初三数学复习

考点一、一元一次方程的概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程
）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b
是常数项。

例1 解方程
（1）()()() 3175301x x x --+=+； （2）21101
136
x x ++-=.
例2 当m 取什么整数时，关于x 的方程1
514
()2323
mx x -=-的解是正整数？
例3 （08福州）今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了
巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：
条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元； 信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元． 请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元； （2）求出（1）班的学生人数．
【中考演练】
1．若5x －5的值与2x －9的值互为相反数,则x ＝_____．
2． 关于x 的方程0)1(2=--a x 的解是3，则a 的值为________________.
3. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x 元，则得到方程( ) A .15025%x =⨯ B . 25%150x ⋅= C .
%25150=-x
x
D . 15025%x -= 4．解方程
16
1
10312=+-+x x 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ） A. 111014=+-+x x B. 111024=--+x x C. 611024=--+x x D. 611024=+-+x x 5．解下列方程：
()()()(1) 3175301x x x --+=+； （2）
121253
x x x
-+-=-.
6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
考点七、二元一次方程组
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法：（1）代入法（2）加减法
6、三元一次方程：把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组：由三个（或三个以上）一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。

【典例精析】 例1 解下列方程组：
（1）{
4519323a b a b +=--= （2）{
220
7441
x y x y ++=-=-
例2 若方程组{
31x y x y +=-=与方程组{
8
4
mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.
【中考演练】 1． 若⎩⎨
⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩
⎨⎧==______________
b a ． 2. 在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =___；若x 、y 都是正整数，这个方程的解为_____．
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A ．⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+9114y x y x
B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x
C ．⎩⎨⎧=-=6
231
y x x
D ．⎩⎨
⎧=-=-1
y x xy
y x
4. 关于x 、y 的方程组⎩⎨
⎧=-=+m
y x m
y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ）
A ．2
B ．-1
C ．1
D ．-2
5．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
2 3
表格中捐款2若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组
A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩
考点三、一元二次方程的解法
1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2
)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a
x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式2
2
2
)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2
2
2
)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242
2≥--±-=
ac b a
ac b b x 4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点四、一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆
考点五、一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a
b
x x -
=+21，a c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

【典例精析】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .
例2 已知一元二次方程
0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.
例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能
否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________. 2．已知2是关于x 的方程
2
3x 2
－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解
为_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x 2
=7 x ②3
2
y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0
⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥
2
4
x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c
的值为（ ）
A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2 7．解方程
(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；
(3) 4x 2
－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222 x+1=0．
8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个
月的月增长率相同，求月增长率．。