专题2.2 一元一次不等式【九大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.2 一元一次不等式【九大题型】
【北师大版】
【题型1 一元一次不等式的概念辨析】 (1)
【题型2 一元一次不等式的解法】 (3)
【题型3 一元一次不等式的整数解】 (5)
【题型4 在数轴上表示不等式的解】 (7)
【题型5 含参数的一元一次不等式的解法】 (10)
【题型6 一元一次不等式的最值问题】 (12)
【题型7 解|x|≥a型不等式】 (14)
【题型8 方程与不等式的综合求参数范围】 (18)
【题型9 新定义问题与不等式的综合运用】 (21)
【知识点一元一次不等式】
（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
【题型1一元一次不等式的概念辨析】
【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）已知(m+2)x|m+3|−1>2是关于x的一元一次不等式，求m 的值．
【答案】−4
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：依题意得|m+3|=1，且m+2≠0，
∴m=−4．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）下列是一元一次不等式的是（）A．4x+3B．5x2−3>1C．x−3y>1D．5−x≤1
【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】A、4x+3为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
B、5x2−3>1中未知数的次数是2，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
C、x−3y>1中含有2个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
D、5−x≤1中含有1个未知数，未知数的次数是1，是一元一次不等式，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1-2】（2023春·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）−x≥5；（2）y−3x<0；（3）x
π
+5<0；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（）
A．2个B．3个C．4个D．0个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：（1）−x≥5，是一元一次不等式；
（2）y−3x<0，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
+5<0，是一元一次不等式；
（3）x
π
（4）x2+x≠3，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．
【变式1-3】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）若(m+1)x m2−3>0是关于x的一元一次不等式，则m 的值为．
【答案】1
【分析】利用一元一次不等式的定义列式求解即可．
【详解】解：∵(m+1)x m2−3>0是关于x的一元一次不等式，
∴m2＝1且m＋1≠0，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．【题型2 一元一次不等式的解法】
【例2】（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市第十五中学校考期末）当x 取何值时，代数式x 32
与2x−1
3的值的差不大于1．【答案】x ≥5
【分析】根据题意，列出不等式，进行求解即可．−2x−1
3≤1，
去分母，得：3(x +3)−2(2x−1)≤6，去括号，得：3x +9−4x +2≤6，移项，得：3x−4x ≤6−2−9，合并同类项，得：−x ≤−5，系数化为1，得：x ≥5.
【点睛】本题考查解一元一次不等式．解题的关键是正确的列出不等式．
【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）下面是兰兰同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：解不等式：
x 14
−2x−1
3>2．
解：去分母，得3(x +1)−4(2x−1)>24 第一步去括号，得3x +3−8x +4>24 第二步移项，得3x−8x >24+3+4 第三步合并同类项，得−5x >31 第四步系数化为1，得x <−31
5 第五步任务：
(1)上述过程中，第一步的依据是________，第________步出现错误，具体错误是________．(2)该不等式的解集是________________．【答案】(1)不等式的性质2，三，移项时没有变号
(2)x<−17
5
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤和方法判断解答；
（2）求出不等式的解集即可作答．
【详解】（1）解：上述过程中，第一步的依据是不等式的性质2（不等式的两边乘以同一个正数，不等号的方向不变），第三步出现错误，具体错误是：移项时没有变号；
故答案为：不等式的性质2，三，移项时没有变号；
