山东省2023届高考数学全真模拟题

数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{
}
{
}
2
|20,|1A x x x B x y x =-=≥-=
- 则A ∪B =（ ）
A. R
B. [)1,+∞
C. (][),11,-∞-⋃+∞
D. (][),10,-∞-⋃+∞ 2.已知复数1z i =+ z 为z 的共轭复数 则1z z
+=（ ）
A.
2
B. 2
C.
102
D.
10
3.公比为2的等比数列{a n }中存在两项a m a n 满足2132m n a a a = 则14
m n
+的最小值为（ ） A.
97
B.
53
C.
43
D.
1310
4.五声音阶是中国古乐的基本音阶 故有成语“五音不全” 中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上 排成一个5个音阶的音序 从所有的这些音序中随机抽出一个音序 则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（ ） A
15
B.
25
C.
35
D.
45
5.若将函数f （x ）＝2sin （2x +φ）（|φ|＜2π）的图象向左平移6
π
个单位后得到的图象关于y 轴对称 则函数f （x ）在[0
2
π
]上的最大值为（ ） A ．2
B 3
C ．1
D 36.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画 体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑 忽略杯壁厚度） 如图2所示.已知球的半径为R 酒杯内壁表面积为
214
3
R π,设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V 下部分（半球）的体积为2V 则
1
2
V V =（ ）
A. 2
B.
32
C. 1
D.
34
7.如图 已知等腰梯形ABCD 中 24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点 P 是线段BC 上的动点 则EP BP ⋅的最小值是（ ）
A. 95
-
B. 0
C. 45
-
D. 1
8.已知函数()()
,01,
ln 2,12,x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩若存在实数1x 2x 满足1202x x ≤<≤ 且
()()12f x f x = 则21x x -的最大值为（ ）
A.
2
e
B.
e 12
- C. 1ln 2- D. 2ln4-
二、多选题：本题共4小题 每小题5分 共20分。

在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求.全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分.
9.设0.11991
,1,cos 2001010
e a b c ==-= 则下列选项正确的是
A. a b >
B. a c >
C. c a >
D. c b >
10.下列说法中 正确的命题有（ ）
A ．已知随机变量ξ服从正态分布()2N 2,,(4)0.84P δξ<= 则(24)0.16P ξ<<=
B ．以模型e kx
y c =去拟合一组数据时 为了求出回归方程 设ln z y = 求得线性回归方程
为ˆ0.34z
x =+ 则,c k 的值分别是4
e 和0.3 C ．在做回归分析时 残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D ．若样本数据
1210
x x x ，，，的方差为2 则数据
121021,21,,21
x x x ---的方差为16
11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是圆222
:O x y a
+=上且不在x 轴上的一点 且12PF F △的面积为2
32
．设C 的离心率为e 12F PF θ∠= 则（ ）
A. 122PF PF a +>
B. 12PF PF ab ⋅=
C. 3,13e ⎫
∈⎪⎪⎣⎭
D. tan 3θ=
12.数学中有各式各样富含诗意的曲线 螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文 它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣 连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案 其具体作法是：在边长为1的正方形
ABCD 中 作它的内接正方形EFGH 且使得12
BEF π
∠=
；再作正方形EFGH 的内接正
方形MNPQ 且使得12
FMN π
∠=
；与之类似 依次进行 就形成了阴影部分的图案 如图
所示．设第n 个正方形的边长为n a （其中第1个正方形ABCD 的边长为1a AB = 第2个正方形EFGH 的边长为2a EF = …） 第n 个直角三角形（阴影部分）的面积为n S （其中第1个直角三角形AEH 的面积为1S 第2个直角三角形EQM 的面积为2S …） 则（ ）
A. 数列{a n }是公比为2
3
的等比数列 B. 1112
S =
C. 数列{S n }是公比为
4
9的等比数列 D. 数列{S n }的前n 项和14
n T < 第II 卷
三、填空题：本大题共4个小题 每小题5分 共20分.
13．二项式5
23x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为________．
14．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 2F 点P 在椭圆C 上且
满足2190PF F ∠=︒ 122PF PF = 则C 的离心率的值为______.
15．一艘轮船按照北偏东40°方向 以18海里/小时的速度直线航行 一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上 经过20分钟的航行 轮船与灯塔的距离为19 则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.
16．已知函数()ln 1f x ax x =-- 3
()27
x g x = 用max{m n}表示m n 中的最大值 设
()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3
x x ϕ≥在(0,)+∞上恒成立 则实数a 的取值范围为_____
四、解答题：本题共6小题 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在∆ABC 中 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c D 为边BC 上一点 若AB
AC =DB DC
.
（1）证明：AD 平分∠BAC ；
（2）若∆ABC 为锐角三角形 AB =7，AC =8 ∠C =π3
求AD 的长.
18．近年来 随着科技不断地进步 科技成果逐年呈递增的态势 尤其与物理专业有关的方面——光学、电学、机械力学、电气等方面递增更快.为了保护知识产权 需要将科技成果转化为科技专利 这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作 而物理方面的研究生更受专利代理公司青睐.因为通过培训物理方面的研究生 他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利 而其他科目的研究生只能写本专业方面的专利.某大型专利代理公司为了更好、更多的招收研究生来书写专利 通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向调查 得到的数据如下表： 喜欢 不喜欢 女研究生 105 75 男研究生
60
90
有关联？
(2)该专利代理公司从这150人的男研究生中按专利代理方向就业意向分层 用分层随机抽样方式抽取5人 再从这5人中随机抽取3人用问卷的形式调查他们毕业后的年薪资意向 这3人中有X 人喜欢从事专利代理工作 求X 的分布列和数学期望. 下面附临界值表及参考公式：
α
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++.
19．如图 四棱锥P ABCD -的底面是矩形 PD ⊥底面ABCD 222PD DC AD ===， M 为BC 的中点.
(1)求证：AM ⊥平面PBD ；
(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值； (3)求D 到平面APM 的距离.
20．已知数列{}n a 是首项为2 公差为4的等差数列 等比数列{}n b 满足11445,2b a b a a ==+. (1)求{}n b 的通项公式； (2)记n
n n
a c
b = 求数列{}n
c 的前n 项和n T .
21．已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>） 四点()12,2M -- ()22,1M ()32,2M
(
)
4
10,1M 中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)过点()2,4--的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P Q 试问直线3M P 3M Q 的斜率之和是否为定值？若是定值 求出此定值；若不是 请说明理由．
22．已知f(x)=e x −ax ． （1）求f(x)的单调区间;
（2）当a =e 时（e 为自然对数的底数） 若对于∀x ∈(0,+∞) 不等式f(x)≥t(x 2−x −xlnx)恒成立 求实数t 的取值范围。