精选高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点
导数的看法 导数的几何意义、 物理意义
常有函数的导数
导
数
导数的运算
导数的运算法规 函数的单调性
导数的应用
函数的极值
函数的最值
1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f (x) 定义域的一点，若是自变量
x 在 x 0 处有增量 x ，
则函数值 y 也引起相应的增量
y
f (x 0
x) f (x 0 ) ；比值
y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 称为函数 y f ( x) 在点
x
x
x 0 到 x 0
x 之间的平均变化率； 若是极限 lim
y f (x 0
x) f ( x 0 ) 存在，则称函数 y
f (x) 在点 x 0
x
lim
x
x 0
x 0
处 可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 y
f ( x) 在 x 0 处 的 导 数 ， 记 作
f ' (x 0 ) 或 y
'
|x x ， 即
f '
(x 0 ) =
y
f (x 0
x)
f (x 0 )
lim
lim
x .
x 0 x
x 0
注：①
x 是增量，我们也称为
“改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 .
②以知函数 y
f ( x) 定义域为
A ， y f ' (x ) 的定义域为
B ，则 A 与 B 关系为 A
B .
2. 函数 y f ( x) 在点 x 0 处连续与点 x 0 处可导的关系：
⑴函数 y f (x) 在点 x 0 处连续是 y f ( x) 在点 x 0 处可导的必要不充分条件 .
可以证明，若是
y f ( x) 在点 x 0 处可导，那么 y f ( x) 点 x 0 处连续 .
事实上，令 x x 0
x ，则 x
x 0 相当于 x 0 .
于是 lim f ( x)
lim f ( x 0 x)
lim [ f (x
x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 )]
x
x 0
x 0
x 0
lim [ f (x 0
x) f ( x 0 )
x
f ( x 0 )]
f (x 0
x) f ( x 0 )
lim f ( x 0 )
x
lim
x
lim
x 0
x
x 0
x 0
若是 y f (x) 点 x 0 处连续，那么 y f ( x) 在点 x 0 处可导，是不成立的 .
例： f (x)
| x |在点 x 0 0 处连续， 但在点 x 0
y | x | ，当
0 处不可以导， 因为
x x 0 时，
y
1 ，故 lim y
不存在 . x x 0 x
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .
3. 导数的几何意义：
f '
( x 0 ) 0 f (x 0 )
f (x 0 ). ⑵
x ＞ 0 时，
y
1；当 x ＜
x
函数y f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f (x) 在点(x0 , f ( x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' (x 0 )，切线方程为y y0 f ' (x)( x x0 ).
4.求导数的四则运算法规：
(u v) 'u 'v 'y f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x)y 'f1' ( x) f 2' (x) ... f n' ( x)
(uv) 'vu 'v 'u(cv) ' c 'v cv'cv '（ c 为常数）
'
'v ' u ( v
u vu0 )
v v 2
注：① u, v 必定是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可以导，则它们的和、差、积、商不用然不可以导 .
比方：设 f ( x)2sin x 2 ，
g( x)cos x
2 ，则
f ( x),
g (x) 在x0 处均不可以导，但它们
和
f (x)g( x) x x
sin x cos x 在x0 处均可导.
5. 复合函数的求导法规： f x' (( x)) f ' (u)'(x)或y'x y 'u u 'x
复合函数的求导法规可实行到多此中间变量的状况.
6.函数单调性：
⑴函数单调性的判断方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，若是 f ' ( x) ＞0，则y f (x) 为增函数；如果 f ' ( x) ＜0，则y f ( x)为减函数.
⑵常数的判断方法；
若是函数 y f (x) 在区间I内恒有f' (x) =0，则y f (x) 为常数 .
注：① f (x)0 是 f（ x）递加的充分条件，但不是必要条件，如y 2 x 3在( , )上其实不是都有 f ( x) 0，有一个点例外即 x=0 时 f（ x） = 0 ，同样 f (x) 0是 f（ x）递减的充分非必要条件 .
②一般地，若是 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （ x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的鉴识方法：（极值是在x0周边所有的点，都有 f (x) ＜ f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理）
当函数 f (x) 在点x 0处连续时，
①若是在 x 0周边的左侧f' (x) ＞0，右侧 f' (x) ＜0，那么f (x0)是极大值；
②若是在x0周边的左侧f' (x) ＜0，右侧 f' (x) ＞0，那么f (x0)是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是 f ' ( x) =0①
. 其余，函数不可以导的点也可能
是函数的极值点②. 自然，极值是一个局部看法，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值
小（函数在某一点周边的点不同样） .
注①：若点x0是可导函数f (x) 的极值点，则f'(x) =0. 但反过来不用然成立. 对于可导函数，其一点x0是
极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
比方：函数y f ( x)x3，x0 使f' ( x)=0，但x0 不是极值点.
②比方：函数y f ( x)| x |，在点x0 处不可以导，但
点
x 0 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的差异：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点必然有意义.
9.几种常有的函数导数：
I. C '0 （ C 为常数）(sin x) 'cos x(arcsin x) '
12
1x
(x n ) 'nx n 1（ n R ）(cos x) 'sin x(arccos x) '1
x 2
1
II. (ln x) '1(log a x) '1log a e(arctanx) '1
1 x x x2
( e x ) ' e x(a x ) ' a x ln a( arc cot x) '1
1
x2 III. 求导的常有方法：
①常用结论： (ln | x |)'1.
x
②形如 y ( x a1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y( x a1 )( x a2 )...(x a n)
两边同取自然对数，可转变求代数和形式.
(x b1 )(x b2 )...(x b n )
③无理函数或形如y x x这类函数，如y x x取自然对数此后可变形为ln y x ln x ，对两边求导可得y '
1y 'y ln x y y 'x x ln x x x.
ln x x
y x
导数知识点总结复习
经典例题分析
考点一：求导公式。

