黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案2016年《导数及其应用》专题(教师版)
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的概念及运算教学案理解析版
[考纲传真] １．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.２．能根据导数定义求函数y＝C （C为常数），y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝错误!，y＝错误!的导数.３．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数．１．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．相应地，切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．２．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C（C为常数）f′（x）＝0f（x）＝xα（α是实数）f′（x）＝αxα—１y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝—sin xf（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝a x（a＞0，a≠１）f′（x）＝a x ln_af（x）＝ln x f′（x）＝错误!f（x）＝log a xf′（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）（１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（２）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（３）错误!′＝错误!（g（x）≠0）．４．复合函数的导数复合函数y＝f（φ（x））的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x）的导数间的关系为y x′＝[f（φ（x））]′＝f′（u）·φ′（x）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率．（）（２）f′（x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（）（３）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（４）函数f（x）＝sin（—x）的导数是f′（x）＝cos x．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×２．已知f（x）＝x ln x，若f′（x0）＝２，则x0等于（）Ａ．e２Ｂ．eＣ．错误!Ｄ．ln ２B[∵f′（x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋１，由f′（x0）＝ln x0＋１＝２得ln x0＝１，∴x0＝e.]３．有一机器人的运动方程为s（t）＝t２＋错误!（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝２时的瞬时速度为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝２t—错误!，故当t＝２时，机器人的瞬时速度为v（２）＝２×２—错误!＝错误!.]４．曲线y＝x２＋错误!在点（１,２）处的切线方程为________．x—y＋１＝0 [∵y′＝２x—错误!，∴y′|x＝１＝１，即曲线在点（１,２）处的切线的斜率k＝１，∴切线方程为y—２＝x—１，即x—y＋１＝0．]５．设f（x）＝ln（３—２x）＋cos ２x，则f′（0）＝________.—错误![∵f′（x）＝错误!—２sin ２x，∴f′（0）＝—错误!.]导数的计算１．已知f（x）＝x２＋２xf′（１），则f′（0）＝________.—４[∵f′（x）＝２x＋２f′（１），∴f′（１）＝２＋２f′（１），∴f′（１）＝—２．∴f′（0）＝２f′（１）＝２×（—２）＝—４．]２．求下列函数的导数：（１）y＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）；（２）y＝sin 错误!错误!；（３）y＝错误!.[解] （１）因为y＝（x２＋３x＋２）（x＋３）＝x３＋6x２＋１１x＋6，所以y′＝３x２＋１２x＋１１．（２）因为y＝sin 错误!错误!＝—错误!sin x，所以y′＝错误!′＝—错误!（sin x）′＝—错误!cos x.（３）y′＝错误!′＝错误!＝—错误!.[规律方法] 导数计算的技巧１求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.２复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.►考法１求切线方程【例１】（２0１8·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝xD[因为函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以（—x）３＋（a—１）（—x）２＋a（—x）＝—[x３＋（a—１）x２＋ax]，所以２（a—１）x２＝0，因为x∈R，所以a＝１，所以f（x）＝x３＋x，所以f′（x）＝３x２＋１，所以f′（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．]►考法２求切点坐标【例２】已知曲线y＝错误!—３ln x的一条切线的斜率为—错误!，则切点的横坐标为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．错误!B[因为y＝错误!—３ln x，所以y′＝错误!—错误!.再由导数的几何意义，令错误!—错误!＝—错误!，解得x＝２或x＝—３（舍去）．故选Ｂ．]►考法３切线的条数问题【例３】过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有（）Ａ．３条Ｂ．２条Ｃ．１条Ｄ．0条A[由题意得，f′（x）＝３x２—３，设切点为（x0，x错误!—３x0），那么切线的斜率为k＝３x错误!—３，利用点斜式方程可知切线方程为y—（x错误!—３x0）＝（３x错误!—３）（x—x0），将点A（２,１）代入可得关于x0的一元三次方程２x错误!—6x错误!＋7＝0，令y＝２x错误!—6x错误!＋7，则y′＝6x错误!—１２x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝２．当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝２时，y＝—１＜0．结合函数y＝２x错误!—6x错误!＋7的单调性可得方程２x错误!—6x错误!＋7＝0有３个解，故过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有３条，故选Ａ．]►考法４求参数的值（范围）【例４】（２0１6·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋２的切线，也是曲线y＝ln（x＋１）的切线，则b＝________.１—ln ２[设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P１（x１，ln x１＋２），P２（x２，ln（x２＋１））．∵y′１＝错误!，y′２＝错误!，∴错误!＝错误!，∴x１＝x２＋１．此时切点P１（x２＋１，ln（x２＋１）＋２）．故切线斜率k＝错误!＝２．由错误!＝２，得切点P１的坐标为错误!，∴切线方程为y—２＋ln ２＝２错误!.令x＝0，得y＝１—ln ２，即b＝１—ln ２．][规律方法] １求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f x在点P x0，f x0处的切线方程是y—f x0＝f′x0x—x0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.２处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：１切点处的导数是切线的斜率；２切点在切线上；３切点在曲线上.切线方程为（）Ａ．y＝x—１Ｂ．y＝２x—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝x（２）若曲线y＝ln x＋ax２（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）（３）（２0１9·青岛模拟）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则曲线y＝f （x）在点P处的切线方程是________．（１）C（２）D（３）x—y—２＝0 [（１）∵f（x）＝ln（２x—１），∴f′（x）＝错误!.∴f′（１）＝２，又∵f（１）＝0，∴切线方程是：y＝２x—２，故选Ｃ．（２）由题意得y′＝错误!＋２ax（x＞0）．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥错误!m ax.因为x＞0，所以—错误!＜0，即a≥0，故选Ｄ．（３）根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（２）＝１，又过点P（２,0），所以切线方程为x—y—２＝0．]１．（２0１6·全国卷Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（—x）＋３x，则曲线y＝f （x）在点（１，—３）处的切线方程是________．y＝—２x—１[因为f（x）为偶函数，所以当x>0时，f（x）＝f（—x）＝ln x—３x，所以f′（x）＝错误!—３，则f′（１）＝—２．所以y＝f（x）在点（１，—３）处的切线方程为y＋３＝—２（x—１），即y＝—２x—１．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋１）e x在点（0,１）处的切线的斜率为—２，则a＝________.—３[y′＝（ax＋１＋a）e x，由曲线在点（0,１）处的切线的斜率为—２，得y′|x＝0＝（ax＋１＋a）e x|x＝0＝１＋a＝—２，所以a＝—３．]。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《导数与公切线》专题
