高中数学第一章统计案例1.2独立性检验的基本思想及其初步应用a12a高二12数学

解析:由独立性检验的思想方法,知①正确.
12/13/2021
答案:①
探究一
探究二
探究三
பைடு நூலகம்
思维辨析
纠错心得注意独立性检验结果的概率性描述,在独立性检验中,
当随机变量K2的观测值k与临界值k0比较,满足k≥k0时,我们就可以
在犯错误概率不超过P(K2≥k0)的前提下认为两个变量有关系,或者
说有[1-P(K2≥k0)]×100%的把握认为两个变量有关系,即认为两个
2.绘制等高条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数据不相
等,但对应的条形图的高度是相同的,两列的数据对应不同颜色.
3.等高条形图中有两个高度相同的矩形,每一个矩形中都有两
种颜色,观察下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明显 即


和
相差很大
+
+
12/13/2021
,就可以判断两个分类变量之间有关系.
x1
x2
总计
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y1
a
c
a+c
y2
b
d
b+d
总计
a+b
c+d
a+b+c+d
【做一做1】 下面是一个2×2列联表.
x1
x2
合计
y1
33
n
60
y2
m
25
a
合计
83
b
p
则表中p的值等于
.
解析:依题意有33+m=83,33+n=60,所以m=50,n=27,于是
a=50+25=75,b=27+25=52,从而p=60+75=83+52=135.
B.从等高条形图中可以看出两个变量频数的大小
C.从等高条形图中可以粗略地判断两个变量是否有关系
D.以上说法均不正确
答案:C
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3.独立性检验
定
义
公
式
具
体
步
骤
利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为
独立性检验
K2=
n(ad -bc )2
,其中 n=a+b+c+d 为样本容量
变量没有关系的概率为P(K2≥k0).
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究
时,若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系,
则具体计算得出的数据k应满足(
)
A.k≥6.635B.k<6.635
C.k≥7.879 D.k<7.879
1
12
13
5
15
20
解析:根据公式 K
2
2
(-)
=
得,K2 的观测值
(+)(+)(+)(+)
20×(4×12-1×3)2
k=
≈5.934,k>5.024,因此在犯错误的概率不超过
5×15×7×13
0.025
的前提下,认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关
干净水
不干净水
总 计
得病
不得病
总计
5
9
14
50
22
72
55
31
86
此时,K2 的观测值
86×(5×22-50×9)2
k=
≈5.785.
14×72×55×31
因为5.785>5.024,
故在犯错误的概率不超过0.025的前提下,可以认为该种疾病与
饮用不干净水有关系.
两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关系这一相同
从等高条形图可以看出,男性中不喜欢吃甜食的比例明显高于女
性中不喜欢吃甜食的比例,因此可以认为性别与喜欢吃甜食之间有
关系.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.利用等高条形图进行直观判断的步骤
(1)作出2×2列联表;
(2)计算出相应的频率;
(3)作出等高条形图;
(4)最后结合图形进行判断.
20
8
2
10
12
18
30
计
如果说其亲属的饮食习惯与年龄有关系,那么犯错误的概率不超
过(
)
A.0.1 B.0.05 C.0.01
D.0.001
2
30 × (4 × 2-16 × 8)
解析:K2= 20 × 10 × 12 × 18 =10>6.635,所以如果说其亲属的饮食
习惯与年龄有关系,那么犯错误的概率不超过0.01.
能推断“X 与 Y 有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据
支持结论“X 与 Y 有关系”
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名师点拨独立性检验原理与反证法原理比较
(1)反证法原理:在假设H0下,如果推出一个矛盾,就证明了H0不成
立.
(2)独立性检验原理:在假设H0下,如果出现一个与H0相矛盾的小
概率事件,就推断H0不成立,且该推断犯错误的概率不超过小概率.
结论.但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性,(2)中我们只有
97.5%的把握认为该疾病与饮用不干净水有关系.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决独立性检验问题的思路
解决一般的独立性检验问题,首先由题目所给的2×2列联表确定
a,b,c,d,n的值,然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k,最后将
答案:C
12/13/2021
探究一
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探究三
思维辨析
对独立性检验的原理理解不清致误
【典例】 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把
500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记
录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用
2×2列联表计算得K2≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则
答案:135
12/13/2021
2.等高条形图
(1)图形与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互
影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.


