2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．设集合{1,2}A =，{2,4}B =，则A B ⋃等于（ ） A ．{}1,2,4 B ．{}2 C ．{}1,2,2,4 D ．{}1,4
【答案】A
【分析】由并集的定义求解即可 【详解】因为集合{1,2}A =，{2,4}B =， 所以{}1,2,4A B ⋃=， 故选：A 2．函数()f x
=的定义域为（ ） A ．(,)∞∞-+ B ．(,0)(0,)-∞+∞ C ．[0,)+∞ D ．(0,)+∞
【答案】D
【解析】求出使()f x
=
x 的范围即可. 【详解】由题意可得：0x >， 所以函数()f x
=的定义域为(0,)+∞， 故选：D
3．命题“R x ∀∈，20x +≥”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，20x +< B ．R x ∃∈，20x +≥ C ．R x ∀∈，20x +> D ．R x ∃∈，20x +<
【答案】D
【分析】全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃∈，20x +<. 故选：D
4．下列两个函数是同一个函数的是（ ）
A ．y x =与2
y =
B ．y x =与y
C ．1y =与0
y x = D ．1y x =-与21x
y x
=-
【答案】B
【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同即可判断正误. 【详解】解：对于A ，y x =的定义域为R ，()2
y x =
的定义域为[)0,∞+，A 选项错误；
对于B ，y x =的定义域为R ，2y x =定义域为R ，且两个函数解析式都可写成()
()00x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
，B
选项正确；
对于C ，1y =的定义域为R ，0y x =的定义域为()
(),00,∞-+∞，C 选项错误；
对于D ，1y x =-的定义域为R ，2
1x
y x
=-的定义域为()
(),00,∞-+∞，D 选项错误；
故选：B.
5．设R a ∈，则“1a =-”是“21a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分、必要性定义，判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由21a =，可得1a =±，故“1a =-”是“21a =”的充分不必要条件. 故选：A
6．已知()f x 是偶函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据偶函数图像关于y 轴对称直接判断.
【详解】()f x 为偶函数，其图像应该关于y 轴对称，根据题目所给的一部分图像可知，符合题意的只有D 图. 故选：D
7．若0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．6 C ．9 D ．12
【答案】B
【分析】由基本不等式得到()()2
4120a b a b +-+-≥，求出6a b +≥.
【详解】因为0,0a b >>，由基本不等式可得：(
)2
34
a b a b ab +++=≤，
即()()2
4120a b a b +-+-≥，
因为0,0a b >>，解得：6a b +≥，当且仅当3a b ==时，等号成立， 故选：B
8．已知函数()22,,x x x a
f x x x a ⎧-+<=⎨≥⎩，若函数()f x 是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．0a ≤
C ．1a ≥或0a =
D ．0a ≤或1a =
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合一次、二次函数的单调性可得2
1
2a a a a ≤⎧⎨-≤⎩，即可求范围. 【详解】由222(1)1y x x x =-+=--+在(,1)-∞上递增，(1,)+∞上递减；且y x =在R 上递增，
所以要使()f x 是R 上的单调函数，则必为单调递增，故2
1
2a a a a ≤⎧⎨-≤⎩，可得(,0]{1}a ∈-∞⋃. 故选：D
二、多选题
9．已知集合A 满足A {}1,2,3,4,5，则A 可以是（ ） A ．∅ B ．{}0,1,2,3
C ．{}2,3,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
【答案】AC
【分析】根据真子集的定义直接判断即可. 【详解】因为A {}1,2,3,4,5，
所以集合A 可以是∅、{}2,3,4,5，不能是{}0,1,2,3、{}1,2,3,4,5. 故选：AC
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数a b >，则下列不等式不一定．．．
成立的是（ ） A ．1>a b
B ．22
2a b ab +
C ．b a a b
+≥2
D ．11a b
<
【答案】ACD
【解析】举特值可知选项ACD 正确，作差比较可知选项B 不正确. 【详解】当1,2a b =-=-时，满足a b >，此时
1
12
a b =<，故A 正确； 因为2
2
2
2()0a b ab a b +-=->，所以2
2
2a b ab +>，所以222a b ab +>，即22
2a b ab +<，
所以22
2
a b ab +≤一定成立，故B 不正确；
当1,1a b ==-时，满足a b >，此时112b a
a b
+=--=-2<，故C 正确；
当1,1a b ==-时，满足a b >，此时11
11a b
=>=-，故D 正确. 故选：ACD
【点睛】关键点点睛：举特值说明不等式不一定成立是解题关键. 11．已知幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．函数()f x 为减函数
B ．函数()f x 的值域为()0,∞+