《导数与公切线》专题2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ． 1D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x， 由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值． 易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况．规范解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[4分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14， 故直线l 的方程为y ＝－14x .[7分] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0， 依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[10分] 综上，a ＝1或a ＝164.[12分] 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)． ∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.(2016·课标全国Ⅱ)16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．16．1ln2-．。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《导数与切线》专题
《导数与切线》专题2016年（）月（）日班级姓名【类型一】已知切点求切线的方程（斜率）例已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.小结求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.训练已知曲线y＝2x2－7，求：曲线过点P(3,9)的切线方程.训练1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.22.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x －1 C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋23. (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．4.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值. 已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－126．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．【类型二】已知切点求切线的方程（斜率）例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?1.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－12.已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.3.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ． x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B 训练1.(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.2.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．43.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案：《2.7函数的图象》专题2
《2.7函数的图象》专题2016年（ )月（ ）日 班级 姓名1．描点法作图方法步骤:（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）;(4）描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 （1）平移变换（2）对称变换①y ＝f （x )错误!y ＝－f (x ）； ②y ＝f （x ）错误!y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )错误!y ＝－f (－x ）;④y ＝a x (a 〉0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x （a >0且a ≠1）． ⑤y ＝f （x )错误!y ＝|f （x )|。
⑥y ＝f (x ）错误!y ＝f （｜x |）．（3）伸缩变换①y＝f(x）错误!y＝f（ax）．②y＝f（x)错误!y＝af(x）．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）当x∈（0,＋∞)时，函数y＝|f（x）｜与y＝f(｜x|)的图象相同．（×)(2）函数y＝af（x)与y＝f(ax）(a>0且a≠1)的图象相同．( ×)（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x)的图象关于原点对称．( ×) (4）若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f(1－x）,则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称．( √)（5）将函数y＝f(－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（×）1．函数f(x）＝2x－4sin x，x∈错误!的图象大致是( ）答案D解析因为函数f（x）是奇函数，所以排除A、B.f′（x）＝2－4cos x错误!，令f′(x）＝2－4cos x＝0错误!，得x＝±错误!，所以选D。
2．函数f（x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x 关于y轴对称，则f(x）的解析式为( ）A．f（x）＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f（x）＝e－x＋1D．f（x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x图象关于y轴对称的函数为y＝e－x。
2017年高考数学(理)一轮复习 专题13 导数的概念及其运算(教学案)
