人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评14

学业分层测评（十四）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列,则q 等于( )
A ．1
B ．0
C ．1或0
D ．－1
【解析】 因为S n －S n －1＝a n ,又{S n }是等差数列,所以a n 为定值,即数列{a n }为常数列,所以q ＝
a n
a n －1
＝1. 【答案】 A
2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3＝a 2＋10a 1,a 5＝9,则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19
D ．－19
【解析】 设公比为q ,∵S 3＝a 2＋10a 1,a 5＝9, ∴⎩⎨⎧
a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，
∴⎩⎨⎧
a 1q 2
＝9a 1，a 1
q 4＝9， 解得a 1＝1
9,故选C. 【答案】 C
3．一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是( )
A ．190
B ．191
C ．192
D ．193
【解析】 设最下面一层灯的盏数为a 1,则公比q ＝1
2,n ＝7,由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12
＝381,
解得a 1＝192. 【答案】 C
4．设数列1,(1＋2),…,(1＋2＋22＋…＋2n －1),…的前n 项和为S n ,则S n 的值为( )
A ．2n
B ．2n －n
C ．2n ＋1－n
D ．2n ＋1－n －2
【解析】 法一 特殊值法,由原数列知S 1＝1,S 2＝4,在选项中,满足S 1＝1,S 2＝4的只有答案D.
法二 看通项,a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1.
∴S n ＝2(2n －1)2－1－n ＝2n ＋1－n －2.
【答案】 D
5．已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3＝2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为5
4,则S 5＝( )
A ．35
B ．33
C ．31
D ．29
【解析】 设数列{a n }的公比为q , ∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1, ∴a 4＝2.
又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3 ＝2×54, ∴q ＝12.
∴a 1＝a 4
q 3＝16,S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.
【答案】 C 二、填空题
6．在等比数列{a n }中,若公比q ＝4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n ＝________.
【解析】 ∵在等比数列{a n }中,前3项之和等于21,
∴a 1(1－43)1－4＝21,
∴a 1＝1,∴a n ＝4n －1. 【答案】 4n －1
7．设数列{a n }是首项为1,公比为－2的等比数列,则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.
【解析】 法一 a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二 因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|,数列{|a n |}是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为1－24
1－2
＝15.
【答案】 15
8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝2a n ,S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126,则n ＝________.
【解析】 ∵a 1＝2,a n ＋1＝2a n ,
∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列, 又∵S n ＝126,∴2(1－2n )1－2＝126,∴n ＝6.
【答案】 6 三、解答题
9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列. 【导学号：05920072】 (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3,求S n .
【解】 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2), 由于a 1≠0,故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0,从而q ＝－12.
(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122
＝3,
故a 1＝4.
从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 10．(2015·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2,b 1＝1,a n ＋1＝2a n (n ∈N *),b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .
【解】 (1)由a 1＝2,a n ＋1＝2a n ,得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：
当n ＝1时,b 1＝b 2－1,故b 2＝2. 当n ≥2时,1
n b n ＝b n ＋1－b n . 整理得
b n ＋1n ＋1＝b n
n
, 所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ,
因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n , 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1, 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．
[能力提升]
1．在等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *),则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于
( )
A ．(2n －1)2 B.1
3(2n －1)2 C ．4n
－1
D.13(4n
－1)
【解析】 a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1,即S n ＝2n －1,则S n －1＝2n －1－1(n ≥2),则a n
＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2),又a 1＝1也符合上式,所以a n ＝2n －1,a 2n ＝4n －1,所以a 21＋a 2
2＋…
＋a 2n ＝13
(4n －1)． 【答案】 D
2．如图2-5-1,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆．如此下去,则前n 个内切圆的面积和为(
)
图2-5-1
A.πa 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n π C ．2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－14n π
D ．3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－14n π
【解析】 根据条件,第一个内切圆的半径为36×3＝32,面积为3
4π,第二个内切圆的半径为34,面积为316π,…,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为3
4π,公比为1
4,故面积之和为34π⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n π. 【答案】 B
3．某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．
【解析】 每天植树棵数构成等比数列{a n },
其中a 1＝2,q ＝2,则S n ＝a 1(1－q n )
1－q ＝2(2n －1)≥100,即2n ＋1≥102,∴n ≥6,∴最少
天数n ＝6.
【答案】 6
4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1,b 2＝2,q ＝d ,S 10＝100.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；
(2)当d ＞1时,记c n ＝a n
b n
,求数列{c n }的前n 项和T n .
【解】 (1)由题意有⎩⎨⎧
10a 1＋45d ＝100，
a 1d ＝2，
即⎩⎨⎧
2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧
a 1＝1，d ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，d ＝2
9.
故⎩⎨⎧
a n ＝2n －1，
b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝1
9(2n ＋79)，
b n ＝9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫29n －1
.
(2)由d ＞1,知a n ＝2n －1,b n ＝2n －1,故c n ＝2n －1
2n －1,
于是T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1,①
12T n ＝12＋322＋523＋7
24＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n , 故T n ＝6－2n ＋32
n －1.。