过空间随便率性一点引三条直线它们所肯定的平面的个数宝典

过空间随便率性一点引三条直线,它们所肯定的平面的个数
[宝典]
过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面的个数
三条重合:无数个
有两条重合:一个
三条不重合:
1.同一平面:一个
2.不再同一平面:三个
3条直线交于1点,最多能确定个平面;3条直线交于2点，最多能确定个平面，3条直线交于3点，
3条直线交于1点,最多能确定 3个平面;
3条直线交于2点，最多能确定 2个平面，
3条直线交于3点，最多能确定 1 个平面
一、内容提要
本卷检测关于直线与平面的公理，判断直线与直线、平面与平面直线与平面的平行，垂直关系的定理以及应用性质定理(特别是三垂线定理及其逆定理)的准确性，深刻性、灵活性。

正确地进行空间角、距离、图形面积的计算。

实现已知元素。

向未知元素的有效转化的能力。

恰切地折迭与展平以透视对几何体的空间想象能力。

严格地进行演绎推理，并理解反证法的思路及证题方法。

系统掌握各种命题中的文字语言、符号语言、图形语言的运用与沟通。

二、例题分析
[例1]下列命题:(1)空间不同3点确定一个平面;(2)有3个公共点的两个平面必重合;(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面;(4)三角形是平面图形;(5)平行
四边形、梯形、四边形都是平面图形;(6)垂直同一直线的两直线平行;(7)一条直线和两平行线中的一条相交，
也必和另一条相交;(8)两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是____________。

解析:
由公理3知，不共线的3点才能确定一个平面，所以知命题(1)、
(2)均错，(2)中有可能出现两平面只有一条公共线(当这3个
公共点共线时)。

(3)空间两两相交的3条直线有3个交点或一个
交点，若为3个交点，则这3线共面，若只有一个交点，则可能确定
一个平面或3个平面，(5)中平行四边形及梯形由公理3的推论及
公理1可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图1，在正方体ABCD—A?B?C?D?中，直线
BB??AB，BB??CD，但AB与CD不平行，所以(6)错，AB?CD，BB??AB=B，但BB?与CD不相交，所
以(7)错;四边形AD? B?C中，AD?=D? B?=B?C=CA=，但它不是平行四边形，所以(8)
也错。

[例2]如图2，已知直线a?b?c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证:a、
b、c、d四线共面。

解析:
与共点线问题类似，证明线共面常见方法亦为:先由
部分直线确定平面，再证其他直线都在这个面内;
另一种方法为统一法，先由部分直线确定平面，再
由其他直线确定平面，再证这些平面重合。

证明:因为a?d=A,所以a与d确定一平面a，则da，因为B?d，所以B?a，在a 内过B
点作直线b?
?a,而b?a,所以b?b?,又因为b与b?有一个公共点B，故b与b?重合，所以b a，同理可证c a,所以a、b、c、d四线共面。

[例3]已知a和b是两条异面直线，求证:过a和b分别存在平面α和β，
使得α?β。

解析:
这也是种存在性的题目，它的解法通常是先作出这对
平面，再证这对平面满足要求，就是所要的平面。

证明:在直线a上任取一点P，过P作b??b,在直线b上任取一点Q，过Q作a??a,设a、b?确定一个平面α,a?、b 确定平面β，因为a??a,aa??α，同理b?α, a,所以
又a?、bβ,所以α?β,所以过a和b分别存在两个平面α和β，使α?β。