专题13 导数的概念及其运算（教学案） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．函数f (x )在点x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝l ，通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)． 2．函数f (x )的导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)．3．基本初等函数的导数公式4(1)′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx gx －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．高频考点一 导数的运算 例1、求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x－2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1； (5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′ ＝3x e xln3＋3x e x－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2. (5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【感悟提升】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．【变式探究】(1)f (x )＝x (2016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2017，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B(2)B高频考点二 导数的几何意义例2、(1)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1， 故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.【变式探究】(1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2))已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B【举一反三】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.高频考点三、导数与函数图象的关系例3、如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【变式探究】(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x 得f ′(x )＝3－2sin2x ＋2cos2x ，则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)， ∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1. ∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)，∴2x 30－3x 20＋1＝0，∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0， ∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
2016届高三数学第一轮复习 导数(1)教案 文 (2)
导数（1）一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、 题型探究：【探究一】． 导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案
《2.5指数与指数函数》专题2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象一定过定点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(1,0)D ．(0,0)2．函数f (x )＝a x －1a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是____________．题型一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)()21103227()0.0022).8--－－＋－＋.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝__________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2题型三 指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535， c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝1＋3x ＋a ·9x ，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0(2)由题意得1＋3x ＋a ·9x ≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x 2＋⎝⎛⎭⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞，所以⎝⎛⎭⎫132＋13＋a ＝0，a ＝－49.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝22112－＋＋x x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为_______________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为( )A.72B.74C.78D.7163．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，126．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0， 则函数g (x )的最小值是________．9．已知函数f (x )＝24313－＋ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为( )13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案
《2.6对数与对数函数》专题2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名1．对数的概念如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质4.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( )1．(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是()4．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫34，1 5．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( ) A.10B ．10C ．20D ．100 (2)lg 5＋lg 20的值是________．思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________. (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12)C ．(12，1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ． c >a >b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a (3)已知a ＝52log 3.4，b ＝54log 3.6，c ＝(15)3log 0.3，则( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0；当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1． (log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12C ．2D ．4 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x3．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0, 1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－456．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝____________________________. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________________________________．9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r ＞q 12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．。
