黑龙江省大庆铁人中学2018届高三期中考试数学(文)试题 Word版含解析

大庆铁人中学2018届高三上学期期中考试
文科数学
一选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 己知集合,则=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】己知集合
根据集合交集的概念得到=。

故答案为：B。

2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z =
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数z满足，
故答案为：A。

3. 下面四个推理中，属于演绎推理的是（）
A. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43
B. 观察，可得偶函数的导函数为奇函数
C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8
D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应
【答案】D
【解析】A :是由一般到特殊，故属于合情推理。

B：同上选项，也是合情推理。

C：是由特殊到特殊，是类比推理。

D:有大前提：碱金属都能与水发生还原反应，小前提：钠为碱金属，结论：钠能与水发生反应。

故是演绎推理。

故答案为：D。

4. 在等差数列中，，,则（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】D
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a3+a4+a5+a6=32，
∴4+14d=32，解得d=2．
则a7﹣a2=5d=10．
故选：D．
故答案为：D。

5. 在等比数列中，已知，则（）
A. 1
B. 3
C. ±1
D. ±3
【答案】A
..................
解得a3=1．
故选：A．
6. 命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A. ∃x0∈ (0，＋∞)，ln x0≠x0－1
B. ∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
C. ∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D. ∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
【答案】C
【解析】试题分析：由题为含有量词的命题的否定，要求即要否定量词也要否定结论。

则易得命题的否定为：
考点：含有量词的命题的否定。

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. 6
B. 16
C.
D.
【答案】D
【解析】根据三视图得到原图是一个三棱柱，正视图说明有一个侧面是正方形，并垂直于底面，底面是长为2，宽为3的长方形，故得到表面积为：
故答案为：D.
8. 下列函数图象不是轴对称图形的是（）
A. B. y=cos x，x∈[0，2π] C. D.
【答案】C
【解析】对于A，y=为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=﹣x，
对于B：y=cosx在x∈[0，2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，
对于C：y=不是轴对称图形，
对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，
故选：C．
9. 已知函数的部分图像如图所示，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】（1）由图象知A=2，
f（x）的最小正周期T故
将点（，2）代入f（x），得解析式sin（+φ）=1，又|φ|＜，
∴φ=。

故答案为：B。

10. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值是( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
【答案】D
【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.
11. 已知，则a，b，c的大小关系为（）
A. a＜b＜c
B. a＜c＜b
C. b＜a＜c
D. b＜c＜a
【答案】A
【解析】因为a=ln＜0，b=sin，c==＞，
所以a＜b＜c，
故选A．
点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。

12. 已知函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】f′（x）=lnx++2x=lnx﹣ +1+2x，
∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，
若b＞0，则f′′（x）=++2＞0，
∴f′（x）在[1，e]上是增函数，
∴f′（x）≥f′（1）≥0，即﹣b+1+2≥0，解得0＜b≤3，
综上，b的范围是（﹣∞，3]．
故答案为：A。

点睛：这个题目考查的是已知单调性求参的问题；转化为导函数在区间上恒成立求参；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】∵函数f（x）=，∴f（1）=4．
由解得 x＞2．
由解得 x＜1．
故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，
故答案为 {x|x＜1或x＞2}．
故答案为：。

14. 已知中，，，则角__________
【答案】
【解析】根据题意，=（2，0），则||=2，
若|+2|=2，则（+2）2=2+4|2+4•|=8﹣4||||cosB=4，
解可得cosB=，
又由0＜B＜π，
则B=；
故答案为：．
点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到向量的模的平方，特殊角的余弦等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．在解三角形时，常常和正弦余弦定理结合，当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.
15. 已知，则__________
【答案】
【解析】f′（x）=
∴f′（1）=．
故答案为：．
16. 已知实数x,y满足不等式组，且z= y- 2x的最小值为-2 ,则实数m=_____ 【答案】6
【解析】做出可行域：
当直线经过B点时，的最小值为.
此时，即，即
三解答题（17～21题每小题12分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再把所得图像上的所有点向上平移个单位，得到函数g(x)的图像，当时，求g(x)的值域．
【答案】(1) f(x)的最小正周期为π，最小值为－. (2)
【解析】试题分析：（1）根据化一公式先得到函数的表达式sin（2x－）－，由图像的特点可得最值，由周期公式可得周期；（2）根据图像的变换公式得到g(x)＝sin（x－），结合图像得到函数的最值。

