武汉理工大学试卷纸(实变函数-A卷2006)

A是（
可测集但测度未必为零；
(Borel)集。

A上的
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
| 课程名称 实变函数与泛函分析 （ A 卷） | 一、A C B D (每小题3分)
装 二、无穷，无穷，可测，几乎处处、0，c (每小题3分) | 三、1.
⎰
]
1,0[)(dx x f =dx x E x ⎰1
2
sin +
⎰2
3
E dx x
=
⎰]
1,0[3
dx x =1/4 （按等式3分，7分，10
分）
| 2. E ’=E ⋃{}
20),0(≤≤y y （3分）， ∅=0
E (3分) '
E E =（4分）
| 3， 如果G 为空集合,则显然G 为开集合 (3分)
如果G 不为空集合, G x ∈∀0, 则a x f >)(0,因为连续函数的保不等式性, 则有 ),(0δx U , ∈∀x ),(0δx U 使得 )(x f >a , (7分) 所以, G x U ⊂),(0δ 故,x 0 是内点,G 是开集 (10分)
| 4， 在每个开区间B 可以取一个有理数 r a ，，
B −→←
r a 3分 {}a r Q ⊂ （有理数集） 7分
A={}B 最多是可数集。

10分
钉 5， 设可数集为A={} ,,,21n r r r
对于任意0>ε， 对于i r ，取一个区间，使得∈i r （)2/,2/11+++-i i i i r r εε
区间长度为i 2/ε， 3分
覆盖A 的区间长度之和为
ε（)2/12/12/12 ++++n =ε 7分 由ε的任意性，可知 m *A=0 10分 | 6 3≥∀a .14 E[f >a ]=∅ 可测 3分 14.33<≤a E[f >a ]=3.14,可测 5分 31<≤a }1{]1,0[][⋃=>中的无理数a f E 7分 a <1, E[f >a ]=[0,1]可测 10分 故函数可测
| 7，（1） 反证法, 利用实数的正规表示. 假设(0,1)可数,
(0,1)={} n r r r ,,,21 3分 n a a a r 112111.0= …………………… n r =0. nn n n a a a 21
………………………. 5分 可以找到一个实数不同于上面的所有数 i a a a 21.0
| 取=i a ⎩
⎨⎧=≠1211ii ii a a 当当
矛盾 7分 （2）反证法 如果)1,0(⋃Q 是可数集，则(0,1)可数,矛盾 10分。