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《2.8函数与方程》专题2016年（）月（）日班级姓名1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()1．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋13．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．题型一 函数零点的确定命题点1 函数零点所在的区间例1 已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4 C ．3D ．2命题点3 求函数的零点例3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3题型二 函数零点的应用例4 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(0,3) C ． (0,2) D ．(0,1)题型三二次函数的零点问题例5已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是()A．(－3，＋∞) B．[－3,0]C．(0，＋∞) D．[0,3]3．忽视定义域导致零点个数错误典例定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为_______________________________________．易错分析得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况．x.作出函数y＝解析当x>0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得2 016x＝－log2 016x＝log12016x的图象，可知它们只有一个交点，所以当x>0时函数只有一个零2 016x与函数y＝log12016点．由于函数为奇函数，所以当x<0时，也有一个零点．又当x＝0时y＝0，所以共有三个零点．答案 3温馨提醒(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．[方法与技巧]1．函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理；(2)数形结合：函数y ＝f (x )－g (x )的零点，就是函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的横坐标． (3)解方程．2．二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组)． 3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. [失误与防范]1．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)2．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <a <b3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x ≤1，1＋log 2x ， x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．04．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)D ．[－1,0)6．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)12．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.13．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥0，kx ＋1， x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．14．(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 15．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________．。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《三角函数求定义域、值域》专题
《三角函数求定义域、值域》专题2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1、函数的定义域是（ ）A 、.B 、.C 、D 、.解答：由题意可得sinx ﹣≥0⇒sinx≥ 又x ∈（0，2π）∴函数的定义域是． 故选B ．2、函数的定义域为（ ）A 、B 、C 、D 、解答：由题意得 tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴， 故选D ．3、函数f （x ）的定义域为[﹣，]，则f （sinx ）的定义域为（ ）A 、[﹣，]B 、[，] C 、[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）D 、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）分析：由题意知，求出x 的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f （x ）的定义域为为[﹣，]， ∴，解答（k ∈Z ）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）故选D ．4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12]答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．5、函数值域是（ ）A、B、C、D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B6、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、B、C、D、解答：∵函数，∴当sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．7、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．8、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2则y∈[﹣，2] 故选A。
2017届高考数学(理)一轮复习学案 17导数的应用
导数的应用考纲要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数来研究函数单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 4．了解定积分的概念，能用微积分基本定理求简单的定积分． 基础知识梳理1.函数的单调性与导数：在内可导函数，在任意区间内都不恒等于0．为； 为.2.函数的极值与导数：（1）函数的极小值：若函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值，且，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．（２）函数的极大值：若函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值，且，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 3.函数在上必有最值的条件：如果在上函数的图象，那么它必有最大值和最小值. 4.函数的最值与导数：求函数在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求函数在内的；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中的一个是最大值，(,)a b ()f x '()f x (,)a b ()'()0f x f x ≥⇔()'()0f x f x ≤⇔()y f x =x a =()f a x a ='()0f a =x a =a ()f a ()y f x =x b =()f b x b ='()0f b =x a =b ()f b ()f x [],a b [],a b ()y f x =()y f x =[],a b ()y f x =(,)a b ()y f x =()f a ()f b的一个是最小值． 5.微积分基本定理:如果,且在上可积,则=.其中叫做的一个函数. 预习自测1.函数的递减区间是（ ） A ．B ．C ．D ．2.函数的极值点的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是． 5.已知函数（为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对6.曲线与坐标轴所围成面积是( ) A.4 B.2 C.D.3 7．设函数，若对于任意，都有成立，则实数的值为．8.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则．()'()F x f x =()f x [],a b ()baf x Dx ⎰()F x ()f x 2()2ln f x x x =-(]0,1[)1,+∞()(),1,0,1-∞-[)(]1,0,0,1-32()33f x x x x =-+32()35f x x ax x =-+-[]1,2a (),5-∞(],5-∞37,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(],3-∞32()33[(2)1]f x x ax a x =++++a 32()26f x x x m =-+m []2,2-[]2,2-37-29-5-cos y x =3(0)2x π≤≤523()31f x ax x =-+()x R ∈[]1,1x ∈-()0f x ≥a 3()128f x x x =-+[]3,3-M m M m -=课堂探究案典型例题考点1 函数的单调性与导数【典例1】（2013广东（理））设函数(其中).当时,求函数的单调区间．