江苏省扬州市邗江区2011-2012学年高二数学下学期期中考试试题

江苏省扬州市邗江区2011-2012学年高二下学期期中考试数学试题
注意事项：
1、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卡规定的地方.
2、试题答案均写在答题卡相应位置，答在其它地方无效.
一．填空（本大题共14小题，每题5分，共计70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则=)(B C A U ▲ 2．复数
5
12i
-的虚部为 ▲ 3．求值：(.)
()lg lg ln 20
3
273142518
▲
4．已知复数z 满足i i z +=-1)2(，则=||z ▲ 5．已知[)()1,2,,A B a ==-∞，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ▲
6．已知1
41
)(-+
=x a x f 是奇函数，则实数=a ▲ 7．已知函数
1(),4()2(1),4
x
x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f = ▲ 。

8．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

9．下列命题中，①x R ∀∈，2
x x ≥； ②x R ∀∈，2
x x <； ③x R ∀∈，y R ∃∈，2
y x <；
④x R ∀∈，y R ∃∈，x y x =，其中真命题的序号．．
是 ▲ 10．已知函数()log a f x x =在(0,)+∞上单调递增，则(2)f - ▲ (1)f a +（填写“<”，“=”，“>”
之一）
11．如图，直角梯形OABC 位于直线)50(≤≤=t t x 右侧的
图形面积为)(t f ，则函数)(t f = ▲ ．
12．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有，
1212
()()
0f x f x x x -<-，
且()x f 的最大值为
1，则满足
()1log 2<x f 的解集为 ▲
13．试通过圆和球的类比，由“半径为R 的圆内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2
2R ”，
猜测关于球的相应命题由 ▲ 。

14．已知函数2
1
()log ()2
a f x ax x =-+（01a a >≠且）在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围
为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，共计90分.解答应写出必要的文字说明、说明过程或演算步骤）
15．（本题14分）已知复数是虚数单位）i R m i
i
m m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数。

（1）求m 的值；
（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值。

16．（本题14分）已知集合{|(2)(25)0},A x x x a =---<函数2(2)
lg 2x a y a x
-+=-的定义域为集
合B 。

（1）若4a =，求集合A B ；
（2）已知,""2
a x A 3
>-∈且是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

17．（理科做）（本题15分） 如图所示，已知长方体1111D C B A ABCD -中，,2==BC AB 41=AA ，
E 是棱1CC 上的点，且C B BE 1⊥。

（1）求CE 的长；（2）求证：⊥C A 1平面BED ；（3）求B A 1与
平面BED 所成角的正弦值。

17．（文科做）（本题15分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，13,5,4,AC AB AA BC ====点D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：1//AC 平面1CDB ； （3）求三棱锥11A B CD -的体积.
18．（本题16分） 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
（2）在（1）的条件下，当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
19．（本题16分）已知集合M 是满足下列性质函数的()f x 的全体，在定义域D 内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立。

（1）函数1()f x x
=，2
()g x x =是否属于集合M ？分别说明理由。

（2）若函数2
()lg 1
a
f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围。

20．（本题16分）设]1,1[-=A ，]2
2
,22[-
=B ，函数12)(2-+=mx x x f ， （1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当)(B A C ⊆时，求实数m 取值范围； （2）若对任意x ∈R ，都有)1()1(x f x f -=+成立，试求B x ∈时，)(x f 的值域； （3）设mx x a x x g ---=2||)( ()a ∈R ，求)()(x g x f +的最小值．
2011——2012学年度第二学期期中检测试题
高二数学参考答案
2012.04
全卷满分160分，考试时间120分钟
一．填空（本大题共14小题，每题5分，共计70分）
1．{3,4}； 2．2； 3．
31
9； 4．2； 5．[2,)+∞； 6．21； 7． 124
； 8．（-∞，5）；
9．④； 10．< ； 11．()()()21802210225t t f t t t ⎧-≤≤⎪=⎨
⎪-<≤⎩
二、解答题：（本大题共6道题，共计90分.解答应写出必要的文字说明、说明过程或演算步骤） 15．（共14分）
解答：（1）方法一：i
i m m m m z +++--=1)()2(22i m m )1()1(2++-=………………3分
为纯虚数z 01012
≠+=-∴m m 且1=∴m …………………………7分
（2）由（1）知，i z 2= 设),(R b a bi a w ∈+=
由|2|1w i -=22
(2)1a b +-=即 22(2)1a b +-=（＊）………………10分
所以 2222||1(2)43w a b b b b =
+=--+=- ………………12分
由（＊）得：2
(2)1b -≤，即 13b ≤≤，
4393b -≤=，所以 ||w 的最大值为3。

………14分
或 直接由式子|2|1w i -=得复数w 的几何意义是以（0，2）为圆心，1为半径的圆，
……………………………10分
此圆上的点到原点的距离的最大值是3，所以 ||w 的最大值是3。

………………………14分 16．（共14分）
（2）∵2
3
-
>a ， ∴ 252>+a 此时，}522|{+<<=a x x A …………………………8分
又∵22(2)2(1)10a a a +-=-+> ∴}22|{2+<<=a x a x B ………………10分 ∵“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件， ∴A B ⊆且A B ≠
∴23222225
a a a a ⎧>-⎪⎪≤⎨⎪+≥+⎪⎩
∴3
12a -<≤-…………………………14分
17．（共15分）（理科做）
解答：（1）如图所示，由条件得到：
)0,0,2(),0,0,0(A D ,),0,2,0(),0,2,2(C B )4,2,2(),4,0,2(11B A ,),4,2,0(1C )4,0,0(1D 。