C ．函数()f x 为奇函数
D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
【答案】BD
【分析】设出函数解析式，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入解析式，求出()2
f x x -=，画出函数图象，从而得到函数的
单调性和值域，判断出AB 选项，
利用函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，判断C 选项，
作差法，结合基本不等式得到若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
. 【详解】设()f x x α=，将12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入，得124α
=，解得：2α=-，
故()2
f x x -=，其图象如图所示：
可得到()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，且值域为()0,∞+， 故A 错误，B 正确；
()2f x x -=定义域为()(),00,∞∞-⋃+，且()()
()2
2f x x x f x ---=-==，为偶函数，C 错误；
若120x x <<，则()()2
12121212222222f x f x x x x x x x f ---++++⎛⎫⎛⎫-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
()()
()
2
222222
222
2
2
122
2211121
12122
1284
22x x x x x x x x x x x x x x x x -+=
⋅+-
=
+++
因为120x x <<，故()()()()()22
22
2222222
211
2
1
1112221121222228x x x x x
x x x x x x x x x x x x x +=+++≥⋅++=，
当且仅当12x x =时，等号成立，但120x x <<，故等号取不到，
故()()()()()
1112122
2222
2222
121212280222x x x x x x f x f x x x f x x x x -+++⎛⎫-=< ⎪++⋅⎝⎭ 即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，D 正确.
故选：BD
12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①()10f -=；
②[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦； ③R,()()x f x f x ∀∈-=.
则下列结论中正确的是（ ） A ．(3)(2)f f >-
B ．若()()12f m f -<，则()(,1)3,m +∈-∞-∞
C ．R x ∀∈，R M ∃∈，使得()f x M ≤
D ．若
()
0f x x
>，则(0,1)(,1)x ∈-∞- 【答案】BCD
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性判断A ，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可判断B ，求出函数的最大值，即可判断C ，根据函数的取值情况分类讨论，求出不等式
()
0f x x
>的解集，即可判断D. 【详解】解：因为R x ∀∈，()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，
又[)12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减， 根据偶函数的对称性可知函数在(,0)-∞上单调递增，
又()10f -=，所以()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时()0f x <，当11x -<<时()0f x >， 对于A ：因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()()()322f f f <=-，故A 错误； 对于B ：因为()()12f m f -<，
所以()()12f m f -<，故12m ->，即12m ->或12m -<-， 解得1m <-或3m >，即()(,1)
3,m +∈-∞-∞，故B 正确；
对于C ：函数()f x 在R 上的图象是连续不断的，且函数在(,0)-∞上单调递增，在[)0,∞+上单调递减， 所以()f x 的最大值为(0)f ，
故存在max ()(0)M f x f ==，使得R x ∀∈，有()f x M ≤，故C 正确； 对于D ：不等式
()
0f x x
>， 当0x >时，()0f x >，解得01x <<；当0x <时，()0f x <，解得1x <-． 综上所述，不等式()
0f x x
>的解集为(0,1)(,1)⋃-∞-，故D 正确； 故选：BCD
三、填空题
13．设{}{},,1,,1,a b R P a Q b ∈==--，若P Q =，则a b +=_____________. 【答案】-2
【分析】根据集合相等，得到集合元素之间的关系，求出,a b ，最后计算a b +的值.
【详解】因为P Q =，所以11
211b a a b a b =-=-⎧⎧⇒⇒+=-⎨⎨=-=-⎩⎩
. 【点睛】本题考查了集合相等的概念，考查了数学运算能力.
14．已知函数()2
12f x x x -=-，那么()f x 的解析式是___________. 【答案】()2
1f x x =-
【分析】利用换元法即可求出函数()f x 的解析式. 【详解】令11t x x t =-⇒=+，
已知()2
12f x x x -=-，
()()()()2
21211f t t t t t ∴=+-+=-∈R ，
则()f x 的解析式是()2
1f x x =-，
故答案为：()2
1f x x =-.
