中考数学一轮复习课件-第十八讲解直角三角形

a
3.正切:tan A=____A_的__邻__边___=____b___.
锐角A的正弦、余弦、正切统称∠A的锐角三角函数.
二、特殊角的三角函数值
三、直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系:___a_2_+_b_2=_c_2___.
2.两锐角之间的关系:___∠__A_+_∠__B_=_9_0_°____.
【解析】如图,过点D作DH⊥AC于点H,
在Rt△DCH中,∠C=37°,∴CH= DH,
tan 37
在Rt△DBH中,∠DBH=45°,∴BH= DH ,
tan 45
∵BC=CH-BH,∴ DH - D=H6,解得DH≈18,
tan 37 tan 45
在Rt△DAH中,∠ADH=26°,∴AD ≈20.
在Rt△ABM中,∵∠BAM=45°,AB=40 n mile,
∴BM=AM=2
2
AB=220 n mile,
∴渔船航行20 2n mile距离小岛B最近.
(2)∵BM=202 n mile,MC=206 n mile, ∴tan∠MBC=MC＝20 6 ＝ 3，
BM 20 2
∴∠MBC=60°,∴∠CBG=180°-60°-45°-30°=45°,
为1, 3 ,2.(2)在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为 1,1, 2 ,再根据锐角三角函数的定义推导即可.
【跟踪训练】
3
1.(202X·攀枝花中考)sin 60°=___2___.
2.(202X·衢州中考)计算:|-2|+ (1)0 -
3
9 +2sin 30°.
【解析】原式=2+1-3+2× 1 =2+1-3+1=1.
在Rt△BCM中,∵∠CBM=60°,BM=202 n mile,
∴BC= BM=2BM=40
cos 60
2n
mile,
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短,
最短航程是40 2n mile.
【答题关键指点】 当图中有两个直角三角形时,两个直角三角形的公共边是解决问题的突破 口.(1)当公共边已知时,可直接利用公共边求其他未知量.(2)当公共边未知 时,若公共边能在某个直角三角形中求出,则先求出此公共边;若公共边不能 求出,则设公共边的长为x,从而列方程解决.
画弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于 1 AB长为半径画弧,两
2
弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于
24
点E.设OA=10,DE=12,则sin∠MON=___2_5___.
考点二 特殊角的三角函数值 【示范题2】(202X·玉林中考)sin 45°的值是 ( B )
∴(3y)2+(4y)2=12,
解得,y=- 1(舍),或y= ,1
5
5
∴DE=3 ,∴sin α= DE 1 2.
5
AD 10
【答题关键指点】 1.根据已知条件选择适当的边角关系是解题的关键. 2.有时需要作辅助线把斜三角形转化为直角三角形问题. (1)解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据,防止“积累误差”. (2)遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则, 提高解题的正确性. (3)必要时,画出图形帮助分析.
sin B
sin C
a ＝ b ＝ c ＝2R； sin A sin B sin C
(2)由(1)得: AB ＝ BC ，
sin C sin A
即 AB ＝ 4 3 =2R，
sin 45 sin 60
4 AB＝
3
2 2 ＝4
2，2R＝ 4
3 ＝8，
3
3
2
2
过B作BH⊥AC于H,∵∠AHB=∠BHC=90°,
A. 1
B. 2
C.2 D.2 2
2
2
2.(202X·遵义中考)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,
在计算tan 15°时,如图.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,
连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°= AC＝ 1 ＝ 2 3 ＝2 3． 类比
4
又∵AC2+BC2=AB2, ∴(3x)2+(4x)2=52, 解得,x=-1(舍去),或x=1, ∴AC=3,BC=4. ∵BD=1, ∴CD=BC-BD=3, ∴AD= CD2 AC2＝3 2.
(2)过点D作DE⊥AB于点E, ∵tanB=3 ,∴设DE=3y,则BE=4y,
4
∵DE2+BE2=BD2,
sin A sin B sin C
(2)若∠A=60°,∠C=45°,BC=4 3 ,利用(1)的结论求AB的长和sin B的值.
【解析】(1)作直径BE,连接CE,如图所示:
则∠BCE=90°,∠E=∠A,
∴sin A=sin E= BC a ， a ＝2R，
BE 2R sin A
同理： b ＝2R， c ＝2R，
2
3.(202X·泸州中考)计算:|-5|-(π-2 020)0+2cos 60°+ (1)1.
3
【解析】原式=5-1+2× 1 +3=5-1+1+3=8.
2
4.(202X·齐齐哈尔中考)计算: (1)1+ 12 -6tan 60°+|2-4 3 |.
3
【解析】( 1 ) +1
3
-162tan 60°+|2-4 |
A ．1
B． 2
C． 3
D．1
2
2
2
【答题关键指点】熟记特殊角的三角函数值的两种方法
1.按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分分别是
3,
2 ,1,正切分别是
3 ,1,
3
3.
