2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷·理)

2011年全国普通高等学校招生统一考试
上海卷数学（理工农医类）
考生注意:
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码． 2．本试卷共有23道试题，满分150分 ．考试时间20分钟．
一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 ． 1．函数1
()2
f x x =
-的反函数为1()f x -=__________． 2．若全集U =¡，集合{|1}{|0}A x x x x
=常U ，则U A =ð__________．
3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22
19
y x m -=的一个焦点，则m =__________． 4．不等式
1
3x x
+£的解为__________． 5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2r q q +=与直线cos 1r q =的夹角大小为__________（结果用反三角函数表示）．
6．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若75CAB ?o ，60CBA ?o ，则A 、C 两点之间的距
离是__________千米．
7．若圆锥的侧面积为2p ，底面面积为p ，则该圆锥的体积为__________． 8．函数sin(
)cos()26
y x x p p
=+-的最大值为__________． 9．马老师从课本上抄录一个随机变量x 的概率分布律如下表:
请小牛同学计算x “？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E x =__________． 10．行列式
a b c d
（,,,{1,1,2}a b c d ?）的所有可能值中，最大的是__________．
11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3AB =，1BD =，则AB AD ⋅=__________．
12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是__________（默认每月天数相同，结果精确到0.001）．
13．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为__________．
14．已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，记其端点为1Q 、
1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、
2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P L L ，则0l i m|
|n n
Q P =__________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若a b R Î、，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A ．222a b ab +>
B ．a b +?
C ．11
a b
+>
．2b a
a b +?
16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+?上单调递减的函数为（ ）
A ．1
ln
||
y x = B ．3y x = C ．||2x y =
D ．cos y x =．
17．设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
成立
的点M 的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．5
D ．10
18．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =L ），则{}n A 为等比数列的充要条件为（ ） A ．{}n a 是等比数列；
B ．1321,,,,n a a a -L L 或242,,,,n a a a L L 是等比数列；
C ．1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列；
D ．1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列，且公比相同．
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤
19．（本题满分12分）
已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ×是实数，求2z ．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
已知函数()23x
x f x a b =??，其中常数,a b 满足0ab ¹．
（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；
（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点． （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为a ，二面角111A B D A --的大小为b ．
求证
:tan b a =
；
（2）若点C 到平面11AB D 的距离为4
3
，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，()
*27n b n n =+?¥，将集合
*
*
{|,}{|,}n n x x a n x x
b n =?
?
中的元素从小到大依次排列，
构成数列1c ，2c ，3c ，鬃?，n c 鬃?． （1）写出1c ，2c ，3c ，4c ；
（2）求证:在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ，鬃?，2n a ，鬃?； （3）求数列{}n c 的通项公式．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l ．
（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=＃的距离(,)d P l ；
（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l =?所表示图形的面积；
D
B
D 1
1
B
（3）写出到两条线段12l l 、距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l W==，其中12l AB l CD ==、，
A B C D 、、、是下列三组点中的一组．
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．