和
(2)观察等高条形图,如果发现 + + 相差很大,就判断两个
分类变量之间有关系.
名师点拨在等高条形图中,可以估计满足条件 X=x1 的个体中具
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
12/13/2021
课标阐释
1.了解分类变量及列联
表的概念.
2.了解独立性检验的基
本思想.
3.了解利用等高条形图
进行独立性检验的方
法.
4.掌握利用列联表进行
独立性检验的方法与步
骤.
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思维脉络
独
立
性
分类变量与列联表
检
利用等高条形图进行独立性检验
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2下面是调查某地区男女中学生喜欢理科情况的等高
条形图,由图形可知(
)
A.性别与喜欢理科无关
B.女生中喜欢理科的比例为80%
C.男生比女生喜欢理科的可能性大些
D.男生中不喜欢理科的比例为60%
解析:由题图知女生中喜欢理科的比例为20%,男生中喜欢理科的
比例为60%,故选项B,D不正确.由题图知,男生比女生喜欢理科的可
利用列联表进行独立性检验
验
1.分类变量与列联表
(1)分类变量
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变
量称为分类变量.
(2)列联表
列出两个分类变量的频数表,称为列联表.
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和
{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:
下列结论中,正确结论的序号是
.
①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预
防感冒的作用”;②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的
可能性得感冒;③这种血清预防感冒的有效率为95%;④这种血清预
防感冒的有效率为5%.
错解分析:本题常见的错解是由对独立性检验的原理理解不清,
对检验结果的概率性描述不准确导致的.
B
A
A1
A2
总计
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B1
B2
总计
a
c
a+c
b
d
b+d
a+b
c+d
a+b+c+d
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1关于男女生喜欢武打剧的列联表如下:
喜 欢
不喜欢
总 计
男
女
总计
A
34
C
39
B
100
105
95
D
则表中A=
,B=
C=
,D=
.
解析:A=105-39=66,B=100-39=61,
代入公式得
K2 的观测值
830×(52×218-466×94)2
k=
≈54.21.
146×684×518×312
由54.21>10.828,知在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该
地区这种传染病与饮用不干净水有关系.
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探究一
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思维辨析
(2)依题意得2×2列联表如下:
间有关系. (
)
(5)利用列联表求得的K2的值越大,说明两个变量有关系的可能性
越大. (
)
(6)独立性检验中可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关
性的大小.
答案:(1)√ (2)×
12/13/2021
(3)√
(4)×
(5)√
(6)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
列联表
【例1】 为了调查胃病是否与生活规律有关系,在某地对540名40
能性大些.
答案:C
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用列联表进行独立性检验
【例3】 下表是对某地区的一种传染病与饮用水的调查表:
干净水
不干净水
总 计
得病
不得病
总计
52
94
146
466
218
684
518
312
830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关系?请说明理由.
(2)若饮用干净水得病的有5人,不得病的有50人,饮用不干净水得
高条形图判断二者之间是否有关系.
思路分析:先根据题意确定分类变量,作出列联表,再画等高条形
图,最后给出判断.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:根据已知的数据,可以作出列联表如下:
男性
女性
合计
喜欢吃甜食
不喜欢吃甜食
总 计
117
492
609
413
178
591
530
670
1 200
等高条形图如下:

有 Y=y1 的个体所占的比例为 ,也可以估计满足条件 X=x2 的个体
+
中具有 Y=y2 的个体所占的比例为
分类变量相关的可能性就越大.
12/13/2021

,两个比例的值相差越大,两个
+
【做一做2】 下列关于等高条形图的叙述中,正确的是 (
)
A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
k与临界值k0进行对比,从而确定在犯错误的概率不超过多少的前
提下(或有多大的把握)认为“两个分类变量有关系”.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次
调查,列出了如下2×2列联表:
50 岁以下
50 岁以上
总 计
偏爱蔬菜
偏爱肉类
总
4
16
岁以上的人进行了调查,结果显示:患胃病者生活不规律的共60人,
患胃病者生活规律的共20人,未患胃病者生活不规律的共260人,未
患胃病者生活规律的共200人,试根据以上数据列出2×2列联表.
思路分析:先确定两个分类变量,再分别计算分类变量的取值,最
后作出列联表.
解:由已知可列2×2列联表如下:
生活规律
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”
犯错误概率的上界 α.然后查表确定临界值 k0.
②利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k.
③如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率
不超过 α;否则,就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不
生活不规律
总 计
12/13/2021
患胃病
未患胃病
总计
20
60
80
200
260
460
220
320
540
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟列2×2列联表,实质就是列出两个变量取值的频数表.
一般地,假设有两个变量A和B,它们的取值分别为{A1,A2}和
{B1,B2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:
系. 12/13/2021
答案:0.025
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)列联表中的数据是两个分类变量的频数. (
)
(2)事件A与B的独立性检验无关,即两个事件互不影响. (
)
(3)K2的大小是判断分类变量A与B是否相关的统计量. (
)


与
(4)在等高条形图中,如果 + + 非常接近,说明两个变量之
病的有9人,不得病的有22人.按此样本数据分析这种疾病是否与饮
用水的卫生程度有关系,并比较两种样本在反映总体时的差异.
思路分析:根据列联表,通过公式计算K2的观测值,然后与临界值
进行比较,得出结论.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)假设H0:传染病与饮用水的卫生程度没有关系.把表中数据
C=66+34=100,D=105+95=200.
答案:66 61 100 200
12/13/2021
,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用等高条形图进行独立性检验
【例2】在一项有关医疗保健的社会调查中,一共调查了男性530
人,女性670人,其中男性喜欢吃甜食的为117人,女性喜欢吃甜食的
为492人.请根据以上数据作出性别与喜欢吃甜食的列联表,并用等
12/13/2021
【做一做3】 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某
中学随机抽出20名15至16周岁的男生,将他们的身高和体重制成