2.特殊值法:(1)在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别
【解析】延长BC交AD于点E,则AE=AD-DE=0.6 m.
BE= AE≈1.875 m,CE= A≈E0.346 m.
图1
2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和___水__平__宽__度__l __之比叫做 坡度(或叫做坡比),用字母___i___表示,即i=___hl___;坡面与___水__平__面____的夹角
h
叫做坡角,记作α.所以i=__l___=tan α.
图2
3.方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的___小__于__9_0_°____的角叫做方向 角. 4.基本思路:三角函数必须用于直角三角形中,若无直角三角形,则应通过作辅 助线来构造___直__角____三角形,题目中出现三角函数时→用定义转化成边的 ___比____→用设k法进行求解. 坡度(坡比)→坡角的___正__切__值____.
【跟踪训练】 1.(202X·温州中考)如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α, 测倾仪高AD为1.5米,则铁塔的高BC为 ( A )
A.(1.5+150tanα)米 C.(1.5+150sinα)米
B. (1.5 150 ) 米
tan
D. (1.5 150 ) 米
sin
2.(202X·自贡中考)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD, DC∥AB.BC长6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为__6__2__米 (结果保留根号).
【自我诊断】 1.3tan 30°的值等于 ( A )
A. 3B.3 3C. 3D. 3
3
2
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sin B的值是
A. 2B. 3
3
5
C. 3D. 4
4
5
(D)
5
3.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos B的值为_1_3__.
a
b
3.边角之间的关系:sin A=cos B=____c___,sin B=cos A=____c___,
a
b
tan A=_____b____,tan B=_____a_____.
四、解直角三角形的应用 1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线 ___上__方____的叫做仰角,在水平线___下__方____的叫做俯角.
(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)? (2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20 6 n mile到点C处时突 然产生事故,渔船立刻向小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方 向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少(结果保留根号)?
【自主解答】(1)过B作BM⊥AC于M,由题意可知∠BAM=45°,则∠ABM=45°,
4.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长为
___1_0_0___米.
高频考点·疑难突破
考点一 锐角三角函数的概念 【示范题1】(202X·河池中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sin B的 值是 ( D )
A. 5
B. 12
C. 5
AH＝AB cos60＝4 2 1＝ 2 ，CH＝ 2 BC＝2 6，
22
2
AC＝AH CH＝2（ 2 6），
sin B＝AC＝2（ 2 6）＝ 2 6 ．
2R
8
4
考点四 解直角三角形的应用 【示范题4】(202X·北部湾中考)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向, 距离小岛40 n mile的点A处,它沿着点A的南偏东15°的方向航行.
CD 2 3 (2 3)(2 3)
这种方法,计算tan 22.5°的值为
(B)
A．2 1
B．2 1
C．2
D．1
2
3.(202X·菏泽中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边的中点,连接CD,
2
若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为__3__.
4.(202X·苏州中考))如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径
D.12
12
5
13
13
【答题关键指点】 1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决,可以通过相等的角 转化或通过作辅助线构造直角三角形. 2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
【跟踪训练】 1.(202X·凉山中考)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的 值为 ( A )
第十八讲 解直角三角形
一、锐角三角函数的概念 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c.
A的对边
a
1.正弦:sin A=_____斜__边_____=____c___.
A的邻边
b
2.余弦:cos A=_____斜__边_____=____c___.
A的对边
3.(202X·南京中考)如图,在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B、C. 一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方向航行至D处,在B,C处罚别测得∠ABD= 45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26° ≈0.90,tan 26°≈0.49,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.)
【跟踪训练】
1.(202X·桂林中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则cos A的值
5
是__13__.
2.(202X·凉山州中考)如图,☉O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠A, ∠B,∠C所对的边分别是a,b,c. (1)求证: a ＝ b ＝ c ＝2R；
答:轮船航行的距离AD约为20 km.
4.(202X·遵义中考)某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门.如图为 该测温门截面示意图,已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2 m,为了解自己的 有效测温区间.身高1.6 m的小聪做了如下实验:当他在地面N处时测温门开始显 示额头温度,此时在额头B处测得A的仰角为18°;在地面M处时,测温门停止显示 额头温度,此时在额头C处测得A的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN 的长度.(额头到地面的距离以身高计,计算精确到0.1 m,sin 18°≈0.31, cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32)
3
=3+23 -6× 3+4 -32=1.
考点三 解直角三角形
【示范题3】(202X·梧州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,
AB=5,BD=1,tanB= 3 .
4
(1)求AD的长.
(2)求sin α的值.
【自主解答】(1)∵tanB= 3,∴设AC=3x,得BC=4x,