【变式1】（2013大纲全国卷，理9）在是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【变式2】（2013天津（理）节选）已知函数，求函数f (x )的单调区间．考点2 函数的极值与导数 【典例2】（2013福建（理））已知函数，（1）当时，求曲线在点A 处的切线方程，（2）求函数的极值．【变式3】已知函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是．考点3函数的最值与导数【典例3】已知函数，记的导数为．(1)若曲线在点处的切线斜率为3，且时，有极值，求函数的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数在上的最大值和最小值．()()21x f x x e kx =--k ∈R 1k =()f x ()21f x x ax x =++1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a []1,0-[]1,-+∞[]0,3[]3,+∞2l ()n f x x x =2a =()y f x =()()1,1f ()f x 32()3(0)f x x a x a a =-+>a 32()5f x x ax bx =+++()f x '()f x ()f x ()1,(1)f 23x =()y f x =()f x ()f x []4,1-【变式1】已知，，若，求在上的最大值和最小值．【变式2】求函数在区间上的最大值和最小值．考点4 不等式恒成立问题与导数【典例4】设函数在及时取得极值． (1)求、的值；(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．【变式3】对总有成立，则a ＝ ． 考点5 利用导数证明不等式问题 【典例5】已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：时，．考点6 定积分的计算 【典例6】计算下列定积分： (1)=_______ （2）=_______(3)=_______（4）=_______ 【变式4】（1）．_______．（2）．，则．a R ∈()2(4)()f x x x a =--'(1)0f =()f x []2,2-()21ln(1)4f x x x =+-[]0,232()2338f x x ax bx c =+++1x =2x =a b []0,3x ∈2()f x c <c ()331f x ax x =-+[]1,1x ∈-()0f x ≥()21ln 2f x x x =+()f x []1,e 1x >()323f x x<41⎰220(1)x dx +⎰22cos xdx ππ-⎰211()x dx x +⎰1x e dx =⎰1(2)2x k dx +=⎰k =（3）．由定积分的几何意义，_______________．当堂检测1.若函数在区间内有极小值，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ． 2.若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.函数，的最大值和最小值分别为（ ） A ．13，-4 B ．13，4 C ．-13，-4D ．-13，44.若_________.5.已知函数在上有最小值.（1）求实数的值；（2）求在上的最大值．课后拓展案 A 组全员必做题1．函数的极值点是( )A ．B ．C ．或或D ．2．若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则（ ） A ．或2B ．或C ．或1D ．或14．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．=⎰2()23f x x bx a =-+(0,1)b 1b <1b >01b <<12b <21()ln(2)2f x x b x =-++(1,)-+∞b [)1,-+∞()1,-+∞(],1-∞-(,1)-∞-4225y x x =-+[]2,2x ∈-209,Tx dx T =⎰则常数的值为32()26f x x x a =-+[2,2]-37-a ()f x [2,2]-()()3212f x x =-+1x =1x =-1x =1-00x =3()y a x x =-(a 0a >10a -<<1a >01a <<33y x x c =-+x c =2-9-31-3-()ln f x a x x =+[]2,3a5．已知函数在时有极值，则 ．6.设函数,求函数的单调区间．7. 若则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 直线过抛物线：的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（ ） A ．B ．2C ．D ．9．若函数（）在的值为． 10．已知（为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是．11．已知函数．.(1)求函数在上的最大值和最小值； (2)求证：当时，函数的图象在的下方．B 组提高选做题1. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 设函数，则（ ） A ．为的极大值点 B ．为的极小值点 C ．为的极大值点 D ．为的极小值点()3223f x x mx nx m =+++1x =-0m n +=32()f x x x x =-+()f x 22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰123,,S S S 123S S S <<213S S S <<231S S S <<321S S S <<l C 24x y =y l C 438332()x f x x a =+0a >[)1,+∞a 32()26f x x x m =-+m []2,2-[]2,2-2()ln f x x x =+()f x []1,e ()1,x ∈+∞()f x ()322132g x x x =+()(ln )f x x x ax =-a (,0)-∞1(0,)2(0,1)(0,)+∞()2ln f x x x=+12x =()f x 12x =()f x 2x =()f x 2x =()f x3.函数的单调递减区间为（ ） A ．B ．C ．D ．4.设函数 ( 2.71828是自然对数的底数,).求的单调区间、最大值．5.等于（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，阴影部分的面积是( )A ．． C ．D ．7.已知函数,若恒成立,试求实数的取值范围． 8.已知函数(1)求的单调性；(2)若时，，求的取值范围．参考答案预习自测 1.A 2.A 3.B4. 5.A 6.D 7.C 8.32 典型例题21ln 2y x x =-(]1,1-(]0,1[)1,+∞()0,+∞()2xxf x c e =+e =c R ∈()f x 1(2)0xe x dx +⎰11e -e 1e +9-32335322(),[1,)x x af x x x++=∈+∞()0f x >a ()32=331f x x ax x +++a =()f x [)2,+x ∈∞()0f x ≥a (,1)(2,)-∞-+∞【典例1】增区间为和；减区间为. 【变式1】D【变式2】增区间为；减区间为.【典例2】（1）（2）时函数无极值；当时，函数在处取得，无极大值.【变式3】 【典例3】(1)；（2）最大值为13，最小值为.【变式1】最大值为；最小值为.【变式2】最大值为；最小值为0. 【典例4】（1）；（2）. 【变式3】4【典例5】（1）；（2）略.【典例6】（1）2；（2）；（3）2；（4）. 【变式4】（1）；（2）1；（3）. 当堂检测 1.C 2. C 3.B 4.35.(1)3；(2)3.A 组全员必做题(,0)-∞(ln 2,)+∞(0,ln 2)12(,)e -+∞12(0,)e -0x y z +-=0a ≤()f x 0a >()f x x a =()ln f a a a a =-⎫+∞⎪⎪⎝⎭32()245f x x x x =+-+11-502792-1ln 24-3,4a b =-=(,1)(9,)-∞-+∞ 21[,1]22e +1433ln 22+1e -4π1.D2.A3.A4.5.116.在上单调递增.7.B8.C10.11.(1)最大值为；最小值为1.（2）略.B 组提高选做题 1.B2.D3.B4.单调增区间为；减区间为.最大值为.5.C6.C7.8.（1）增区间为和；减区间为.（2）[2,)-+∞()f x R 137-21e+1(,)2-∞1(,)2+∞12c e+(3,)-+∞(1)-∞1,)+∞11)5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《函数零点》专题
《函数零点》专题
2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名 不求难题都做，先求中低档题不错。
函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴 ⇔方程f (x )＝0 ． 高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题； ③结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。
【A 组】
1.方程||0a x x -
=（0a >）的零点有 个.