① (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -． ② (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --． ③ (0,1)A ，(0,0)B ，(0,0)C ，(2,0)D ．
2011年上海高考数学（理）参考答案
第一部分、填选
第二部分、简答题
19．解: ∵1(2)(1)1z i i -+=-，∴12z i =-． （4分）
设22,z a i a R =+∈，
则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-． （8分） ∵ 12z z R ∈，∴4a =，
∴ 242z i =+． （12分）
20．解:（1）当0,0a b >>时，因为2x
a ⋅、3x
b ⋅都单调递增，所以函数()f x 单调递增；（2分）
当0,0a b >>时，因为2x
a ⋅、3x
b ⋅都单调递减，所以函数()f x 单调递减．（4分）
（2）(1)()2230x x
f x f x a b +-=⋅+⋅>．
（i ）当0,0a b <>时，3
()2
2x
a
b
>-
， （7分） 解得32
log ()2a
x b
>-
； （8分） （ii ）当0,0a b ><时，3()2
2x
a
b
<-
， （11分） 解得 1.5log ()2a
x b
<-
． （12分） 21．解:设正四棱柱的高为h ．
（1）连1AO ，∵1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，
∴为11AB A ∠是1AB 与底面1111A B C D 所成的角，
1
2
3
4
5
6
12x
+
{|01}x x <<
16
x <或
12
x ≥
7
8
9 10 11 12
2 6 152
0.985
13 14
[15,11]-
15 16 17
18 D
A
B
D
D
即11AB A α∠=． （2分） ∵在等腰11AB D ∆中， 111AO B D ⊥，又1111AC B D ⊥， ∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，
即11AO A β∠=． （4分） 在11Rt AB A ∆中，111tan AA h A B α=
=；在11Rt AO A ∆
中，1
11
tan AA AO β==．
∴tan βα= ． （6分）
（2）【解法一】 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h ，
则11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=． （8
设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n u v w =， ∵1n AB ⊥，1n AD ⊥， ∴ 10n AB ⋅=，10n AD ⋅=．
由()()100
010
u v w h u v w h ⋅+⋅+⋅-=⎧⎪⎨⋅+⋅+⋅-=⎪⎩， 得u hw =，v hw =，∴(,,)n hw hw w =． 令1w =，得(,,1)n h h =． 由点C 到平面11AB D 的距离为2||4
3
||n AC d n h ⋅=
==， 解得高2h =． （12分）
【解法二】连AC ，1CB ，1CD ．
一方面，111111
2
AB D S AO B D ∆=
⋅ =
=
则四面体11AB D C 的体积V =． （9分） 另一方面，设正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为1V ，三棱锥111C B C D -的体积为2V ， 则121
43
V V V h =-=． （12分） 据此，得13h =
解得高2h =． （14分）
22．解:（1）12349,11,12,13c c c c ====； （4分）
证明:（2）∵数列{}n c 由{}n a 、{}n b 的项构成，
∴只需讨论数列{}n a 的项是否为数列{}n b 的项．
∵对于任意*
n N ∈，21323(21)6632(32)7n n a n n n b --=-+=+=-+=， ∴21n a -是{}n b 的项． （7分） 下面用反证法证明:2n a 不是{}n b 的项． 假设2n a 是数列{}n b 的项，设2n m a b =，则
326=27n m ⋅++，
1
32
m n =-
，与*m N ∈矛盾． ∴结论得证． （10分）
解:（3）∵322(32)763k b k k -=-+=+，2163k a k -=+，3165k b k -=+，266k a k =+，
367k b k =+， ∴32213123,1,2,3,k k k k k b a b a b k ---=<<<=⋅⋅⋅． （14分）
所以，32213123,43
,
,42,*,
,41,,4k k k n k k
b a n k b n k
c k N a n k b n k ---==-⎧⎪
=-⎪=∈⎨=-⎪⎪=⎩．
综上， *63(43)65(42),66(41)67(4)
n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪
=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩． （18分）
23．解:（1）设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上任一点，
则||PQ =
5)x =≤≤． （2分）
∴当3x =时，min (,)||d P l PQ = （2）不妨设()1,0A -、()1,0B 为线段l 的两个端点，
则D 为线段1:1(||1)l y x =≤、线段2:1(||1)l y x =-≤、半圆221:(1)1(1)C x y x ++=≤-、半
圆
222:(1)1(1)C x y x -+=≥所围成的区域． （6分）
这是因为对(,),1P x y x ≤，则(,)d P l y =； 而对(,),1P x y x <-，则(,)d P l =
对(,),1P x y x >，则(,)d P l =
（9分）
于是D 所表示的图形面积为4S π=+． （10分） （3） ① 选择(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -，{(,)|0}x y x Ω==． （12分）
②选择(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --，
2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=>．
（16分） ③
选
择
(0
A ，
(0,0)
B ，
(0,0)
C ，
(2,0)
D ，
{(,)|0,0}{(,)|,01}x y x y x y y x x Ω=≤≤=<≤
21
{(,)|(1),12}{(,)|4230,2}2
x y y x x x y x y x =+<≤--=>． （18分）。