四川省乐山市洪雅中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省乐山市洪雅中学2021年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合= （）A．B．C．D．{—2，0}
参考答案：
C
2. 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．
【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=×1×=，
故八面体体积V=2V1=．
故选B．
3. 已知等比数列的前项积为，若，，则当取得最大值时，的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
C 4. 已知，若（其中为虚数单位），
则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
参考答案：
A
7. 函数的零点个数为
A. B. C. D.
参考答案：
C
由得。

令，在同一坐标系下分别作出函数的图象，由图象可知两个函数的交点个数为2个，所以函数的零点个数为2个，选C.
8. 已知双曲线方程的离心率为，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆
的四个顶点重合，椭圆G的离心率为，一定有（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
9. 命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是
A.若α≠，则tanα≠1
B.若tanα≠1，则α≠
C.若α=，则tanα≠1
D.若tanα≠1，则α=
参考答案：
B
略
10. “”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. B．（不等式选讲选做题）设函数，若函数的定义域为，则实数
的取值范围是 .
参考答案：
12. 对于向量下列给出的条件中，能使成立的序号是。

（写出所有正确答案的序号）
①②③④
参考答案：
①③
略
13. 直线l：3x+4y﹣5=0的单位法向量是．
参考答案：
或
【考点】直线的方向向量．
【分析】根据直线l 的方程写出它的法向量，再求出对应的单位法向量． 【解答】解：因为直线l 的方程为：3x+4y ﹣5=0， 所以法向量为=（3，4），
所以单位法向量为
=
×（3，4）=（，）；
同理，还有﹣=﹣×（3，4）=．
故答案为：
或
．
14. 在极坐标系中，点
到直线
的距离是______________。