三、检测题
(一)选择题
1(设a、b是异面直线，那么( )
A.必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、b
B.必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、b
C.过直线a存在唯一平面平行于直线b
D.过直线a存在唯一平面垂直于直线b
2(已知直线l?平面α，直线mβ,有四个命题:
?α?β,l?m ?l?m,α?β ?α?β,l?m ?l?m,α?β
A.?与?
B.?与?
C.?与?
D.?与?
3(在Rt?ABC中，?C=90?，点P在?ABC所在平面外，PC=17，P到AC、BC的距离PE=PF=13，则P到平面ABC的距离为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
4(与空间不共面的四点距离相等的平面有( )
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个 5(m、n是互不垂直的异面直线，平面α、β分别过m、n，则下列关系中不可能是( )
A.m?β
B.α?β
C.m?β
D.α?β 6(二面角α,l,β的平面角为120?，A、B?l，ACα，BDβ，AC?l，BD?l,若AB=AC=BD=1，
则CD的长为( )
A. B. C.2 D.
7(二面角α-AB-β的平面角为θ，射线ACα，且?CAB=θ，AC与平面β所成角为θ，12
则为θ、 1
θ、θ之间一定满足关系式( ) 2
222 A.Sinθ+sinθ=sinθ 12
222 B.cosθ+cosθ=cosθ 12
C.sinθ?sinθ=sinθ 12
D.cosθ?cosθ=cosθ 12
8(过点A与平面α成定角θ(0<θ?90?)的直线有( )
A.一条
B.二条
C.无数
D.一条或无数条
9(在直角坐标系中，已知A(3，2)、B(-3，-2)，沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A
-oy-B后，?AOB=90?，则cosα的值是( )
A. B.- C. D.-
10(平面M与平面N相交成锐角θ，M上一个圆在N上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等
于( )
A.30?
B.60?
C.120?
D.150? 11(如图正方体ABCD-ABCD中，EF是AC为AD的公垂线，则EF与BD所成的角是111111( )
A.90?
B.60?
C.30?
D.0? 12(若a与b是异面直线，则下列判断正确的是( )
A.与a、b都垂直的直线只有一条
B.一定存在过a且与b垂直的平面
C.过a、b外任一点，可作一个平面与a、b都平行
D.分别过a、b可作两个平面互相垂直
(二)填空题:
13.AB是异面直线a、b的公垂线，A?a,B?b,M?a,N?b,若AB=4cm，
AM=3cm,BN=4cm,MN=cm，则a与b所成的角为 .
14.DP垂直于正六边形ABCDEF于D，若正六边形边长为a，PD=a,则P到BC的距离为 .
15.在棱长均为a的平行六面体ABCD-ABCD中，各表面四边形的锐角均为60?，则二面角A-AD-C11111的余弦值为 .
16.二面角α-l-β内有一点A到α、β的距离分别为2cm、5cm，二面角α-l-β的大小为60?，M?α，N?β，则?AMN的周长的最小值为 . (三)解答题:
17.异面直线a、b，a?平面α，b?平面β，α?β=l a、b的公垂线段为AB.且AB与l不重合，求证:AB?l
18.平面α与β相交于直线l，直线AB、CD分别在α、β内，且分别与l交于A、C两点，?BAC,?ACD，问直线AB与CD的位置关系怎样,证明你的结论. 19.如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD?底面BCD，其中侧面ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，底面BCD是BC为斜边，且?DCB,60?的直角三角形.
(1)求证:平面ABC?平面ACD;
(2)求两直线AC、BD所成角的大小.
20.在底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC-ABC中，?C,，AA=AC,D是CC的中点. 11111
(1)求证:平面ABD?平面ABB; 11
(2)求二面角B-BD-A的大小. 1
21.直角梯形ABCD中，AB?CD，?ADC,90?，AB,AD,a，CD=3a ,将?BAD沿BD折起，使之与
平面BCD成
60?的二面角，求此时A、C两点之间的距离. 22.如图，在斜边为AB的Rt?ABC 中，过A作PA?平面ABC，AM?PB于M，AN?PC于N.
(1)求证:BC?平面PAC
(2)求证:PB?平面AMN
(3)若PA=AB=4，设?BPC=θ，试用tgθ表示?AMN的面积，当tgθ取何
值时，?AMN的面积最大，最大面积是多少,
答案
1、C
2、A
3、A
4、D
5、C
6、C
7、C
8、D
9、C
10、A
11、D
12、D
13、60?
14、 a
15、
16、2 cm
17、分析:本题涉及直线与平面，直线与直线垂直的条件较多，应充分运用这些条件，构造辅助平面r，使AB、l都垂直于r即可。