（2）解：去分母，得3(x+1)−4(2x−1)>24，
去括号，得3x+3−8x+4>24，
移项，得3x−8x>24−3−4，
合并同类项，得−5x>17，
系数化为1，得x<−17
；
5
．
故答案为：x<−17
5
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）解不等式：
(1)5(x−1)+2>3x+1；
2x−5
3
【答案】(1)x>2
(2)x>7
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵5(x−1)+2>3x+1，
∴5x−5+2>3x+1，
∴5x−3x>1+5−2，
∴2x>4，
∴x>2；
（2）解：∵
x 35
<
2x−5
3
−1，∴3(x +3)<5(2x−5)−15，∴3x +9<10x−25−15，∴3x−10x <−25−15−9，∴−7x <−49，∴x >7．
【点睛】本题考查解不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．【变式2-3】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）非负数x ，y 满足x−12
=
2−y
3
，记W =3x +4y ，W 的最大
值为m ，最小值n ，则m +n = ．【答案】21【分析】将x−1
2=2−y
3
变形，得到x =
7−2y
3
，y =
7−3x
2
，将其分别代入W =3x +4y 即可求得答案．
【详解】将x−12
=
2−y
3
变形，得x =
7−2y
3
，y =
7−3x
2
．将x =
7−2y
3
，y =
7−3x
2
分别代入W =3x +4y ，得
W =7+2y ，W =14−3x ．∵x ≥0，y ≥0，
∴W =14−3x ≤14，当x =0，W 可以取得最大值，最大值m =14，W =7+2y ≥7，当y =0，W 可以取得最小值，最小值n =7．∴m +n =14+7=21．故答案为：21．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键在于通过等量代换得到不等式．【题型3 一元一次不等式的整数解】
【例3】（2023春·河南新乡·八年级校考期中）若代数式5x 4
6
的值不小于78−1−x 3的值，则满足条件的x 的最
小整数值为 ．【答案】0
【分析】根据题意得出关于x 的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x 的范围，继而可得答案．
【详解】解：根据题意得5x4
6≥7
8
−1−x
3
，
去分母得，4(5x+4)≥21−8(1−x)，
去括号得，20x+16≥21−8+8x，
移项得，20x−8x≥21−8−16，
合并同类项得，12x≥−3，
系数化为1得，x≥−1
4
，
则满足条件得x的最小整数值为0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3-1】（2023秋·浙江金华·八年级校考期中）已知不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，那么a满足条件（）
A．6<a<8B．a≥6C．6≤a<8D．a≤6
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围.
【详解】解：∵2x+a≥0，
∴2x≥−a，
∴x≥−a
2
.
∵不等式2x+a≥0的负整数解恰好是−3，−2，−1，
∴−4<x≤−3，
∴−4<−a
2
≤−3，
∴6≤a<8.
故选：C.
【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定−a
2
的取值范围.
【变式3-2】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）不等式−3x+5<12的负整数解有．
【答案】−1，−2
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，解集中的负整数就是所求的解．
【详解】解：解不等式不等式−3x+5<12得：x>−7
．
3
则负整数解是：−1，−2．
故答案为：−1，−2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
【变式3-3】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）已知关于x的方程2x−a=3，若该方程的解是不等式3 (x−2)+5<4(x−1)的最小整数解，求a的值．
【答案】5
【分析】先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最小整数解，即可求出x的值，将x的值代入方程即可求出a的值．
【详解】解：∵3(x−2)+5<4(x−1)，
去括号，得：3x−6+5<4x−4，
移项，得3x−4x<−4+6−5，
合并同类项，得−x<−3，
系数化成1得：x>3．
则最小的整数解是4．
把x=4代入2x−a=3得：8−a=3，
解得：a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．
【题型4在数轴上表示不等式的解】
≤x+2的解集在数轴上表示正确的是（）【例4】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）不等式x−4
3
A．B．
C． D.
