中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦

中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦
勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦
我国古代数学家赵爽利⽤弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．
第24届国际数学家⼤会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举
例介绍以弦图为背景的试题，供参考．
例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的⽰意图，它是由
四个全等的直⾓三⾓形围成的，在Rt △ABC 中，若直⾓边AC ＝6，
BC ＝5，将四个直⾓三⾓形中边长为6的直⾓边分别向外延长⼀倍，得到图3所⽰的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．
解析如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．
∵AC ＝6，BC ＝5．
∴GD ＝6．DE ＝5．
∵FG ＝DC ，
∴FD ＝2DG ＝12．
在Rt △DEF 中，由勾股定理，得
EF 13．
∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．
例2 如图4，是⽤4个全等的直⾓三⾓形与1个⼩正⽅形镶嵌⽽成的正⽅形图案．已知⼤正⽅形⾯积为49，⼩正⽅形⾯积为4．若⽤x ，y 表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的
是( )
(A)①② (B)①②③
(C)①②④ (D)①②③④
解析⼤正⽅形边长就是直⾓三⾓形斜边长，所以⼤正⽅形
的⾯积等于直⾓三⾓形斜边长的平⽅．由勾股定理知直⾓三⾓形
斜边长的平⽅为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．
由⼩正⽅形⾯积为4知它的边长为2，⽽⼩正⽅形边长等于较长直⾓边与较短直⾓边的差，所以x －y ＝2，②正确．
⼤正⽅形⾯积等于4个直⾓三⾓形⾯积与⼩正⽅形⾯积的和，所以4×12
xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．
由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即（x ＋y ）2＝94，所以x ＋y 正确．
综合知，选B ．
例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成．记图中正⽅形ABCD、正⽅形EFGH、正⽅形MNKT的⾯积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．
例4 如图7，已知⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，把它的各边
延长⼀倍得到新正⽅形A1B1C1D1；把正⽅形A1B1C1D．边长接原
法延长⼀倍得到正⽅形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正⽅
形A n B n C n D n的⾯积为______．
解析由⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，知
它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．
如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得
D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，
所以正⽅形A1B1C1D1的⾯积为5．
如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1D1A2
＝2D1A1＝
在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得
所以正⽅形A2B2C2D2的⾯积为25＝52．
同理，正⽅形A3B3C3D3的⾯积为125＝53；正⽅形A4B4C4D4的⾯积为625＝54；……
于是，可猜想正⽅形AnBnCnDn的⾯积为5n．
例5 2002年在北京召开的世界数学⼤会会
标图案是由四个全等的直⾓三⾓形围成的⼀个⼤
正⽅形，中间的阴影部分是⼀个⼩正⽅形的“赵
爽弦图”，如图9．若这四个全等的直⾓三⾓形有
⼀个⾓为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、
C 2、C 3、…、C n 分别在直线y ＝－12
x 1 和x 轴上，则第n 个阴影正⽅形的⾯积为______．。