证明:过点B作a' ?a,即a' ?b=B, a'与b确定平面r.
?AB为a、b的公垂线，?AB?平面r ?α?β=l a?α， b?β
?a?l, b?l b' ?l ?l?平面r 已证AB?l ?AB?l 18、分析:两直线的位置关系有三种，根据公理，可推翻AB、CD共面的结论。

此类问题宜用反证法。

直线AB与CD异面(反证法)证明:假设直线AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ.则不共线的三点A、
B、C在γ内.又AB α，α?β=AC，从而AC α，?A、B、C在α内.由公理3知α、γ重合. 同理β与γ重合，从而α与β重合.
这与已知α与β相交于直线l矛盾. 故直线AB与直线CD异面. 19、分析:本题应利用面ABD?面BCD，分析其性质，再结合其它条件，推导出所需要的充分条件，求异面直线所成的角用平移法，并要加以计算.
证明:(1)?平面ABD?平面BCD，平面ABD?平面BCD=BD，CD 平面BCD，CD?BD，
?由面面垂直的性质定理得CD?平面ABD，而ABC 平面ABD， ?CD?AB.
又由已知?ABD为等腰直角三角形且AB?AD ?AB?平面ACD，而AB 平面ABC.
?由面面垂直的判定定理得平面ABC?平面ACD.
解:(2)如图，以BD、CD为邻边作矩形BDCE，连结AE.
?在矩形BDCE中CD?BE，由(1)CD?平面ABC
?BE?平面ABC， ?BE?AB，于是Rt?ACD?Rt?ABE.
?BD?CE. ?AC与BD所成的角等于CE与AC所成的角.
??ACE=arccos ?AC与BD所成角的大小为arccos .
注:如果取AB、AD、BC的中点E、F、G，解三角形EFG也可得结证，但计算相对较繁.
20、分析:证明面面垂直应转化为线面垂直，求二面角的大小在不易作出其平面角的情况下，可用射影面积公式解之.
证明:(1)分别取AB、AB的中点E、F.连结EF交AB于G.则G为EF的中点，111
连结CF、CE、DG.由于该直棱柱底面为等腰直角三角形，?C=60?. 1
?CE?AB，从而CE?平面ABBA. 又易知CF?平面ABBA， 11111
?CE?CF，四边形CEFC为矩形.又D、G分别为CC、EF的中点.111
?DG?CE，DG?平面ABBA.而DG 平面ABD ?面ABD?平面ABBA. 111111
(2)连结BC.由三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱知?ABD在平面BCCB 上的1111
射影为?BCD. 1
设二面角B-BD-A为大小为α, 则由射影面积公式得: 1
21、分析:对于此种折迭问题应明确折迭前后"变"与"不变"的元素，并进行空间想象、实施推理计算。

折迭后的?AC?长应通过余弦定理解之.
解:如图，在平面图形中;连结BD.在DC上取点E，使DE=a，连结AE，
并作CF垂直于AE的延长线于F.作CG?DB的延长线于G. 设BD与AE交于点O，则BD= a，
AO=OE= a.
CE=2a=2DE,EF=2OE,oF=2OD ?OF=CG= a,CF= a,BG= a.
易知AO?BD，OF?BD ??AOF是二面角A-BD-C的平面角. ?AOF=60?.
由作法知CF?BD，又CF?OF ?CF?平面AOF.
,,,, 在AOF中，由余弦定理得AF,AO，OF,2AO?OFcos60?= a
?A、C之间的距离为 a.
22、分析:证明直线与平面垂直，需要转化为证线线垂直(如(1)(2)，证明中要反复运用线面垂直的判定与性质，由线面垂直，推线线垂直，再由线线垂直推线面垂直。

证明:(1)?PA?面ABC
?PA?BC 又?BC?AC PA?AC,A
?BC?平面PAC
(2)?BC?面PAC(已证) AN 面PAC ?BC?AN 又AN?PC
?AN?平面PBC AN?PB 又PB?AM ?PB?平面AMN
(3)在Rt?PAB中，PA,AB,4 ?PB,4 ?AM?PB
?AM,2 PM,BM,2 易证PB?MN 则MN,PM?tgθ=2 tgθ.
由AN?平面PBC AN?MN ?AN,
22 当且仅当1,tgθ=tgθ, tgθ= 时，S有最大值2. ?AMN
一、内容提要
1(序言:
?平面图形:由同一个平面内的点、线所构成。