2.求函数1()3f x x x =+
-的零点有 个.
3.方程22
3x x -+=的实数解的个数为 .
4.设函数2(0)()2
(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则()()g x f x x =-的零点有 个.
5.(2009山东)若函数f(x)=a x
-x-a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
【B 组】
32f x －
－34
xln－x，x
的奇偶性；
的单调区间；
的方程kf(x)＝1恰有
【解析】
(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．
方法二：
3、【解析】函数f (x )的定义域为f ′(x )＝2＋－11－x ＝1－2x 1－x
(x ＜令f ′(x )＝0, 得x ＝12
. 当x ＜12时， f ′(x )＞0；当12
＜x ＜
⎩⎪⎨
⎪⎧ f ＝2f －＝2f ＝4m f ＝6m
化简，得－56。
高三数学一轮复习导数教案
导数又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y ，消去n m ,得()()92822=++-y x 。
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
考点六：导数实际应用题例8．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
解析：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82x x x +-=+-（单位：m ）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：222223333(1)6(82)(82)42x x x x x +-=+-=+-。
帐篷的体积为（单位：m 3）：233313()(82)(1)1(1612)232V x x x x x x ⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦求导数，得23()(123)2V x x '=-； 令()0V x '=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当1<x<2时，()0V x '>,V(x)为增函数；当2<x<4时，()0V x '<,V(x)为减函数。
所以当x=2时,V(x)最大。
答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。
点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。
例9．已知函数f(x)=x 3+ x 3，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切对求极值，应要求学生画表格来单调性情况，这样可避免把不是极值的函数值也作为极值。
黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案：《2.4二次函数与幂函数》专题2
《2.4二次函数与幂函数》专题2016年（）月（）日班级姓名1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)．②顶点式:f（x）＝a(x－m)2＋n（a≠0）．③零点式：f（x)＝a(x－x1）（x－x2)(a≠0）．（2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a〉0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a〈0）图象定义域（－∞,＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增；在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称2.幂函数（1）定义:形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．（2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在（0,＋∞）上都有定义；②幂函数的图象过定点（1，1);③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞）上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1），且在(0，＋∞）上单调递减．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b]的最值一定是错误!。
( ×）（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( ×）(3）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（√)（4）函数y＝2x12是幂函数．（×）（5）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √）(6)当n<0时,幂函数y＝x n是定义域上的减函数．（×)1．已知a,b,c∈R,函数f(x）＝ax2＋bx＋c。
若f(0)＝f（4）>f（1)，则（）A．a〉0,4a＋b＝0 B．a〈0,4a＋b＝0C．a〉0，2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0答案A解析因为f（0)＝f(4)>f（1)，所以函数图象应开口向上，即a〉0,且其对称轴为x＝2,即－错误!＝2，所以4a＋b＝0，故选A。
2017届高考数学一轮复习备课手册：第19课导数的基本运算
第19课 导数的基本运算一、教学目标1、能根据导数定义，会求简单函数（如：x y xy x y c y ====,1,,2 等）的导数。
2、熟记基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数。
二、知识梳理()()()()''——————————————3,;,x x f x a f x f x e f x ====、若则若则。
()()()()—————————''———————4log ,;ln ,a f x x f x f x x f x ====、若则若则。
()()()()()()'''—————————————————5f x f x g x f x g x g x ⎡⎤±===⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦、；；。
【教学建议】本组题目旨在复习基本初等函数的求导公式和函数的和、差、积、商的求导法则。
需要学生熟练掌握，教学时可以当堂让学生进行默写。
三、诊断练习1、 教学处理：课堂上让4名学生上来板演4条诊断练习，从中发现问题，及时点评。
2、 诊断练习点评：题1、函数f (x )＝(sin x )′＋cos x 的值域是________．答案： [－2，2]【分析与点评】本题考查的是基本函数的导数，求导的法则，简单三角函数的值域，属于小综合题。
但难度不大。
【变式1】已知函数()()'ln ,=f x x x fe =则 。
【变式2】已知函数()()'00ln ,=2,f x x x fx x ==则 。
题2、已知1()cos ,f x x x =则()()2f f ππ'+= ． 题3、若函数()()'2sin ,x f x f x x==则 。
【分析与点评】求两个函数的商的导数的运算法则是什么？题4、曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为 。
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2016年高考数学文试题分类汇编《导数及其应用》专题2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名 一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】32、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时， 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。