参考答案：
略
15. 已知a ＜0，则关于x 的不等式
的解集为 ．
参考答案：
（2a ，﹣a ）∪（﹣a ，﹣4a ） 【考点】R2：绝对值不等式．
【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a ，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集． 【解答】解：因为a ＜0，则关于x 的不等式
，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a ，
根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a 的距离大于0并且小于﹣3a ， 可知不等式的解集为：（2a ，﹣a ）∪（﹣a ，﹣4a ）． 故答案为：（2a ，﹣a ）∪（﹣a ，﹣4a ）．
16. 函数f （x ）=
，直线y=m 与函数f （x ）的图象交于四个不同的点，交点横
坐标从小到大依次记为a ，b ，c ，d ，下列说法正确的是 ．（请写出所有正确答案的序号） ①m∈（3，4）； ②abcd∈[0，e 4）；
③a+b+c+d∈[e 5
+﹣2，e 6
+
﹣2）；
④若关于x 的方程f （x ）+x=t 恰有三个不同实根，则t=3．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．
【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑． 【分析】①画出y=f （x ）与y=m 的图象即可； ②，结合图象把abcd 的不等式用m 表示出来； ③同样用m 把a+b+c+d 表示出来；
④若关于x 的方程f （x ）+x=t 恰有三个不同实根，则y=f （x ）与y=﹣x+t 有三个不同的交点，画图即可．
【解答】解：∵函数f （x ）=，即f （x ）=，
∴函数f （x ）的图象如下：
若直线y=m 与函数f （x ）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①错误； 四个交点横坐标从小到大，依次记为a ，b ，c ，d ，则a ，b 关于x=﹣1对称， ∴a+b=﹣2，ab=m ﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m ，lnd=2+m ， ∴ln（cd ）=4， ∴cd=e 4
，
∴abcd∈[0，e 4），∴②是正确的；
由2﹣lnx=4得x=
，由2﹣lnx=3得x=，
∴c∈（
，]，又∵cd=e 4，
∴a+b+c+d=c+﹣2在（，]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e 5+﹣2，e 6+﹣2）；
∴③是正确的；
④若关于x 的方程f （x ）+x=t 恰有三个不同实根，则y=f （x ）与y=﹣x+t 有三个不同的交点， 而直线y=﹣x+3 与y=﹣x+均与y=f （x ）有三个交点，∴t 不唯一．∴故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③
【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
17. 已知函数f（x）=（a﹣）sinx+（a+1）cosx，将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤|g（）|成立，则a的值
为．
参考答案：
2
【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用辅助角公式化简f （x ）的解析式，再利用y=Asin
（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得a 的值．
【解答】解：已知函数f（x）=（a﹣）sinx+（a+1）cosx=sinx+acosx+cosx﹣sinx =asin（x+）+2cos（x+）=sin（x++α），（cosα=，sinα=），
将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，
得到g（x）=sin（x﹣++α）=sin（x+α）≤|sin（+α）|=，
∴α=，=，求得a=2，
故答案为：2．【点评】本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若过点M（﹣，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得c=，再由弦长，运用直角三角形的面积公式，解方程可得a=3，
b=2，进而得到椭圆方程；
（2）设过点M（﹣，0）的直线l：x=my﹣，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由|PM|=2|MQ|，可得=2，运用向量共线的坐标表示，解方程可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意可得c=，
将x=c代入椭圆方程可得y=±b=±，
即有△OP0Q0的面积为|PQ|?c=，
即=，且a2﹣b2=5，
解得a=3，b=2，
即有椭圆方程为+=1；
（2）设过点M（﹣，0）的直线l：x=my﹣，代入椭圆方程，
可得（4m2+9）y2﹣8my﹣16=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
y1+y2=，y1y2=﹣，
由|PM|=2|MQ|，可得=2，
即有﹣y1=2y2，代入韦达定理可得，
m2=，可得m=±，
故所求直线方程为2x+y+2=0或2x﹣y+2=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用过焦点的弦长公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
19. （14分）已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）曲线在点和处的切线都与y轴垂直，若方程＝0在区间[a,b]上有解，求实数t的取值范围.
参考答案：
解析：（1）由
得x<0或x>2t，
由
得0<x<2t
∴函数的单调递增区间为[－,0]，（2t,+）
单调递减区间为(0,2t)…………………（6分）
（2）由曲线y＝在点和处的
切线都与y轴垂直，知
又a<b ∴a=0 b=2t………………………………（8分）
若方程＝0在区间[a,b]上有解，
即曲线在区间[0,2t]上与x轴相交
又在区间[0,2t]上单调
∴即…………………………………（11分）
又t>0
解得
∴实数t得取值范围是（）………………………（14分）
20. 已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+1．
（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值m（a）；
（Ⅱ）记g（x）=f（x）+|x﹣a|，若g（x）在[1，2]上恰有一个零点，求a的取值范围．参考答案：
【考点】二次函数的性质；函数的零点．
【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）对函数配方得f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，可得对称轴方程为x=a．只需对对称轴a进行分类讨论即可；
（Ⅱ）根据问1，对a分类讨论：当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，得出g（x）＞0，无零点；当a=1时，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一个零点x=1；当1＜a＜2时，去绝对
值，利用对称轴得出分段函数单调性，解出；当a≥2时，去绝对值，讨论函数单调性，判断g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此时没有零点．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣a）2+1﹣a2，对称轴方程为x=a．…（1分）
（1）当1≤a≤2时，m（a）=f（a）=1﹣a2．…（3分）
（2）当a＜1时，f（x）在区间[1，2]上是单调递增，
所以m（a）=f（1）=2﹣2a．…（5分）
综上所述：…（6分）
（Ⅱ）（1）当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2﹣2a＞0，
从而g（x）＞0，此时g（x）在[1，2]上没有零点．…（8分）（2）当a=1时，g（x）=（x﹣1）2+|x﹣1|在[1，2]上恰有一个零点x=1．…（9分）
（3）当1＜a＜2时，…（10分）
由，知g（x）在上单调递减，在单调递增．
又g（1）=1﹣a＜0，所以要使得g（x）在[1，2]上恰有一个零点，
只需g（2）=7﹣5a≥0，解得，所以．…（12分）（4）当a≥2时，g（x）=x2﹣2ax+1+|x﹣a|=x2﹣（2a+1）x+1+a
由知g（x）在[1，2]上单调递减．
又g（1）=1﹣a＜0，所以g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此时没有零点．
综上所述，．…（14分）
【点评】考查了二次函数区间内单调性的分类讨论和绝对值函数的分类讨论，难点较大．
21. △ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c.已知.
(1) 求B；
(2) 若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围。

参考答案：
（1）B=60°；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sin A0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，
故0°<A<90°，0°<C<90°，
由（1）知A+C=180°B＝120°，
所以30°<C<90°，故.
所以，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式，以及利用不等式性质求取值范围，熟练掌握公式是解题的关键，是一道综合题.
22. (本题满分14分)已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．
（1）求抛物线的方程；
（2) 设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求
的面积最大时直线的方程．
参考答案：
（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，3分
因此，解得，从而抛物线的方程为．…………6分（2）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数
设直线的斜率为，则，由题意，…………7分
把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，由韦达定理得，即，同理，
所以
，…………9分
设，把代入抛物线方程得，
由题意，且，从而。