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，去分母，移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，再将不等式解集表示在数轴上即可．
≤x+2，
【详解】解：x−4
3
去分母得，x−4≤3x+6，
移项合并同类项得，2x≥−10，
系数化为1得：x≥−5，
解集在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，将不等式解集表示在数轴上，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式4-1】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）整式5m−P．
(1)当m=3时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的正整数值．
【答案】(1)14
(2)1和2
【分析】（1）将m=3直接代入计算即可；
（2）根据P的取值范围求出m的取值范围，问题即可作答．
【详解】（1）当m=3时，P=5m−=53−=14，
即：P的值为14；
（2）根据数轴可知：P的取值范围为P≤9，
∴5m−≤9，
解得：m≤2，
∴m的正整数值为：1、2．
【点睛】本题主要考查了已知字母的值求解代数式的值，根据求解不等式的解集以及在数轴表示解集等知识，得到P的取值范围为P≤9，是解答本题的关键．
的解集在数轴上表示如图所【变式4-2】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如果关于x的不等式x≥a−1
2
示，那么a的值为．
【答案】-3
【分析】根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于a的方程，解之可得答案．
＝﹣2，
【详解】解：根据题意知：a−1
2
∴a﹣1＝﹣4，
则a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是根据解集在数轴上的表示得出关于a的方程．
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）设“○”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设“○”的质量为x，“□”的质量为y，根据第二幅图可得到1+y=3×1求出y的值，再根据第一幅图列出不等式2x>x+y，解不等式结果为x>2，找到对应的数轴图即可．
【详解】解：设“○”的质量为x，“□”的质量为y，
根据图可知，1+y=3×1，
解得y=2，
2x>x+y，即2x>2+x，
解得：x>2，
则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图D．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的应用，不等式的求解，一元一次方程的应用，读懂题意根据题中给出的图列出相应的式子是解答本题的关键．
【题型5含参数的一元一次不等式的解法】
【例5】（2023春·上海静安·六年级上海田家炳中学校考期中）如果关于x的不等式(k−1)x>k+5和2x>4的解集相同，则k的值为．
【答案】7
【分析】先得出2x>4的解集x>2，根据两个不等式的解集相同可得k−1>0，且(k−1)x>2(k−1)，即可得2(k−1)=k+5，解方程即可求解．
【详解】∵2x>4，
∴x>2，
∵关于x的不等式(k−1)x>k+5和2x>4的解集相同，
∴(k−1)x>k+5的解集为x>2，
∴k−1>0，且(k−1)x>2(k−1)，
∴2(k−1)=k+5，
解得：k=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了不等式的求解以及一元一次方程的应用等知识，根据题意得出k−1>0，且(k−1)x>2 (k−1)，进而得出方程2(k−1)=k+5，是解答本题的关键．
【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的不等式2m−mx
2>1
2
x−1．
(1)当m=1时，求该不等式的正整数解
(2)m取何值时，该不等式有解，并求出其解集
【答案】(1)1
(2)当m≠−1时，不等式有解，当m>−1时，原不等式的解集为x<2；当m<−1时，原不等式的解为
x>2
【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．【详解】（1）当m=1时，原不等式为∶
2−x 2≥1
2
x−1．
去分母，得∶
2−x>x−2．
解得x<2．
∴它的正整数解为1．
（2）2m−mx
2>1
2
x−1．
去分母，得∶
2m−mx>x−2．
移项，合并同类项，得∶
(m+1)x<2(m+1)．
当m≠−1时，不等式有解，
当m>−1时，原不等式的解集为x<2；
当m<−1时，原不等式的解为x>2．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）已知不等式2x−m<3(x+1)的负整数解只有5个，则m 的取值范围是．
【答案】2<m≤3
【分析】解不等式得x>−3−m，由于只有5个负整数解，故可判断−3−m的取值范围，再解不等式组求出m 的取值范围．
【详解】解：去括号，得：2x−m<3x+3，
移项，得：2x−3x<3+m，
合并同类项，得：−x<3+m，
系数化为1，得：x>−3−m，
∵不等式的负整数解只有5个，
∴−6≤−3−m<−5，
解得：2<m≤3，
故答案为：2<m≤3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．
【变式5-3】（2023春·辽宁营口·八年级校考期中）x−x−5