设E 点坐标
为),2,0(t ，…………………………2分 则),0,2(t BE -=，)4,0,2(1--=C B
C B BE 1⊥ ∴04041=-+=⋅t C B BE …………………4分
1=∴t ，故1=CE …………………………5分
(2)证明 由（1）得，)1,2,0(E ，)1,0,2(-=BE ,又)0,2,2(),4,2,2(1=--=DB C A
∴,04041=-+=⋅BE C A DB C A ⋅1=0044=++-…………………………8分
DB C A ⊥∴1且BE C A ⊥1,即,1DB C A ⊥BE C A ⊥1,又DB BE B =, ⊥∴C A 1平面BED ……………………………………………10分
17．（满分15分）（文科做）
（1）证明：在ABC ∆中，3,5,4,AC AB BC ===
222,AB AC BC ABC ∴=+∆为Rt ∆，
.AC BC ∴⊥……………………………………2分
又1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，1.AC CC ∴⊥
1CC BC C =，1,CC BC ⊂平面11,BB C C
AC ∴⊥平面11BB C C ，………………………4分
而1BC ⊂平面11BB C C ，
1.AC BC ∴⊥………………………………………………5分
（2）设1B C 交1BC 于E 点，连结.DE
直三棱柱111,ABC A B C -∴四边形11BB C C 是矩形，E ∴是1BC 的中点 又D 是AB 的中点，1//,AC DE ∴……………………………8分 而DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，
1//AC ∴平面1CDB .……………………………………………10分 （3）连结11
,A D AC ，过点C 作CF AB ⊥，垂足为F . 在Rt ABC ∆中，3412
,55
AC BC CF AB ⋅⨯===………………………12分 又直三棱柱111,ABC A B C -∴平面ABC ⊥平面11ABB A ， 而平面ABC 平面11,ABB A AB CF =⊂平面,ABC CF AB ⊥ CF ∴⊥平面11ABB A ，即CF 是三棱锥11C A B D -的高 又1111111
5410,22
A B D S A B AA ∆=
⋅=⨯⨯= 1111111112
108.335
A B CD C A B D A B D V V S CF --∆∴==⋅=⨯⨯=………………………………15分
18．（满分15分）
解答：（1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
即：2
5000(0.360.33)y x x =-++，(01)x <<……………………………6分
由2
5000(0.360.33)35000x x -++>⨯， 得5
06
x <<
……………9分 (2) 本年度利润为2
5000(0.360.33)y x x =-++ ……11分 当5
12
x =
时，y 有最大值为15312.5（万元） ………13分 答：（1）投入成本增加的比例x 的范围是506
x <<；（2）当512x =时，本年度的年利润最大，是
15312.5万元。

……………………………15分
19．(满分16分) 解：（1）对于函数1
()f x x
=
，(,0)(0,)D =-∞+∞，若()f x M ∈，则存在非零实数0x ，使得 00
1111x x =++， 即2
0010x x ++=，显然此方程无实数解，所以()f x M ∉。

…………4分
函数2()g x x =，D R =，若()g x M ∈成立，则有2200(1)1x x +=+，解得：00x =，所以()g x M ∈。

…………………………8分
（2）有条件可得：,0D R a =>，由()f x M ∈，存在实数0x ，使得2200lg
lg lg
(1)112
a a a
x x =++++所以，
22
00(1)112
a a a x x =•+++，化简得 2
00(2)2220a x ax a -++-=………………11分 当2a =时，01
2
x =-
，符合题意。

…………………………13分 当2a ≠时，由0∆≥得， 244(2)(22)0a a a ---≥，即3535a -≤≤+（2a ≠） 综上所述：a 的取值范围是[35,35]-+。

…………………………16分
（2）对任意R x ∈都有)1()1(x f x f -=+，所以)(x f 图像关于直线1=x 对称，
所以14
=-
m
，得4m =- …………………………7分 所以3)1(2)(2
--=x x f 为]2
2,22[-
上的减函数． 22)(min -=x f ；22)(max
=x f ．故B x ∈时，)(x f 值域为]22,22[-．
…………………………9分
（3）令)()()(x g x f x +=ϕ，则1||)(2--+=a x x x ϕ
（i ）当a x ≤时，4
5)21(1)(2
2-
+-=-+-=a x a x x x ϕ， 若2
1
≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上单调递减， 从而函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为1)(2
-=a a ϕ．
若21>
a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a +-=4
5
)21(ϕ， …………………………12分
（ii ）当a x ≥时，函数4
5
)21(1)(22
--+
=--+=a x a x x x ϕ
..
DOC 版. 若21-≤a ，则函数)(x ϕ在],(a -∞上的最小值为a --=-4
5)21(ϕ， 若2
1->a ，则函数)(x ϕ在),[+∞a 上单调递增， 从而函数)(x ϕ在),[+∞a 上的最小值为1)(2-=a a ϕ．…………………………15分 综上所述：2min 51;()4211()1;()22
5
1
;()
42a a x a x a a ϕ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩…………………………16分。