【精品】2015届高三数学(理)第一轮总复习周周练素材(十四)高考

学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B ·理科数学周周练(十四)
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新课标高中总复习(第1轮)B·理科数学 周 周 练 (十四)
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________
一、选择题
1.下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )
A.OM →＝2OA →－OB →－OC →
B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12
OC → C.MA →－2MB →＋MC →＝0
D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0
2.若平面α与平面β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，b ＝(－4,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法判断
3.设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离是( ) A.71717 B.491717
C.17177
D.171749
4.在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( )
A.15
B ．1 C.55 D.255
5.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH 的面积不改变；
③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；
④当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．
其中所有正确的命题的序号是( )
A ．①②③
B ．①③
C ．②④
D ．①③④
二、填空题 6.若直线l 的方向向量e ＝(2,1，m )，平面α的法向量n ＝(1，12
，2)，且l ⊥α，则m ＝________.
7.有以下命题：
①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共线；
②O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →、OB →、OC →不构成空间的一个基底，那么点O 、
A 、
B 、
C 一定共面；
③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底． 其中正确的命题是________．
8.已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，则a 1＋a 2＋a 3b 1＋b 2＋b 3
的值是________．
9.已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是________． 10.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．
三、解答题
11.如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，M 为线段AB 的中点．将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图2所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ；
(2)求二面角A -CD -M 的余弦值．
12.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．
(1)证明：PF ⊥FD ；
(2)判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；
(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A -PD -F 的余弦值．
周周练(十四)
1．C 在C 中，MC →＝－MA →＋2MB →，所以点M 与点A ，B ，C 一定共面．
2．A 由题意，有a ＝－b ，所以a 与b 共线，从而α与β平行．
3．B 由条件知：AD →＝(－7，－7,7)，AB →＝(2，－2,1)，AC →＝(4,0,6)．
设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，
所以{ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即
{ 2x －2y ＋z ＝04x ＋6z ＝0，
取z ＝－2，则x ＝3，y ＝2.
所以n ＝(3,2，－2)．
故点D 到平面ABC 的距离 d ＝|AD →·n |n ＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×7|32＋22＋(－2)
2 ＝4917
＝491717. 4．C 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0，0,2)，D (12，0,0)，E (12
，12，0)，F (0，12
，1)， 所以AP →＝(0,0,2)，DE →＝(0，12，0)，DF →＝(－12，12
，1)． 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则{
n ·DE →＝0n ·DF →＝0，得{ y ＝0x ＝2z ，
取z ＝1，则n ＝(2,0,1)．
设P A 与平面DEF 所成角为θ，
则sin θ＝|P A →·n ||P A →||n |
＝55， 所以P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55
，故选C. 5．D 四边形EFGH 的面积随着容器的倾斜而改变，②不正确，其余均正确，选D.
6．4 因为l ⊥α，所以e ∥n ，所以21＝m 2
，解得m ＝4. 7．②③ 如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系一定是共线，所以①错误．
8.56 因为cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|
＝1，所以a ，b 共线且同向， 所以a ＝56b ，即a 1＝56b 1，a 2＝56b 2，a 3＝56b 3，
故a 1＋a 2＋a 3b 1＋b 2＋b 3＝56. 9.43
设点A 1到截面AB 1D 1的距离是h ， 由VA 1-AB 1D 1＝VA -A 1B 1D 1，
可得13S △AB 1D 1·h ＝13
S △A 1B 1C 1·AA 1， 解得h ＝43
. 10.55 连接BC 1交B 1C 于O ，则B 1C ⊥BC 1， 又A 1B 1⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，连接D 1O ，
则∠BD 1O 就是直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成的角，
不妨设正方体棱长为1，
则BD 1＝3，BO ＝22，D 1O ＝102
， 在Rt △BD 1O 中，tan ∠BD 1O ＝BO D 1O ＝55
. 11．解析：(1)证明：在图1中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC .
取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，
又平面ADC ⊥平面ABC ，
平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ACD ，
从而OD ⊥平面ABC ，
所以OD ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩OD ＝O .
所以BC ⊥平面ACD .
(2)建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，
则M (0，2，0)，C (－2，0,0)，D (0,0，2)，
CM →＝(2，2，0)，CD →＝(2，0，2)．
设n 1＝(x ，y ，z )为平面CDM 的法向量，
则{
n 1·CM →＝0n 1·CD →＝0，
即{ 2x ＋2y ＝02x ＋2z ＝0，解得{ y ＝－x z ＝－x ， 令x ＝－1，可得n 1＝(－1,1,1)．
又n 2＝(0,1,0)为平面ACD 的一个法向量，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝13＝33
. 所以二面角A -CD -M 的余弦值为33
. 12．解析：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)，
不妨令P (0,0，t )，因为PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)，
所以PF →·DF →＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0，
即PF ⊥FD .
(2)设平面PDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由{
n ·PF →＝0n ·DF →＝0，得{ x ＋y －tz ＝0x －y ＝0，
令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2
. 所以n ＝(t 2，t 2
，1)． 设G 点坐标为(0,0，m )，E (12，0,0)，则EG →＝(－12
，0，m )， 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，
即(－12)×t 2＋0×t 2＋1×m ＝m －t 4
＝0， 得m ＝14t ，从而满足AG ＝14
AP 的点G 即为所求． (3)因为AB ⊥平面P AD ，所以AB →是平面P AD 的法向量，易得AB →＝(1,0,0)，
又因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角， 得∠PBA ＝45°，P A ＝1.
平面PFD 的法向量为n ＝(12，12
，1)， 所以cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝1214＋14
＋1＝66， 故所求二面角A -PD -F 的余弦值为66.。