北京四中数学必修五教案第二章 数列综合之提高篇

数列综合

编稿：张希勇 审稿：

【学习目标】

1．系统掌握数列的有关概念和公式；

2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题；

3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；

4．掌握常见的几种数列求和方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、数列的通项公式 数列的通项公式

一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.

要点诠释：

①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；

②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…

的通项公式可以写成(1)n

n a =-，也可以写成cos n a n π=；

③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++

+；

1

1

(1)(2)

n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨

-≥⎪⎩

要点诠释：

由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，

（2）求出当n≥2时的n a ，

（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

数列的递推式：

如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.

要点诠释：

利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列

判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；

④前n 项和公式法：2

n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列.

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.

等差数列的有关性质：

（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；

特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （

3

）

等

差

数

列

{}

n a 中，若

*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.

（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列.

（5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S

①当n 为奇数时，12

n n S n a +=⋅；12

n S S a +-=奇偶；

1

1S n S n +=

-奇偶

； ②当n 为偶数时，1

2

2

(

)2

n n

n a a S n ++=⋅；1

2

S S dn -=

偶奇；

21

2

n

n a S S a +=奇

偶. （6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则

m n m n

S S S m n m n

+-=

-+（m 、n ∈N*，且m ≠n ）. （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则

p q

m n S S S S m n p q

--=--.

（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2

'd k d =.

等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中

① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10

n n a a +≥⎧⎨

≤⎩来确定n ；

② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10

n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项

和公式21()22

n d d

S n a n =

+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三、：等比数列

判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：

1

n n

a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：n

n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：2

12n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.

等比数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：n m

n m a a q -=

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.

特别，若2m n p +=，则2

m n p a a a ⋅= （

4

）

等

比

数

列

{}

n a 中，若

*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.

（5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列.

（6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇.

（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.

（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n a

a （a ＞0且a≠1）为等比数列.

（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2

1

(*)n n n

n V a q n N -=∈

等比数列的通项公式与函数：