2019秋高中数学第一章常用逻辑用语1.4.3含有一个量词的命题的否定练习(含解析)新人教A版选修2_1

1.4.3 含有一个量词的命题的否定
A级基础巩固
一、选择题
1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则( )
A．¬p：∃x0∈R，cos x0>1 B．¬p：∃x0∈R，cos x0≤1
C．¬p：∀x∈R，cos x>1 D．¬p：∀x∈R，cos x≥1
答案：A
2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为( )
A．¬p：存在x∈R，x＜sin x B．¬p：任意x∈R，x≤sin x
C．¬p：存在x∈R，x≤sin x D．¬p：任意x∈R，x＜sin x
答案：C
3．命题“∀x∈R，∃x∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃x∈N*，使得n<x2
B．∀x∈R，∀x∈N*，使得n<x2
C．∃x∈R，∃x∈N*，使得n<x2
D．∃x∈R，∀x∈N*，使得n<x2
解析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，n≥x2的否定是n<x2.
答案：D
4．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
B．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
答案：C
5．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：∃x∈R，sin x＝1.则下列判断正确的是( )
A．¬q是假命题B．q假命题
C．¬p是假命题D．p是真命题
答案：A
二、填空题
6．已知命题p：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，则¬p为________．
答案：∀x ∈R ，x 2
－3x ＋3＞0
7．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是________．
答案：有些函数不具有奇偶性
8．命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．
解析：全称命题的否定是特称命题，全称量词“任意”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
答案：∃x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3
三、解答题
9．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 20＋2ax 0＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．
解：由已知得¬p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．
所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， 因为¬p 为假，所以a ＞－3，
即a 的取值范围是(－3，＋∞)．
10．a ，b ，c 为实数，且a ＝b ＋c ＋1，证明：两个一元二次方程x 2＋x ＋b ＝0，x 2＋ax ＋c ＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
证明：原命题的否定为：两个方程都没有两个不等的实数根，则Δ1＝1－4b ≤0，Δ2＝a 2－4c ≤0，所以Δ1＋Δ2＝1－4b ＋a 2－4c ≤0.
因为a ＝b ＋c ＋1，所以b ＋c ＝a －1.
所以1－4(a －1)＋a 2≤0，即a 2－4a ＋5≤0.
但是a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1>0，故矛盾．
所以原命题的否定是假命题，原命题为真命题，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
B 级 能力提升
1．命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)．则( )
A ．p 假q 真
B ．p 真q 假
C ．p 假q 假
D ．p 真q 真 解析：因为x 3<x 2，所以x 2(x －1)<0，所以x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，命
题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．
答案：A
2．命题“∃x0∈R，使x20＋ax0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)。