2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：6.4 数列求和

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(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一 些项可以相互抵消,从而求得其和.
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(2)利用倒序相加法可求得
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
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因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
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A
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5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则
6.4 数列求和
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1.基本数列求和方法
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2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离” 的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如 等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后 再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用 并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位 相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
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对点训练1(2018河北衡水中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和 为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为
(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位
相减法求得. ( )
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1
的正整数). ( )
(1)(× (2))√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√ (6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25. ( )
思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?
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解题心得1.一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列 {an·bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同 乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”, 以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
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对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*. (1)证明数列{an-1}为等比数列,并求{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和Tn.
q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,
∴an=2n+1,bn=2n-1.
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例N*,a1=1,a2=2, 且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.
(1)求q的值和数列{an}的通项公式;
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= .
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例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn. 思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适 合分组求和?
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答案
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2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
关闭 关闭
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3.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
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解 (1)∵数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*,① ∴a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2. ∴当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-3.② ①-②,得an=2an-1-1, ∴an-1=2(an-1-1). 又a1-1=1,∴数列{an-1}是以1为首项,以2为公比的等比数列. ∴an-1=2n-1,即an=2n-1+1. (2)∵an=2n-1+1,∴nan=n2n-1+n. ∴数列{nan}的前n项和 Tn=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1+(1+2+3+…+n)
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解 (1)设等差数列{bn}的公差为d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,
∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.
(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.
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解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并 项求和法求数列前n项和.
2.具有下列特点的数列适合分组求和 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求 和法求{an}的前n项和;
(2)通项公式为
的数列,其中数列{bn},{cn}是等