15．已知23a ≤≤，21b -≤≤-，则2+a b 的取值范围为___________. 【答案】[]2,1-
【分析】由21b -≤≤-，得422b -≤≤-，再根据不等式同向可加性，即可得出答案. 【详解】解：21b -≤≤-，
422b ∴-≤≤-，而23a ≤≤，
221a b ∴-≤+≤，即2+a b 的取值范围为[]2,1-.
故答案为：[]2,1-
四、双空题
16．通过学习我们知道：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数
()+y f x a b =-为奇函数，也就是满足()()22f a x f x b -+=.已知函数()y g x =在定义域内满足()()24g x g x -=-+，那么函数()y g x =的对称中心(),a b 的坐标为___________；如果对于变量,x y
满足0,0x y >>，且1ax by +=，那么代数式a b
x y +的最小值为___________.
【答案】 ()1,2 9
【分析】根据对称中心的定义式即可确定函数()y g x =的对称中心坐标；由,a b 的值，结合基本不等式即可确定所求式子的最小值.
【详解】解：已知函数()y g x =在定义域内满足()()24g x g x -=-+，则()()24g x g x -+= 所以函数()y g x =关于点()1,2对称，即函数()y g x =的对称中心(),a b 的坐标为()1,2； 则1,2a b ==，所以21x y +=，0,0x y >>，所以
()12122221459a b x y x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当
22x y y x =，即1
3
x y ==时，等号成立，所以a b x y +的最小值为9. 故答案为：()1,2；9.
五、解答题
17．已知全集U R =，集合{}|01A x x =<<，{}121|B x m x m =-<<+. (1)若1
2
m =
，求(
)U
B A ；
(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)1
0122x x x ⎧⎫-<≤≤<⎨⎬⎩⎭，或
(2)[]0,1
【分析】（1）利用集合交集、补集的运算性质即可求解.
（2）根据A B B ⋃=，首先得出A B ⊆，再利用子集的含义列出方程组，求解m . 【详解】（1）若1
2m =
，则122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭
.
因为U R =，{}|01A x x =<<，所以
{}
0,1U
A x x x =≤≥或.
所以()1
0122U B A x x x ⎧⎫⋂=-<≤≤<⎨⎬⎩⎭
或
（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，
需满足21110211m m m m +>-⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩，解得01m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]0,1.
18．已知函数()22
x f x x m
+=+，且()f x 是奇函数.
(1)求实数m 的值； (2)判断()f x
在区间)∞上的单调性，并用定义法证明.
【答案】(1)0m = (2)函数()f x
在区间)
∞上单调递增，证明见解析
【分析】（1）由奇函数的定义求解即可； （2）由单调性的定义求解即可
【详解】（1）因为()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-. 所以有2222
x x x m x m
++=--++，得x m x m -+=--.
解得0m =.
（2）函数()f x
在区间
)
∞上单调递增.
证明：由于0m =，所以()222
=x f x x x x
+=+
. )
12,x x +∀∈
∞，12x x <且，
则()()()12121212122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()211212121212
22x x x x x x x x x x x x --=-+
=-.
由)
12,x x +∈
∞
，得12x x >
所以12122,20x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<，
于是
()
()121212
20x x x x x x --<，即()()12f x f x <.
所以函数()f x
在区间
)
∞上单调递增.
19．已知函数()2
32f x ax x =-+，R a ∈.
(1)若不等式()0f x <的解集为{1}x
x b <<∣，求实数,a b 的值； (2)若()0f x ≥在实数集R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1a =，2b = (2)9+8⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
,
【分析】（1）首先根据()0f x <的解集为{1}x
x b <<∣，得到232=0ax x -+的根为1和b ，先代入1，解a ，再代入b 即可求解.
（2）对a 分类讨论，再根据恒成立思路求解.
【详解】（1）由不等式2320ax x -+<的解集为{1}x
x b <<∣， 可知0a >且1x =是方程232=0ax x -+的一个根， 把1x =代入方程232=0ax x -+，解得1a =. 解不等式2320x x -+<得12x <<， 所以2b =.
（2）因为2320ax x -+≥在实数集R 上恒成立， 所以当0a =时，320x -+≥在实数集R 上不是恒成立的.
当0a ≠时，需满足0Δ980a a >⎧⎨=-≤⎩，解得98a ≥.
综上可知：实数a 的取值范围是9+8⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
,. 20．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足：21400,0400,
280000,400.
x x x R x ⎧
-≤≤⎪=⎨
⎪>⎩ (1)将利润P （单位：元）表示为月产量x 的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?（利润=总收入-总成本）
【答案】(1)2
130020000,0400
260000100,400
x x x P x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；
(2)当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.