3
的解都能使不等式x>2m+3成立，则实数m的取值范围是．
【答案】m≤−7
2
【分析】解不等式x2
2<x−x−5
3
，得x>−4，据此知x>−4都能使不等式x>2m+3成立得到2m+3≤−4，
从而得解．
【详解】解不等式x2
2<x−x−5
3
，得x>−4，
∵x>−4都能使不等式x>2m+3成立，
∴2m+3≤−4，
∴实数m的取值范围是m≤−7
2
，
故答案为：m≤−7
2
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．【题型6一元一次不等式的最值问题】
【例6】（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知实数a，b，c，a+b=2，c−a=1．若a≥−3b，则
a+b+c的最大值为．
【答案】6
【分析】由c−a=1得c=a+1，与a+b=2相加得a+b+c=a+3，由a+b=2及a≥−3b，可得a的最大值为3，从而得出a+b+c的最大值．
【详解】解：由c−a=1得c=a+1，
由a+b=2得a+b+c=a+3，
∵a+b=2及a≥−3b，
∴a≥−3(2−a)解得：a≤3，
∴a的最大值为3，
∴a+b+c的最大值=3+3=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．
【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知有关x的方程x1
2=1−x−1
5
的解也是不等式2x-3a<5的一
个解，求满足条件的整数a的最小值．
【答案】0
【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．
【详解】原方程可化为：5(x+1)=10−2(x−1)，
即7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，
解不等式得：a>−1，
所以整数a的最小值为0．
【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）已知x<a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．
（2）已知x>a的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是．
【答案】3<a≤4−3≤a<−2
【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．
（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．
【详解】解：（1）∵x<a的解集中的最大整数为3，
∴3<a≤4，
故答案为：3<a≤4.
（2）∵x>a的解集中最小整数为-2，
∴−3≤a<−2，
故答案为：−3≤a<−2．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式2x−1≤13中的最大值是m，不等式−3x−1≤−7中的最小值为n，则不等式nx+mn<mx的解集是．
【答案】x>14
5
【分析】解不等式2x-1≤13得到x的范围，就可以求出m的值；同理可以求出n的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式．
【详解】解：解不等式2x−1≤13，
解得x≤7，
则m=7．
解不等式−3x−1≤−7，
解得x≥2，
则n=2．
∴不等式nx+mn<mx为：2x+14<7x，
．
解得：x>14
5
.
故答案为：x>14
5
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键．
【题型7解|x|≥a型不等式】
【例7】（2023春·四川眉山·八年级校考期中）请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的绝对值是是小于3的，所以|x|<3的解集为−3<x<3；
对于绝对值不等式|x|>3，从图2的数轴上看：小于－3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|>3的解集为x<−3或x>3．
(1)不等式|2x|<5的解集为______
(2)不等式2⋅|3x−1|>10的解集为______
(3)已知关于x、y的二元一次方程组2x−y=4m−5
x+4y=−7m+2的解满足|x−2y|≤10，其中m是非负整数，求m的值．
【答案】(1)−5
2<x<5
2
；
(2)x>2或x<−4
3
；
(3)m的取值为0，1，2．
【分析】（1）理解题意，根据绝对值的性质可得，−5<2x<5，求解即可；
（2）由不等式可得|3x−1|>5，再根据绝对值求解即可；
（3）根据|x−2|≤10，求得x的取值范围，再将m当成已知数，求得x的取值，再根据x的取值范围求得m的取值即可．
【详解】（1）解：由|2x|<5可得，−5<2x<5
−5 2<x<5
2
；
（2）由2⋅|3x−1|>10可得，|3x−1|>5
即3x−1>5或3x−1<−5
解得x>2或x<−4
3
；
（3）解：由2可得：−10≤x−2y≤10
2x−y=4m−5 ①
x+4y=−7m+2 ②
①×4+②可得：9x=9m−18，解得x=m−2
将x=m−2代入①可得：2m−4−y=4m−5，解得y=−2m+1 x−2y=m−2−2(−2m+1)=5m−4
则−10≤5m−4≤10
∴−6
5≤m≤14
5
∵m是非负整数
∴m的取值为0，1，2
【点睛】此题考查了绝对值不等式的求解，二元一次方程组的求解，一元一次不等式求解，解题的关键是熟练掌握相关求解方法．