空间图形:有空间的点、线、面所构成。

也可看作空间点的集合。

可见，平面图形是空间图形的一部分。

?立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。

2(平面的性质:
?公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线(
用集合符号为:A?a，B?a，A?α，B?α，则
?公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线(
?公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面(
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(
二、要点内容
1(“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。

几何里的平面是无限延展的。

这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。

它可以联系直线是无限延伸的去理解。

当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢,
2(通常把平面画成平行四边形(有时也根据需要画成三角形或其他平面图形)。

画相交平面时，一定要画出它们的交线。

立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。

为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。

3(公理和推论中的“有且只有一个”的含义是:“有”说明图形是存在的;“只有一个”说明图形是唯一的。

“有且只有一个”和“确定”是同义词。

4(本节使用了等符号。

它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。

如
A?α，读作“点A在直线a上”;α?β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。

5(公理及其推论的作用。

(1) 公理1的作用:?证明点在平面内; ?证明直线在平面内。

(2) 公理2的作用:?确定两个平面的交线; ?证明三点共线或证明点在直线上; ?确定直线和平面交点的位置。

公理3及其推论的作用:?作辅助平面; ?证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。

三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内(
已知:AB?AC=A，AB?BC=B，AC?BC=C(
求证:直线AB，BC，AC共面(
证法:因为AB?AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α((推论2)
因为B?AB，C?AC，
所以B?α，C?α，
故BCα((公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面( 评注:
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内( 分析:
四条直线两两相交且不共点，可能有两种:一是有三条直线共点;二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况(
(1)已知:d?a,P，d?b,Q(
d?c,R，a、b、c相交于点O(
求证:a、b、c、d共面(
证明:?d?a,P，
?过d、a确定一个平面α(推论2)(
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ(
?O?a，O?b，O?c，
?O?α，O?β，O?γ(
?平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O(
?α、β、γ重合(
?a、b、c、d共面(
注:本题的方法是“同一法”(
(2)已知:d?a,P，d?b,Q，d?c,R，a?b,M，b?c,N，a?c,S，且无三线共点( 求证:a、b、c、d共面
证明:?d?a,P，
?d和a确定一个平面α(推论2)(
?a?b,M，d?b,Q，
?M?α，Q?α(
MQα即bα.
同理Cα
?a、b、c、d四线共面(
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面
A′B′CD的交线。

解:连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。

?M?直线AD′，AD′平面ABC′D′，
?M?平面ABC′D′;
又M?直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
?M?平面A′B′CD。

所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。

同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。

连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。

评注:
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。

而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。

第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是( )
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
解: 选(D)。

这五个点中的任意三点确定一个平面。

从A、B、C、D、E五个点中任
取三点，按照以下顺序取法，?A、B、C，?A、B、D，?A、B、E，?A、C、D，?A、C、E，?A、D、E，?B、C、D，?B、C、E，?B、D、E， ?C、D、E。

所以确定平面个数为10。

[例2]如图，已知点G是?ABC的重心，点P是?ABC所在平面外一点，平面PAG 和平面ABC的交线与BC边交于E。

判断点E在BC边上的位置，并说明理由。

解:点E是BC边的中点。

?平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
?这两个平面交线为AG。

又?点G是?ABC的重心，
?AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。

评注:
(1)不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。

(2)解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。

评注:
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上;或先经过某两点作一直线，再证明其它点也在这条直线上。

第三阶梯
[例2]如图，已知点A是?BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF:
FC=2:3，DH:HA=2:3。

求证:EF、GH、BD交于一点。

证明:连接EG、EF，
?E、G分别是BC、AB的中点，?GE?AC，
又DF:FC=2:3，DH:HA=2:3，
?HF?AC，?GE?HF，
故G、E、F、H四点共面。

又?EF与GH不平行且共面，
?EF与GH相交，设交点为O。

?O 平面ABD，O 平面BCD，
?O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
?EF、GH、BD交于一点。

