四平市实验中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

四平市实验中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i - 【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
2． 在复平面内，复数
1z i +所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +
3． 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ）
A ．{|2}a a ≤
B ．{|1}a a ≤
C ．{|1}a a ≥
D ．{|2}a a ≥
4． ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（ ）
A ．-3
B ．
C ．3
D 5． 在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则等于（ ）
A ．10
B ．1)
C 1
D ．6． 设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ） A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
7． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ）
A ．243
B ．363
C ．729
D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
8．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线
段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C D
9． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1
D ．4 10．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ）
A.[0,2]e -
B. (,2]e -?
C.[0,5]
D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
11．设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A
B =ð（ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤< C. {}|21x x -≤≤ D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.
12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．若复数34sin (cos )i 55
z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．
14．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．
15．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6
x π=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且
)3(s i n ))(sin (sin c b C a b B A -=-+.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆c b ,.
18．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34
．
（1）求a 与b 的值；
（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
19．（本小题满分13分）
椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点M ，点M 在x 轴的上方．当0m =
时，1||2
MF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且1212
3MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．
20．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
21．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒
成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的
形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
四平市实验中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】A
【解析
】
2． 【答案】D
【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算．
21z i i
=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ． 3． 【答案】D
【解析】
试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ．
考点：集合的包含关系．
4． 【答案】B
【解析】
考点：向量的投影．
5． 【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，60B =，45C =，所以075A =，由正弦定理，得sin sin a c A C
=
0010sin 10sin 451)sin sin 75a C c A ⨯⇒====，故选B ．1 考点：正弦定理． 6． 【答案】C
【解析】由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A ∩B=∅”；若“A ∩B=∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，
∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B=∅”的充分必要的条件。

7．【答案】D
【解析】
8．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

9．【答案】D
【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB BA -=，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD +=（D 点是AB 的中点）,另外，要选好基底
向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 10．【答案】B
11．【答案】B
【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B =ð{}|21x x -≤<，故选B.
12．【答案】C.
【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】3
4
-
【解析】由题意知3sin 05α-=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3
tan 4
α=-.
14．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3， ∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，
即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），
由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋1
x
（x ＞0），
∴⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋1x 0
＝1
y 0＝x 0
－1y 0
＝ax 0
＋ln x
，解之得x 0
＝1，y 0
＝0，a ＝0. ∴a ＝0. 答案：0 15．【答案】A 【
解
析
】
16．【答案】8
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有2223c bc a b -=
-， 即bc a c b 3222=-+. 3分
由余弦定理得：2
32cos 222=
-+=bc a c b A ，又),0(π∈A ，故6π=A . 6分 （Ⅱ） ABC ∆
3sin 2
1
=∴A bc ，34=∴bc ①， 8分
又由（Ⅰ）2223c bc a b -=-及,2=a 得1622=+c b ，② 10分
由 ①②解得32,2==c b 或2,32==c b . 12分 18．【答案】
【解析】（1）由题意，得1
1424
131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
而4
1
433221)0(=⨯⨯==X P ；1231(2)2344P X ==⨯⨯=；
1131(4)2348P X ==⨯⨯=； 1211135
(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；
1211(8)23412P X ==⨯⨯=； 1111
(10)23424P X ==⨯⨯=；
1111
(12)23424
P X ==⨯⨯=．…………………9分
所以X 的分布列为：
于是，11()01234
5644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12
=．……………12分
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由直线:1l x my =-经过点1F 得1c =，
当0m =时，直线l 与x 轴垂直，21||2
b MF a ==， 由21
2c b a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22
12x y +=． （4分） （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，120,0y y >>，由12//MF NF 知121211
22
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆===.
联立方程22
1
1
2
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22
(2)210m y my +--=
，解得y =
∴1y =
，同样可求得2y =， （11分） 由1
23y y =得123y y =
3=，解得1m =， 直线l 的方程为10x y -+=． （13分） 20．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
13
111324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）
21．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，
∴；3分
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，
以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
可得
，
∴，，5分
设
为面BCE 的法向量，由
可得=（1，2，﹣
），
∴cos ＜，
＞=
=
，∴面DCE 与面BCE 夹角的余弦值为
4分
22．【答案】
【解析】（1）当cos C ＝0时，sin C ＝1，原不等式即为4x ＋6≥0对一切实数x 不恒成立.
当cos C ≠0时，应有⎩
⎪⎨⎪⎧cos C >0，
Δ＝16sin 2
C －24cos C ≤0， （4分）
∴⎩
⎪⎨⎪⎧cos C >0，2cos 2
C ＋3cos C －2≥0， 解得cos C ≥12
．
∵C 是△ABC 的内角，∴1
2
≤cos C <1. （6分）
（2）∵0<C <π，12≤cos C <1，∴∠C 的最大值为π
3
，
（8分）
此时c ＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab ，
∴6＝a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋
a 2＋
b 2－ab ≥2ab ＋
2ab －ab ＝3ab ，
∴ab ≤4（当且仅当a ＝b 时取“＝”）. （10分）
∴S △ABC ＝12ab sin π
3
≤3（当且仅当a ＝b 时取“＝”）.
此时，△ABC 面积的最大值为3，△ABC 为等边三角形.
（12分）。