2019-2020学年山西省太原市第五十三中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年山西省太原市第五十三中学高一上学期10月
月考数学试题
一、单选题 1．已知集合是平行四边形，
是矩形，
是正方形，
是
菱形，则 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选B ．
2．已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 A ．N ⊆M B ．M ∪N=M C ．M∩N=N D ．M∩N ={2} 【答案】D
【考点定位】考查集合包含关系与运算.属基础题. 【解析】显然A ，B,C 错，D 正确；
3．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4}
C ．{0,2,4}
D ．{0,2,3,4}
【答案】C
【解析】先根据全集U 求出集合A 的补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B U ð。

【详解】
由题得，{}0,4,U A =Q ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C. 【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题。

4．已知集合{1,2,3,4,5}A ={}
,(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6
C ．8
D ．10
【答案】D
【解析】列举法得出集合
()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，共含10个元素。

故答案选D
5．已知集合{}|1,A x x x R =≠-∈，{}|2,B x x x R =≠∈，则A B U 写成区间形式为（ ）
A ．()(),12,-∞-+∞U
B ．()
1,2-
C ．(),-∞+∞
D ．()()(),11,22,-∞-⋃-⋃+∞
【答案】C
【解析】解出(,1)(1,)A =-∞-⋃-+∞，(,2)(2,)B =-∞⋃+∞，即可求出A B U . 【详解】
由题：将集合写成区间形式：(,1)(1,)A =-∞-⋃-+∞，(,2)(2,)B =-∞⋃+∞， 所以,()A B -∞=+∞U . 故选：C 【点睛】
此题考查集合的基本运算，求两个数集的并集，可以考虑在数轴上表示集合的关系，数形结合便于解题.
6．已知{}1,2,3A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ） A ．31 B ．32
C ．63
D ．64
【答案】A
【解析】由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集. 【详解】
由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6，
又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4， 当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =， 其子集个数为5232=个，所以真子集31个. 故选：A
【点睛】
此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.
7．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）． A ．()3f x x =- B ．()2
3f x x x =-
C ．()1
1
f x x =-+ D ．()f x x =-
【答案】C
【解析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用
1
y x
=-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.
【详解】
A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；
B ．()2
3f x x x =-在3,
2⎛⎫-∞ ⎪
⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数，不符合； C ．()1
1f x x =-+可认为是1y x
=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合；
D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合； 故选：C. 【点睛】
（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k
y k x
=≠的单调性直接通过k 的正负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；
（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断. 8．f (x )是定义在[-6,6]上的偶函数，且f (3)>f (1),则下列各式一定成立的是（ ） A ．f (0)<f (6) B ．f (3)>f (2)
C ．f (-1)<f (3)
D ．f (2)>f (0)
【答案】C
【解析】根据偶函数的性质可判断。

