[k12精品]2018北师大版高中数学必修二学案：第二章 2.3 第2课时 圆与圆的位置关系

第2课时圆与圆的位置关系
学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点两圆位置关系的判定
思考圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？
梳理两圆位置关系的判定
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝________________________________.
两圆C1，C2有以下位置关系：
特别提醒：(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切不是外切，应再结合图像判定．
(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定．
(3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度．
类型一两圆的位置关系
命题角度1两圆位置关系的判断
例1已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交
C．外切D．相离
反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练1已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为()
A．1或3 B．4 C．0 D．2
命题角度2已知两圆的位置关系求参数
例2当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)相离．
反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．±3 B ．±5 C ．3或5
D ．±3或±5
类型二 两圆的公共弦问题
例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为____________．
(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝25
4截得的弦长．
类型三圆系方程及应用
例4求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．
跟踪训练4求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()
A．内切B．相交
C．外切D．相离
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()
A．1条B．2条
C．3条D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．3x －y －9＝0
D ．4x －3y ＋7＝0
4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________________________________________________________________________． 5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
答案精析
问题导学 知识点
思考 圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．可根据两圆连心线的长与两圆半径的和差关系判定． 梳理
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 0 2 1
题型探究
例1 B [由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2ay ＝0，
x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．
∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴
a 2＋(－a )2＝22，
又a ＞0，∴a ＝2.
∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)， 半径为r 1＝2.
又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1，
∴|MN|＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，
∴两圆相交．]
跟踪训练1 D
例2解将两圆方程写成标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，
此时a＞2或a＜－5.
跟踪训练2 D
例3解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝52，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝10.
又∵|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，
|r1－r2|＝|52－10|，
∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，
∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝
|1－2×(－5)＋4|
1＋(－2)2＝35，
∴公共弦长为
l ＝2r 21－d 2
＝250－45＝2 5.
方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，
x 2＋y 2
＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2，
∴|AB |＝
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.
即公共弦长为2 5. 跟踪训练3 (1)3
(2)解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22
，
由条件知，r 2－d 2＝254－12＝23
4，
所以弦长为2×
23
2
＝23. 例4 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－41＋λx －4λ
1＋λy －6＝0，
所以圆心坐标为(21＋λ，2λ
1＋λ)．
又圆心在直线x －y －4＝0上， 所以21＋λ－2λ1＋λ
－4＝0，
即λ＝－1
3
.
所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.
方法二 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－4x －6＝0，
x 2＋y 2－4y －6＝0，
得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
x 2＋y 2－4y －6＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－1，y 1＝－1，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝3，
y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1，
即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为
(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4.
所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.
跟踪训练4 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 由题知所求圆与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切， 则
(a －1)2＋b 2＝r ＋1.①
又所求圆过点M 的切线为x ＋3y ＝0， 故b ＋3a －3＝ 3.② |a ＋3b |
2
＝r .③ 解由①②③组成的方程组得
a ＝4，
b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.
当堂训练
1．B 2.B 3.C 4.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 5．1。