评注:
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平
面的交线。

评注:
证明直线共面通常有两种方法:(1)先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内;
(2)先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。

四、检测题
1(下面是一些命题的叙述语(A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面)其中命题和叙述方法都正确的是(( ).
2(下列推断中，错误的是( )
3(一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分(
4(如图，在正方体ABCD,ABCD中，点E、F分别是接AA、CC的中点，111111 求证:点D、E、F、B共面( 1
5(两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点(
答案:
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示:证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内(本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上(
5.分析:要证点P是两平面的公共点(
已知:如图，α?β=a，β?γ,b，α?γ,c，b?c,p(
求证:p?a(
证明:?b?c,p，
?p?b(
?β?γ,b，
?p?β(
同理，p?α(
又?α?β=a，
?p?a
一、内容提要
1(序言:
?平面图形:由同一个平面内的点、线所构成。

空间图形:有空间的点、线、面所构成。

也可看作空间点的集合。

可见，平面图形是空间图形的一部分。

?立体几何的研究对象是空间图形，我们将在平面几何知识的基础上，来研究空间图形的画法、性质、计算、以及它们的应用。

2(平面的性质:
?公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线(
用集合符号为:A?a，B?a，A?α，B?α，则
?公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线(
?公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面(
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(
二、要点内容
1(“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念。

几何里的平面是无限延展的。

这是平面最本质的一个属性，也是正确理解平面概念的关键。

它可以联系直线是无限延伸的去理解。

当直线在平面内时，由于直线是无限延伸的，如果平面有限，那直线怎么能在平面内呢,
2(通常把平面画成平行四边形(有时也根据需要画成三角形或其他平面图形)。

画相交平面时，一定要画出它们的交线。

立体几何中，遮住的部分可画成虚线或不画。

为了不产生混淆，立体图形的直观图中，辅助线和图形中原有的“线”同样处理，可见部分不画成虚线。

3(公理和推论中的“有且只有一个”的含义是:“有”说明图形是存在的;“只有一个”说明图形是唯一的。

“有且只有一个”和“确定”是同义词。

4(本节使用了等符号。

它们是借用的集合符号，读法上仍用几何语言。

如A?α，读作“点A在直线a上”;α?β=α，读作“平面α、β相交于直线a”。

5(公理及其推论的作用。

(1) 公理1的作用:?证明点在平面内; ?证明直线在平面内。

(2) 公理2的作用:?确定两个平面的交线; ?证明三点共线或证明点在直线上; ?确定直线和平面交点的位置。

公理3及其推论的作用:?作辅助平面; ?证明平面的唯一性，即证明两个平面重合。

三、例题分析
第一阶梯
[例1]两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内(
已知:AB?AC=A，AB?BC=B，AC?BC=C(
求证:直线AB，BC，AC共面(
证法:因为AB?AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α((推论2)
因为B?AB，C?AC，
所以B?α，C?α，
故BCα((公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面(
评注:
题中“且不过同一点”这几个字不能省略，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面.
[例2]求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内( 分析:
四条直线两两相交且不共点，可能有两种:一是有三条直线共点;二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况(
(1)已知:d?a,P，d?b,Q(
d?c,R，a、b、c相交于点O(
求证:a、b、c、d共面(
证明:?d?a,P，
?过d、a确定一个平面α(推论2)(
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ(
?O?a，O?b，O?c，
?O?α，O?β，O?γ(
?平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O(
?α、β、γ重合(
?a、b、c、d共面(
注:本题的方法是“同一法”(
(2)已知:d?a,P，d?b,Q，d?c,R，a?b,M，b?c,N，a?c,S，且无三线共点(
求证:a、b、c、d共面
证明:?d?a,P，
?d和a确定一个平面α(推论2)(
?a?b,M，d?b,Q，
?M?α，Q?α(
MQα即bα.
同理Cα
?a、b、c、d四线共面(
[例3]如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中,画出平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。

