2021届高考数学总复习模块五解析几何限时集训(十六)圆锥曲线中的最值、范围、证明问题文

限时集训〔十六〕圆锥曲线中的最值、范围、证明问题根底过关
1.椭圆M与椭圆N:x2
9+x2
5
=1有一样的焦点,且椭圆M过点(0,2).
(1)求椭圆M的长轴长;
(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4
3
.
2.点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C 于A,B两点.
(1)假设MN⊥AB,求直线l的方程;
(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.
3.椭圆C:x2
4+x2
3
=1的左焦点为F,M(-4,0),过M作斜率不为0的直线l,与椭圆C交于A,B两
点,点B关于x轴的对称点为B'.
(1)求证:直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);
(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.
4.抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.
(1)假设过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;
(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.
能力提升
5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点,如图X16-1所示.
(1)假设直线OA,OB的斜率之积为-1
4
,证明:直线l过定点;
(2)假设线段AB的中点M在曲线C2:y=4-1
4
x2(-2√2<x<2√2)上,求|AB|的最大值.
图X16-1
6.F1,F2分别是椭圆E:x2
x2+x2
x2
=1(a>b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过
椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)点P1,3
2
,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M 点,假设直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.
限时集训(十六)
根底过关
1.解:(1)由题意设椭圆M 的标准方程为x 2x 2+x 2
x 2=1(a>b>0),
那么a 2
-b 2
=9-5=4,得c 2
=4,又椭圆M 过点(0,2),所以b=2,所以a 2
=8,那么椭圆M 的长轴长为2a=4√2.
(2)证明:椭圆M 的方程为
x 28
+x 24=1,由{x =x +2,
x 2
8
+
x 24
=1,
得3x 2
+8x=0,解得x 1=0,x 2=-8
3,
那么A (0,2),B -83
,-23
,
故xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)·-83
,-23
=-4
3.
2.解:(1)据题意k MN =-1,由于MN ⊥AB ,那么k AB =1, 于是直线l 的方程为y-(-2)=1·(x-5), 即直线l 的方程为x-y-7=0.
(2)证明:由于点M 在抛物线上,所以抛物线方程为y 2
=4x.
设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为x=m (y+2)+5(m ≠0),与抛物线的方程联立,整理得
y 2-4my-(8m+20)=0,
那么y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-8m-20,又xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1-2),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2-2), 于是
xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=(x 1x 2)
2
16
-m (y 1+y 2)-4
m-10+1+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4 =
(8x +20)
2
16
-m ·(4m )-4m-10+1-(8m+20)-2×(4m )+4=0,所以∠AMB=90°,即点M 在以AB 为直径
的圆上.
3.解:(1)证明:设直线l 的方程为x=my-4,代入x 24
+x 23=1得(3m 2+4)y 2-24my+36=0,
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么B'(x 2,-y 2),
那么Δ=144m 2
-576>0,即|m|>2,且y 1+y 2=24x 3x 2+4,y 1y 2=36
3x 2+4. 直线AB':y-y 1=x 1+x
2x 1
-x 2
(x-x 1).令y=0,
得x=
x 2x 1+x 1x 2x 1+x 2=2m ·x 1x 2x 1+x 2-4=2m 3
2x
-4=-1,
∴直线AB'过定点F (-1,0).
(2)S=1
2|MF||y 1+y 2|=3
2×|24x |
3x 2+4=
36
3|x |+
4
|x |
,其中|m|>2.
令f (t )=3t+4
x ,t>2,那么f'(t )=3-4
x 2>0(t>2),
∴f (t )在(2,+∞)上单调递增,f (t )∈(8,+∞),∴S ∈0,9
2.
4.解:(1)设切点为Q x 0,
x 024
,由y'=x
2得y'
x =x 0=x 0
2.
∴抛物线E 在点Q 处的切线方程为y-x 024=x 0
2(x-x 0). ∵直线l 过点P ,∴-x 024=x 0
2(a-x 0),解得x 0=2a 或x 0=0.
当a=0时,切线l 的方程为y=0;
当a ≠0时,切线l 的方程为y=0或ax-y-a 2
=0.
(2)易知直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x 2
=4y 得x 2
-4kx-4=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么Δ=16k 2
+16>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. 由得k PA +k PB =x 1x
1-x +x 2
x 2-x
=0, 即
xx 1+1x 1-x +xx 2+1
x 2-x
=0,∴2kx 1x 2+(1-ka )(x 1+x 2)-2a=0, ∴2ak 2+2k+a=0.①
当a=0时,得2k=0,即k=0,满足题意;
当a ≠0时,方程①有解,∴Δ=4-8a 2
≥0,解得-√22≤a ≤√22
,且a ≠0.
综上所述,实数a 的取值范围是-√2
2≤a ≤√2
2. 能力提升
5.解:(1)证明:由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
由{x 2=4x ,x =xx +x
得x 2
-4kx-4m=0, 那么Δ=16(k 2
+m )>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,
∴k OA ·k OB =x 1·x 2x 1·x 2=1
4x 12·1
4x 22
x 1·x 2
=x 1·x 216=-x
4,
又k OA ·k OB =-1
4,∴m=1,
∴直线l 的方程为y=kx+1,直线l 过定点(0,1).
(2)设M (x 0,y 0),那么x 0=
x 1+x 2
2
=2k ,y 0=kx 0+m=2k 2+m.
将M (x 0,y 0)代入C 2:y=4-1
4x 2
(-2√2<x<2√2)得 2k 2
+m=4-1
4×(2k )2,∴m=4-3k 2
.
∵-2√2<x 0<2√2,∴-2√2<2k<2√2,∴-√2<k<√2. ∵Δ=16(k 2+m )=16(k 2+4-3k 2)=32(2-k 2)>0,∴-√2<k<√2,
故k 的取值范围是(-√2,√2).
|AB|=√1+x 2√(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=√1+x 2√16(x 2+x ),将m=4-3k 2代入得|AB|=4√2√(x 2+1)(2−x 2)≤4√2·
(x 2+1)+(2−x 2)
2
=6√2,
当且仅当k 2+1=2-k 2
,即k=±√2
2时取等号,
∴|AB|的最大值为6√2.
6.解:(1)由题意知F 2(1,0),椭圆上一点的坐标为-1,3
2,代入椭圆E 的方程,得1
x 2+9
4x 2=1,又
a 2-
b 2=1,
∴a 2=4,b 2=3,因此椭圆E 的方程为x 24+x 2
3=1.
(2)证明:直线AB 的方程为y=k (x-1),代入椭圆E 的方程,并整理得
(4k 2+3)x 2-8k 2x+4(k 2
-3)=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么有x 1+x 2=8x 2
4x 2+3,x 1x 2=4(x 2-3)
4x 2+3.
把x=4代入直线AB 的方程得M (4,3k ), 从而k 1=
x 1-3
2
x 1-1
,k 2=
x 2-3
2
x 2-1
,k 3=
3x -
32
4−1
=k-1
2. 又因为A ,F 2,B 三点共线,所以
x 1x 1-1=x 2
x 2-1
=k , 所以
k 1+k 2=x 1-32x 1-1+x 2-3
2
x 2-1=x 1x 1-1+x 2x 2-1-321x 1-1+
1
x 2-1
=2k-3
2·x 1+x 2-2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=2k-32·8x 2
4x 2+3
-24(x 2-3)4x 2+3-8x 24x 2
+3
+1=2k-1,又k 3=k-1
2,所以k 1+k 2=2k 3,
即无论k 取何值,总满足k 3是k 1和k 2的等差中项.。