2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略专题11直线与圆讲练Word版含答案

专题五平面解析几何
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[高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．
突破点11直线与圆
(1)
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程
x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2
＋E 2
－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭
⎪⎫－D
2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F
2
为半径的圆.
(1)(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|
A 2＋
B 2，弦长公式|AB|＝
2r 2－d 2(弦心距d).
上的点距离的最大值为|PC|＋r ，最小值为|PC|－r ，其中r 为圆的半径．
(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．
(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．
回访1 两条直线的位置关系
1．(2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]
2．(2011·浙江高考)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.
1 [∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴2－2m ＝0，∴m ＝1.] 回访
2 圆的方程
3．(2016·浙江高考)已知a ∈R 方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋5
2＝0，配方得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122
＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆； 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
4．(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．
15 [∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4<0,6－x －3y >0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .
令z ＝10－3x －4y ，
如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝43
x ，
x 2＋y 2＝1，
得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3
5，－45，
∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值，z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－45＝
15.]
5．(2013·浙江高考)如图11-1，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
图11-1
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． [解] (1)由题意得⎩⎨⎧
b ＝1，
a ＝2.
2分 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
5分
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.
6分
又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝
1
k 2＋1
， 所以|AB |＝24－d 2
＝2
4k 2＋3
k 2＋1
. 7分
又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.
由⎩⎨⎧
x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k
4＋k 2，所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2
.
8分 设△ABD 的面积为S ，则S ＝1
2|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，
11分
所以S ＝
324k 2＋3＋
13
4k 2＋3
≤322
4k 2＋3·
134k 2＋3
＝1613
13，当且仅当k ＝
±10
2时取等号．
所以所求直线l 1的方程为y ＝±10
2x －1. 15分
回访3 直线与圆、圆与圆的位置关系
6．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
B [由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .
圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2
＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
422得2－a ＝2
＋4，所以a ＝－4.]
7．(2013·浙江高考)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．
4 5 [圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|
4＋1
＝5，所以弦
长为2
r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.]
8．(2015·浙江高考)如图11-2，已知抛物线C 1：y ＝1
4x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．
图11-2
(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△P AB 的面积．
[解] (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t ).
2分
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －t )，y ＝14
x 2
消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，
由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t . 3分
因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．
设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧
y 02
＝－x 02t ＋1，
x 0t －y 0＝0，
5分
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝
2t
1＋t 2，y 0＝2t 2
1＋t 2，
因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t
1＋t 2，2t 21＋t 2.
7分
(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2， 直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线P A 的距离是d ＝t 2
1＋t 2
.
11分 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 3
2.
15分
热点题型1 圆的方程
题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.
(1)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长
之比为1∶2，则圆C 的方程为________．
(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．
(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝4
3 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 [(1)因为圆C 关于y 轴对称，所
以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，
设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
12＋(－b )2＝r 2
，|b |＝1
2r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
r 2＝43，b ＝±33.
所以圆C 的方程为x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ±332＝4
3.
(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知
⎩⎨⎧
b 2＋9＝r 2，
|3a ＋b |
32
＋12
＝r ，a 2
＋b 2
＝r 2
，
解得⎩⎨⎧
a ＝3，
b ＝1，
r 2＝10，
故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.
法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫－D 22
＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E
2
－D
2＝13，即E ＝1
3D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2
－6x －2y ＝0.
故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]
求圆的方程的两种方法
1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． [变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )
A ．(x －1)2＋y 2＝4
B ．(x ＋1)2＋y 2＝4
C ．x 2＋(y －1)2＝4
D ．x 2＋(y ＋1)2＝4
(2)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．
(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 [(1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得
⎩⎨⎧
(a ＋2)2＋(3)2＝r 2
，|2a －4|4＋5
＝r ，
解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧
a ＝－1，
r ＝2，
所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B. (2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，
△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]
热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.
(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12
交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，
圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|
m 2＋1
.
由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2
＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π
6.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×2
3
＝4.]
(2)(2016·金华十校联考)如图11-3，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭
圆x 2
16＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．
①求圆G 的半径r ；
②过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G
相切．
图11-3
[解] ①设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得
r 36－r
2＝y 0
6＋r ， 即y 0＝r 6＋r
6－r
， ①
2分
而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，
y 2
0＝1－(2＋r )216＝12－4r －r 2
16＝－(r －2)(r ＋6)16
， ②
3分
由①②式得15r 2＋8r －12＝0， 解得r ＝23或r ＝－6
5(舍去).
5分
②证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝4
9相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③ 则23＝|2k ＋1|1＋k 2，即32k 2＋36k ＋5＝0，④ 解得k 1＝
－9＋4116，k 2
＝－9－41
16
. 将③代入x 216＋y 2＝1得(16k 2＋1)x 2＋32kx ＝0，则异于零的解为x ＝－32k
16k 2＋1.
8分
设F (x 1，k 1x 1＋1)，E (x 2，k 2x 2＋1)，则 x 1＝－
32k 116k 2
1＋1，x 2＝－32k 2
16k 22＋1
， 12分
则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1
x2－x1
＝
k1＋k2
1－16k1k2
＝
3
4，
于是直线FE的方程为y＋
32k21
16k21＋1
－1＝
3
4⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
32k1
16k21＋1.
即y＝3
4x－
7
3，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3
2－
7
3
1＋
9
16
＝
2
3，故结论成立.
15分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．
2．弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
[变式训练2](1)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.
【导学号：58962047】
y ＝x ＋1 [直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点
M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1
＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.]
(2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．
①求曲线E 的方程；
②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．
[解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )， 由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，
2分 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即
(x －2)2＋y 2＝3为所求. 4分 ②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，
线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧ y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，
解得点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋22，t －22. 7分
由圆的几何性质，
|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，
而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3， 又C ，D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y ＝－x .
由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22，y ＝22－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋22，y ＝－22－1. 9分
设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1， 由⎩⎨⎧
x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝u (x －1)消去y 得： (u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，(*)
方程(*)的两根之积为1，所以点A 的横坐标
x A ＝2＋2，又因为点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，
11分 直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，
同理可得，B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2. 15分。