H(s) 1 e j(180k360) (k 0,1,2,) 可得到满足系统特征方程的幅值条件和相 值条件为
数，虚部趋向无穷远处 。 该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到
无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示。
5
Kr
j
[s]
P1Kr 0
-2
Kr 1 P2 Kr 0
-1
0
Kr
图6-1 例6-1的根轨迹
6
当系统参数 Kr为某一确定的值时，闭环系 统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定， 由此可进一步分析系统的性能。 值的Kr变化对闭 环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到， 因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所 以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二 阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方 程的根就比较困难了。
幅值条件： | G(s) H(s) | 1 相值条件： G(s) H(s) (180 k360)
(k 0,1, 2, )
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设系统的开环传递函数为
m
(s Z j)
G(s) H(s)
Kr
j1 n
(s Pi )
i1
满足幅值条件的表达式为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
| s Z j |
Kr
j1 n
1 or
| s Pi |
由于实际的物理系统的参数都是实数，如果 特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复 根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。
根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。
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规则三 实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个 数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。
例4-3 设系统的开环传递函数为
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根 轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点） 在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应 等于系统特征方程的阶数。
由例4-1看出，系统开环根轨迹增益 Kr(实 变量）与复变量S有一一对应的关系，当 K r由零 到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复 变量S在平面上的变化也是连续的，因此，根轨 迹是n条连续的曲线。