【分析】（1）分0400x ≤≤与400x >两种情况，求解出利润P 表示为月产量x 的函数即得； （2）分0400x ≤≤与400x >两种情况，求解出利润的最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）当0400x ≤≤时，214002
R x x =-， 故2211400200001003002000022
P x x x x x =---=-+-， 当400x >时，80000R =，
故800002000010060000100P x x =--=-， 故2130020000,0400260000100,400
x x x P x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；
（2）当0400x ≤≤时，()21300250002
P x =--+， 故当300x =时，P 取得最大值，最大值为25000；
当400x >时，60000100P x =-单调递减，故6000010040020000P <-⨯=，
综上：当月产量为300台时，总利润最大，最大利润为25000元.
21．已知集合{}2560A x x x =-+-≥，(){}
2210B x a x a x =--≤. (1)当2a =时，判断x A ∈是x B ∈的什么条件？
(2)当1a >时，可得[],B m n =，其中m n <，求n m -的最小值.
【答案】(1)x A ∈是x B ∈的充分不必要条件
(2)最小值4
【分析】（1）根据已知分别求解集合,A B ，则可判断集合,A B 之间的关系，于是可判断x A ∈是x B ∈的什么条件；
（2）根据1a >可得集合B ，则可得20,1a m n a ==-，所以可得2
1
a n m a -=-，结合基本不等式即可求最值.
【详解】（1）解：由不等式2560x x -+-≥，变形为2560x x -+≤，
解得23x ≤≤，所以[]2,3A =.
当2a =时，{}(){}
[]240400,4B x x x x x x =-≤=-≤=. 则A B ，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.
（2）解：由于1a >，所以10a ->，
不等式()22
10a x a x --≤等价转化为201a x x a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 解得2
01
a x a ≤≤-，因此20,1a m n a ==-， 则2211111121111
a a n m a a a a a a -+-===++=-++----
24≥=， 当且仅当111a a -=-时，即当2a =时取到等号， 所以当2a =时，n m -取到最小值4.
22．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，当0x ≤时，()21f x x x =-+.
(1)当0x >时，解不等式()()223111(R)2k x x k f x k x k ⎛⎫+-+-≤≤++∈ ⎪⎝
⎭； (2)不等式()22110f x mx m +-
+-≥在⎡⎣上有解，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)22,3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】（1）根据偶函数的性质求出函数在0x >时的解析式，则不等式等价于()2220210k x x k x k x k ⎧⎛⎫+--≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+--≤⎩
，
由0x >可得020
k x x k ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，再对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论，求出不等式组的解集； （2）令21x t +=，则问题等价于()10f mt t -+≥在[]1,6t ∈上有解，参变分离可得21m t t
≤++，令()21g t t t
=++，[]1,6t ∈求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且当0x ≤时，()21f x x x =-+，
设0x >时，则0x -<，所以()21f x x x =-++
又因为()()f x f x -=，所以()21f x x x =++.
不等式可化为()2220210k x x k x k x k ⎧⎛⎫+--≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+--≤⎩
，即()()()20210k x x x x k ⎧⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-≤⎩，
因为0x >，所以10x +>，20x +>，以上不等式组等价为020
k x x k ⎧-≤⎪⎨⎪-≤⎩，
当0k ≤时，解不等式组得0x k ≤≤，由于0x >，此时不等式无解；
当0k >时，解不等式组得2k x ≤，又因为0x >，所以02k x <≤. 综上所述：当0k ≤时，不等式的解集为∅；
当0k >时，不等式的解集为0,2k ⎛⎤ ⎥⎝⎦
. （2）解：不等式整理为()()
221110f x m x +-++≥，
令21x t +=，因为x ⎡∈⎣，可知[]1,6t ∈，
不等式转化为()10f mt t -+≥在[]1,6t ∈上有解，整理为2221t t m t t t
++≤=++， 令()21g t t t
=++，其中[]1,6t ∈，
因为()g t 在⎡⎣上单调递减，在
⎤⎦上单调递增， 且()14g =，()226=43g >，所以()max 223
g t =.
所以不等式()22110f x mx m +-+-≥在⎡⎣上有解，等价于()max m g t ≤， 所以223m ≤，所以m 的取值范围是22,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。