解:连接AD′和A′D交于M，连接BC′和B′C交于N。

?M?直线AD′，AD′平面ABC′D′，
?M?平面ABC′D′;
又M?直线A′D，A′D 平面A′B′CD，
?M?平面A′B′CD。

所以点M是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。

同理，点N也是平面ABC′D′和平面A′B′CD的公共点。

连接MN，根据公理2，可知直线MN就是平面ABC′D′和平面A′B′CD的交线。

评注:
确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是这两个平面的交线。

而确定两个平面的公共点，一般要在两个平面内分别找一条直线，且这两条直线相交。

第二阶梯
[例1]空间五点，其中任意四点都不共面，那么这五点可以确定平面的个数是( )
(A)5 (B)6 (C)8 (D)10
解: 选(D)。

这五个点中的任意三点确定一个平面。

从A、B、C、D、E五个点中任
取三点，按照以下顺序取法，?A、B、C，?A、B、D，?A、B、E，?A、C、
D，?A、C、E，?A、D、E，?B、C、D，?B、C、E，?B、D、E， ?C、D、E。

所以确定平面个数为10。

[例2]如图，已知点G是?ABC的重心，点P是?ABC所在平面外一点，平面PAG 和平面ABC的交线与BC边交于E。

判断点E在BC边上的位置，并说明理由。

解:点E是BC边的中点。

?平面PAG和平面ABC有两个公共点A、G，
?这两个平面交线为AG。

又?点G是?ABC的重心，
?AG延长线与BC边的交点E是BC边的中点。

评注:
(1)不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点。

(2)解决立体几何问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题。

评注:
证明点共线，通常证明这些点都在两平面的交线上;或先经过某两点作一直线，再证明其它点
也在这条直线上。

第三阶梯
[例2]如图，已知点A是?BCD所在平面外一点，E、G分别为BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF:
FC=2:3，DH:HA=2:3。

求证:EF、GH、BD交于一点。

证明:连接EG、EF，
?E、G分别是BC、AB的中点，?GE?AC，
又DF:FC=2:3，DH:HA=2:3，
?HF?AC，?GE?HF，
故G、E、F、H四点共面。

又?EF与GH不平行且共面，
?EF与GH相交，设交点为O。

?O 平面ABD，O 平面BCD，
?O在平面ABD和平面BCD的交线BD上，
?EF、GH、BD交于一点。

评注:
证明直线共点，常采用证明两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平
面的交线。

评注:
证明直线共面通常有两种方法:(1)先由部分直线确定平面，再证其它直线在这个平面内;
(2)先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面，然后证明这些平面重合。

四、检测题
1(下面是一些命题的叙述语(A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面)其中命题和叙述方法都正确的是(( ).
2(下列推断中，错误的是( )
3(一个平面把空间分成_______部分，两个平面把空间最多分成_______部分，三个平面把空间最多分成_______部分(
4(如图，在正方体ABCD,ABCD中，点E、F分别是接AA、CC的中点，111111 求证:点D、E、F、B共面( 1
5(两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这点(
答案:
1.D
2.C
3. 2,4,8
4.提示:证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内(本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上(
5.分析:要证点P是两平面的公共点(
已知:如图，α?β=a，β?γ,b，α?γ,c，b?c,p(
求证:p?a(
证明:?b?c,p，
?p?b(
?β?γ,b，
?p?β(
同理，p?α(
又?α?β=a，
?p?a
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
1. 平面的基本性质与推论
2. 空间中的平行关系
二. 教学目的
1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三. 教学重点、难点
【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用;线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。

【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用;如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

四. 知识分析
(一)平面的基本性质与推论
1. 平面的基本性质
(1)关于公理1
?三种数学语言表述:
文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述:如图1所示
图1
符号语言表述:
?内容剖析:
公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。

这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

?公理(1)的作用:既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

(2)关于公理2
?公理2的三种数学语言表述:
文字语言表述:过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述:如图2所示
图2
符号语言表述:A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.
?内容剖析:
公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。

条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘(同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面;过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。

这里的“有”是说图形存在。

“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。

因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。

“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。

?公理2的作用:
作用一是确定平面;
作用二是可用其证明点、线共面问题。

(3)关于公理3
?公理3的三种数学语言表述:
文字语言表述:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述:如图3所示。