北师大版高中数学必修1《一章 集合 2 集合的基本关系》示范课课件_24

根据集合的包含关系求参数范围
[例3] 已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的 实数a的取值范围．
[分析] 采用数轴分析法，将集合A，B表示在数轴上利用数轴分 析a的取值．
[解析] (1)当 a＝0 时①，A＝∅，满足 A⊆B (2)当 a>0 时， A＝{x|1a<x<2a}． 又∵B＝{x|－1<x<1}，且 A⊆B，
[分析] 要确定集合A的子集、真子集，首先必须清楚集合A中的 元素．由于集合A中的元素是方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0的根，所以要 先解该方程．
[解析] 将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)(x＋1)(x＋ 4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4， －1,4}，其子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}， {－1,4}，{－4,1,4}，真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}， {－4,4}，{－1,4}．
怎样判断两集合之间的关系？ (1)用子集、真子集及集合相等的定义判定． (2)可用赋值法． (3)从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，看是否是同一类 元素． (4)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合 的元素，直观的进行判断，但要注意端点值的取舍．
已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{x|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试 判断集合X与Y的关系，并给出说明．
利用集合相等求参数值？ 两集合相等，寻找对应元素相等是解题的关键，分析清楚集合中 元素的特点，利用元素的互异性，建立对等关系，在求解过程中，元 素的互异性始终是解题的“把手”．
已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求 x与y的值．
解析：0∈B，A＝B，∴0∈A. ∵集合A为三元素集，∴x≠xy，∴x≠0. 又∵0∈B，y∈B， ∴y≠0，从而x－y＝0，这时，A＝{x，x2,0}， B＝{0，|x|，x}． ∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，或x＝ －1，经验证x＝－1，y＝－1适合．
＝2k＋14＝2k＋4 1，在 N 中，x＝k＋4 2，显然，由于{k＋2}＝Z，{2k＋
Z，
因此 M N.
[解析] 解法一：特殊值法．令 k＝－2，－1,0,1,2 可得 M＝…，－34，－14，14，34，54，…，N＝ …，0，14，12，34，…，∴M N. 解法二：集合 M 的元素 x＝2k＋14＝2k＋4 1(k∈Z)，集合 N 的元素 x＝4k ＋12＝k＋4 2(k∈Z)，而 2k＋1 为奇数，k＋2 为整数，因此 M N，故选 B. [答案] B
求集合的子集及个数的方法： (1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类， 再依次找出每类中符合要求的集合． (2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即∅和集合 自身． (3)集合的子集、真子集个数的规律为：含有n个元素的集合有2n个 子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①②正确，③④错误．
答案：B
2．集合{0,1}的子集有( )
A．1个
{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}共4个．
答案：D
3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示错误的是( )
A．1∈A
B．{－1}∈A
C．∅⊆A
D．{1，－1}⊆A
集合相等
[例2] 设集合A＝{x－y，x＋y，xy}，B＝{x2＋y2，x2－y2,0}，且A ＝B，求实数x和y的值及此时的集合A、B.
[分析] 根据“A＝B”列出关于x，y的方程组求解． [解析] ∵A＝B，且0∈B，∴0∈A， ①若x－y＝0或x＋y＝0， 则x2－y2＝0，这样集合B中就有了重复的元素， ②若x·y＝0，则x＝0或y＝0， 若x＝0，则A＝{－y，y,0}，B＝{y2，－y2,0}， ∴y2＝y或y2＝－y，∴y＝±1， 即A＝{0,1，－1}，B＝{0,1，－1}， 若y＝0或x＝y＝0，则A有重复元素． 综合以上情形，知当x＝0，y＝±1时，A＝B＝{－1,0,1}．
若A＝{x|x2－2mx＋m2－m＋2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且 A⊆B，求实数m的取值范围．
解析：由于B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A⊆B可分以下三种情况： (1)若A＝∅，此时有Δ＝4m2－4(m2－m＋2)＝4m－8<0，解得m<2. (2)若A B，且A≠∅，则A＝{1}或A＝{2}，此时Δ＝4m－8＝0， ∴m＝2. 代入方程解得A＝{2}，符合题意，∴m＝2. (3)若A＝B，此时A＝{1,2}， 即1、2是x2－2mx＋m2－m＋2＝0的两个根， 由根与系数的关系得2m＝3，且m2－m＋2＝2. 此时m不存在． 综上所述，{m|m≤2}为所求．
解析：∵A＝{－1,1}，∴A、C、D正确，B错误．
答案：B
4．已知集合M＝{－8,1,9}，集合N＝{1，m－1}，若N⊆M，则实
数m＝________.