【详解】
解：()f x Q 是偶函数，
()()11f f ∴=-，又()()31f f >， 故()()31f f >-
∴ “一定成立的”的选项为C ．
故选：C ． 【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质，关键在于准确理解题意，易错点在于题目中没有给出函数的单调性质，由()()31f f >错误的认为()f x 在(1,3)上单调递增，从而认为B 正确，属于中档题．
9．设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x
⎧+≤⎪
⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )
A ．
15
B ．3
C ．
23
D ．
139
【答案】D 【解析】【详解】
()2
31,33f >∴=
Q , 22213
((3))()()1339
f f f ==+=,故选D.
10．若()()2
123f x m x mx =-++为偶函数，则()f x 在区间()3,1-上（ ）
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先增后减
D ．先减后增
【答案】C
【解析】根据()f x 为偶函数可得，0m =，得出二次函数解析式，便可得到单调性. 【详解】
由题()()2
123f x m x mx =-++为偶函数，()()()()2
123f x m x m x -=--+-+，
必有()()f x f x =-对一切实数恒成立，
即()()()()2
2123123m x mx m x m x -++=--+-+恒成立，
解得：0m =，所以()2
3f x x =-+，在(,0)x ∈-∞单调递增，在(0,)x ∈+∞单调递
减，
所以()f x 在区间()3,1-上先增后减.
故选：C 【点睛】
此题考查函数奇偶性与单调性的判断，根据奇偶性求参数，利用对称轴或解析式关系求解，对单调性的判断一定注意单调性是局部概念. 11．若函数()2
2f x x ax =-+与()1
a
g x x =
+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1-U B ．()(]1,00,1-U
C ．()0,1
D ．(]0,1
【答案】D 【解析】【详解】 对于
，开口向下，对称轴为
若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：
；
对于，其相当于将的图象向左平移个
单位，得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，
而在单调递减，故的取值范
围是
12．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-
C ．1y x
=
D ．y x x =
【答案】D
【解析】根据题意判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可． 【详解】
解：选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意； 选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意； 选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的性质，涉及函数的奇偶性与单调性，考查学生对熟知函数的掌握情况，属于简单题目.
二、填空题 13．函数1
()12f x x x
=
+-的定义域为________. 【答案】[1,2)(2,)-+∞U
【解析】根据偶次根式的被开方非负和分母不为0列式可解得. 【详解】
要使函数有意义,只需10
20x x +≥⎧⎨
-≠⎩
,解得1x ≥-且2x ≠.
故函数()f x 的定义域为[1,2)(2,)-+∞U . 故答案为: [1,2)(2,)-+∞U 【点睛】
本题考查了含偶次根式和分母的函数定义域的求法,属于基础题.
14．函数1
1
x y x +=-在区间()[),02,5-∞⋃上的值域为_____ 【答案】()3
1,1(,3]2
-⋃
【解析】函数可变形为：1122
1111
x x y x x x +-+===+---，易得在()[),02,5-∞⋃的单调性，即可求出值域. 【详解】
由题：1122
1111
x x y x x x +-+=
==+---，函数在(),1-∞单调递减，在()1,+?单调递减，
可以看成函数2
y x
=向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在()
,0-?递减，在[
)2,5递减，0,1x y ==-，32,3,5,2
x y x y ====， 所以函数的值域为()31,1(,3]2
-⋃. 故答案为：()31,1(,3]2
-⋃ 【点睛】
此题考查函数单调性与值域问题，此类问题，一方面可以通过已学函数平移变换得到，另一方面直接由单调性求值域需注意考虑函数渐近线问题.
15．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 所有取值的集合
为_____
【答案】{}1,0,1-
【解析】分类讨论：当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，分别讨论B 中元素为1和-1两种情况依次求解. 【详解】 由题：B A ⊆
当0a =时，B =∅符合题意； 当0a ≠时，1B A a ⎧⎫
=-
⊆⎨⎬⎩⎭
，11a -=或11a -=-
所以，1a =-或1，所以实数a 所有取值的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1- 【点睛】
此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题.
16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，()20f -=，则不等式()0xf x <的解集为_______________. 【答案】()()2,02,-+∞U
【解析】根据函数的奇偶性，得出()f x 在(0,)+∞上的单调性以及()20f =，结合函
数()f x 的单调性，将不等式()0xf x <，转化为0
()(2)x f x f >⎧⎨<⎩
或0()(2)x f x f <⎧⎨>-⎩，
化简即可求解. 【详解】
因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]
,0-∞上是增函数 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，因为()20f -=，所以()20f =
所以不等式()0xf x <等价为0
()(2)
x f x f >⎧⎨<⎩ 或0()(2)x f x f <⎧⎨
>-⎩ 解得20x -<< 或2x > 故答案为:()()2,02,-+∞U . 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性以及抽象不等式的解法，属于中等题.
三、解答题
17．写出集合P 的所有子集，其中(){},|5,,P x y x y x N
y N +
+=
+=∈∈.
【答案】{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}
，
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，
{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
【解析】依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集. 【详解】 由题(){},|5,,P x y x y x N
y N +
+=
+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，
所有子集分为： 没有元素：∅；
一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)； 两个元素：
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}
； 三个元素：
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；
四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1). 所以，所有子集为：
{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}
，
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，
{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
【点睛】
此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.
18．已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】(,3]m ∈-∞
【解析】分类讨论：当B =∅时，121m m +>-；当B ≠∅时，结合数轴列不等关系
12,215m m +≥--≤即可求解.
【详解】 由题：B A ⊆
当121m m +>-，即2m <时，B =∅，符合题意；
当121m m +≤-，即2m ≥时，B ≠∅，B A ⊆，{
12
215m m +≥--≤，得23m ≤≤； 综上：(,3]m ∈-∞ 【点睛】
此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，易错点在于弄错不等关系，结合数轴依次分类讨论既可避免此类问题.
19．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()
1f x x x =+，当0x >时，求()f x 的解析式.
【答案】当0x >时，()2
f x x x =-
【解析】由于()f x 是偶函数，()()f x f x =-，即可求得解析式. 【详解】
由题：()f x 是偶函数，()()f x f x =-， 当0x <时，()()
1f x x x =+，
当0x >时，0x -<，所以()()()()2
1f x f x x x x x =-=--+=-
所以当0x >时，()2
f x x x =-.
【点睛】
此题考查通过函数的奇偶性求函数的解析式，关键在于弄清已知解析式的适用范围，将要求的范围转化到已知范围即可求解
20．求函数的最小值和最大值。

【答案】最小值是，最大值
【解析】换元得到
进而得到结果. 【详解】 设
原式等价于
故得到
【点睛】
这个题目考查了求函数值域的基本方法:(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域;(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域;(3)换元法：形如
(a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数常用换元法求值域，形如
的函数用三角函数代换求值域;(4)分离常数法：形如的函数可用此法求值域;(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域;(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

21．已知集合{}2|40A x x x =+=，{}
22|2(1)10B x x a x a =+++-=.
（1）若A B ⊆，求a 的值；
（2）若B A ⊆，求a 的值.
【答案】（1）1a =；（2）1a ≤-或1a =.
【解析】（1）由题{4,0}A =-，集合B 最多两个元素，A B ⊆，则A B =，所以集合B 中的方程两根为-4,0，即可求解；
（2）分类讨论：B 为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】
（1）由题集合B 最多两个元素，{4,0}A =-，A B ⊆，则A B =，所以集合B 中的方
程两根为-4,0，224(1)4(1)0a a =+-->V ，即1a >-，由根与系数的关系，{201
42(1)a a -=-+=-，解得：1a =； （2）由题B A ⊆，B 中最多两个元素，对于方程222(1)10x a x a +++-=
当集合B =∅时：
224(1)4(1)0a a =+--<V ，即1a <-时，方程无解，B =∅，符合题意； 当集合B 中只有一个元素时：
224(1)4(1)0a a =+--=V ，即1a =-时，方程的解为0x =，{0}B =，符合题意； 当B 中有两个元素时：
224(1)4(1)0a a =+-->V ，即1a >-时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素，
此时则A B =，所以集合B 中的方程两根为124,0x x =-=，由根与系数的关系，{201
42(1)a a -=-+=-，解得：1a =； 综上所述：1a ≤-或1a =.
【点睛】
此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合B 是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.。