解析：
(1)f(x)＝sin 2x－cos2x＝sin 2x－ (1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－ .
(2)由条件可知g(x)＝sin（x－）.
当时，有x－∈（，），从而sin（x－）∈
故g(x)在区间上的值域是.
18. 在中，已知．
（1）求角A；
（2）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．
【答案】(1);(2) AB=BC=2
【解析】试题分析：（Ⅰ）借助于三角形内角和可将转化为，从而可求得A角大小；（Ⅱ）由面积公式可得到关于边AB的关系式，由余弦定理可得到关于AB的第二个关系式，解方程组可求得AB的长度
试题解析：（Ⅰ）解：由，得．
所以原式化为．
因为，所以，所以．
因为，所以．
（Ⅱ）解：由余弦定理，
得\
因为，，
所以．
因为，所以.
考点：1.三角函数基本公式；2.余弦定理解三角形
19. 已知函数，将其所有零点按从小到大的顺序排列，构成数列。

（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据函数的零点得到，从而得到；（2）由第一问得到，由错位相减得到前n项和。

解析：
（1）由，得，又，所以，
从小到大排列，得
（2）由已知
所以，
所以，
所以
点睛：这个题目考查了三角函数的零点的求法，数列求和的应用；常见的数列求通项的方法有：构造新数列，累加法，累乘法，已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

20. 已知函数．
（1）求的最小值；
（2）求证：x＞0时，．
【答案】(1) 当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）对函数求导，列出表格得到导函数在定义域内的正负情况，从而得到函数的最值。

（2）构造函数设（x＞0），研究这个函数的单调性，找到函数的最值，使得函数的最小值大于0即可.
解析：
（1）由f（x）=e x﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=e x﹣2，
令f′（x）=e x﹣2=0得，x=ln2，
列表如下
故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2﹣ln2）；
（2）证明：设（x＞0），则g′（x）=e x﹣2x+2，
由（1）知g′（x）=e x﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），
于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，
即x＞0时，e x＞x2﹣2x+1．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导
函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
21. 已知函数
（1）当时，求函数的单调区间．
（2）当且时，不等式在上恒成立，求k的最大值．
【答案】(1) 增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）(2)3
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数，问题转化为k＜对任意x＞1恒成立，根据函数的单调性求出k的最大值即可．
解析：
（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，
∴函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e﹣3，+∞），减区间为（0，e﹣3）．
（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，
即k＜对任意x＞1恒成立．
令g（x）=，则g′（x），
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），
则h′（x）=1﹣=＞0⇒h（x）在（1，+∞）上单增．
∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，
即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．
令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，
g（x）min=g（x0）= =x0∈（3，4），
∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，
即k max=3.
点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及证明不等式恒成立问题，属于中档题。

对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

22. 选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）
（1）求曲线C的普通方程；
（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．
【答案】(1) x2+y2=2 (2)
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，所以曲线的直角坐标方程为；（2）直线的极坐标方程为，根据互化公式得，圆心到直线的距离为，根据弦长公式
.
试题解析：（1）由已知，，结合，消去得：
普通方程为，化简得．
（2）由知，化为普通方程为，
圆心到直线的距离，
由垂径定理．
考点：1、坐标系与参数方程；2、直线与圆的位置关系.
23. 选修4-5 不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝2m，求ab＋bc的最大值．
【答案】(1) m＝2 (2) ab＋bc的最大值为2
【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m．（2）利用重要不等式求解ab+bc的最大值．
解析：
(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；
当－1<x<1时，f(x)＝－1－3x<2；
当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.
故当x＝－1时，f(x)取得最大值2，即m＝2.
(2)因为a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，
所以ab＋bc≤＝2，即ab＋bc的最大值为2.。