解析：∵m－1∈N，N⊆M，∴m－1∈M，∴m－1＝
－8或m－1＝9.∴m＝－7或10.
答案：－7或10
子集、真子集的概念问题
[例1] 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并 指出其中哪些是它的真子集．
合的关系，树立数形结合的思 系的符号.
想.
一、Venn图的概念 为了直观地表示集合间的关系，常用 封闭曲线 的内部表示集
合，称为Venn图．
二、子集、真子集、集合相等的概念
三、∅与其他集合的包含关系 空集是 任何集合 的子集，是 任何非空集合 的真子集．
1．下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}；②∅⊆{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}
③若 A＝{2}，则方程 x2＋px＋q＝0 有两相等的实根 2，由韦达定理
p＝－2＋2＝－4， 知q＝2×2＝4，
即 p＝－4，q＝4. ④若 A＝{1,2}则方程 x2＋px＋q＝0 有两个不相等的实根 1,2，由韦 达定理知
p＝－1＋2＝－3， q＝1×2＝2. ∴p＝3 q＝2 综上所述，p，q 满足条件为
集合间关系的判断
[例 4] 设集合 M＝x|x＝2k＋14，k∈Z，N＝x|x＝4k＋12，k∈Z，则 ()
A．M＝N
B．M N
C．M N
D．M∩N＝∅
[分析] 本题可以从两个方面去考虑：一是将两个集合的元素罗列
出来，然后再比较；二是分析两个集合中代表元素的特征．在 M 中，x
p＝－2
p＝－4
p＝－3
p2<4q 或q＝1 ，或q＝4 ，或q＝2 .
[反思] 由集合的关系求参数值(范围)时，首先考虑空集的情况，然后根 据集合中元素的个数，确定子集(或真子集)的个数，常用到韦达定理与 根的判别式来处理．
[提升训练] 已知集合A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|－m＋1≤x≤2m－1}且A⊆B，求实 数m的取值范围． [解析] ∵A⊆B，
∴ 1a2a≥ ≤－ 1，1，
②
∴a≥2.
(3)当 a<0 时，
A＝{x|2a<x<1a}，③
∵A⊆B，
∴2a1a≥ ≤－ 1，1，
∴a≤－2. 综上所述，a 的取值范围是{a|a＝0 或 a≥2 或 a≤－2}．
怎样利用集合间的关系求参数范围？ (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，将各个集合在数轴上表示出来，以形 定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含等号，用实心点 表示，不含等号用空心点表示． (3)此类问题还要注意“空集”的情况．
已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M. 解析：①当M中含有两个元素时，M为{1,2}； ②当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； ③当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； ④当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}． 所以满足条件的集合 M为 {1,2}， {1,2,3}， {1,2,4}， {1,2，5}， {1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
以上表明，对任意的x∈X，都有x∈Y成立． ∴X⊆Y. 又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1<1＋n(n0∈N＋)， ∴1∉X.从而，X Y.
[典例] 已知A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}且A⊆B， 求p，q满足的条件．
[规范解答] ∵B＝{1,2}，又∵A⊆B， ∴ ① 若 A ＝ ∅ ， 则 方 程 x2 ＋ px ＋ q ＝ 0 无 实 根 ， 则 A ＝ p2 － 4q<0 即 p2<4q ②若A＝{1}，则方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实根，由韦达定 理得 ∴p＝－2，q＝1.
§2 集合的基本关系
重点：理解集合之间的包含与 1.理解两集合之间包含与相等的含
相等的含义． 义，能识别给定集合的子集、真
难点：1.能识别给定集合的子 子集．
集、真子集，并能判断给定集 2.在具体情境中了解空集的含义．
合间的关系. 3.能用Venn图准确表示集合．
2.掌握并能使用Venn图表达集 4.能准确使用表示上述概念之间关
如图可知，－ －m2≥＋－1<m2＋m－1，1， 5≤2m－1.
∴m≥3.
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解析：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1，y ＝1,2,5,10,17，….可得X Y.
下面证明：对于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n ＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.
由n∈N＋，知n＋2∈N＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式， ∴x∈Y.