例 1. f ( x)是f (x) 1 x32x1的导函数，则 f ( 1) 的值是。

3
考点二：导数的几何意义。

例 2. 已知函数y f (x)的图象在点 M (1，f (1))处的切线方程是 y 1
x 2 ，则2
f ( 1 ) f( 1 )。

例 3.曲线y x32x24x 2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。

议论：以上两小题均是对导数的几何意义的观察。

考点三：导数的几何意义的应用。

例 4.已知曲线C：y x33x 22x ，直线 l : y kx ，且直线l与曲线C相切于点x0 , y0x00 ，求
直线 l 的方程及切点坐标。

议论：本小题观察导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例 5.已知f x ax 33x 2x 1在R上是减函数，求 a 的取值范
议论：本题观察导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例 6. 设函数f ( x) 2 x33ax23bx8c 在x 1 及 x 2 时获取极值。

（ 1）求 a、 b 的值；
（ 2）若对于任意的x[0，3] ，都有 f (x) c2成立，求c的取值范围。

议论：本题观察利用导数求函数的极值。

求可导函数 f x 的极值步骤：
①求导数 f ' x；
②求 f ' x0的根；③将 f 'x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由 f ' x 在各区间上取值的正
负可确定并求出函数 f x的极值。

考点六：函数的最值。

例 7. 已知a为实数，f x x24x a 。

求导数 f ' x ；（2）若 f ' 10 ，求 f x 在区间2,2上的最大值和最小值。

议论：本题观察可导函数最值的求法。

求可导函数 f x 在区间 a, b 上的最值，要先求出函数f x 在区
间 a, b 上的极值，尔后与f a 和 f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例 8. 设函数f ( x)ax3bx c ( a0) 为奇函数，其图象在点 (1, f (1))处的切线与直线x6y7 0 垂直，导函数 f'(x)的最小值为12 。

（1）求a， b ，c的值；
（ 2）求函数 f ( x)的单调递加区间，并求函数 f (x) 在 [1,3] 上的最大值和最小值
议论：本题观察函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和
运算能力。