【变式7-1】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）不等式|x−1|<1的解集是（）A．x>2B．x<0C．0<x<2D．x<0或x>2
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分x−1>0、x−1<0，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．【详解】
解：①当x−1≥0，即x≥1时，原式可化为：x−1<1，
解得：x<2，
∴1≤x<2；
②当x−1<0，即x<1时，原式可化为：1−x<1，
解得：x>0，
∴0<x<1，
综上，该不等式的解集是0<x<2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．【变式7-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）解不等式：||x|−4|+|2x+3|>8
【答案】x＜-5或x＞1
【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．【详解】解：令|x|−4=0，解得：x=±4，
令2x+3=0，解得：x=−3
，
2
∴当x＜-4时，−x−4−(2x+3)>8，
解得：x＜-5，
∴此时x＜-5；
时，x+4−(2x+3)>8，
当-4≤x＜−3
2
解得：x＜-7，
∴此时无解；
≤x＜0时，x+4+2x+3>8，
当−3
2
解得：x＞1
，
3
∴此时无解；
当0≤x＜4时，−x+4+2x+3>8，
解得：x＞1，
∴此时1＜x＜4；
当x≥4时，x−4+2x+3>8，
解得：x＞3，
∴此时x≥4；
综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级校考期中）阅读理解：
例1．解方程|x|=2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|=2的解为
x=±2．
例2．解不等式|x−1|>2，在数轴上找出|x−1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为−1或3，所以方程|x−1|=2的解为x=−1或x=3，因此不等式|x−1|>2的解集为x<−1或x>3．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x−2|=3的解为________
(2)解不等式：|x−2|≤1．
(3)解不等式：|x−4|+|x+2|>8．
【答案】(1)x=−1或x=5
(2)1≤x≤3
(3)x>5或x<−3
【分析】（1）利用在数轴上到−2对应的点的距离等于5的点对应的数为5或−1，求解即可；
（2）先求出|x−2|=1的解，再求|x−2|≤1的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x−4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x−4|+|x+2|>8的解集．
【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为−1或5，
∴方程|x−2|=3的解为：x=−1或x=5，
故答案为：x=−1或x=5．
（2）解：在数轴上找出|x−2|=1的解，如图：
∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程|x−2|=1的解为x=1或x=3，
∴不等式|x−2|≤1的解集为1≤x≤3．
（3）解：在数轴上找出|x−4|+|x+2|=8的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和−2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值，∵在数轴上4和−2对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或−2的左边，
若x对应的点在4的右边，可得x=5；
若x对应的点在−2的左边，可得x=−3，
∴方程|x−4|+|x+2|=8的解是x=5或x=−3，
∴不等式|x−4|+|x+2|＞8的解集为x>5或x<−3．
【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解|x1−x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．
【题型8方程与不等式的综合求参数范围】
【例8】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）关于x，y的方程组x+y=4
y=2a的解满足x<2y，则a的取值范
围为.
【答案】a>2
3
【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，再代入已知不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：x+y=4①
y=2a②，
将②代入①得，x+2a=4，
解得x=4−2a，
∵x<2y
∴4−2a<4a，
，
解得a>2
3
；
∴a的取值范围为a>2
3
.
故答案为：a>2
3
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题关键．
【变式8-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知关于x的方程5x−2k=6+4k−x的解是非负数，求字母k的取值范围．
【答案】k≥−1
【分析】先求出原方程的解，可得x=k+1，再由k+1≥0，即可求解．
【详解】解：5x−2k=6+4k−x
移项合
项得：6x=6k+6，
解得：x=k+1，
∵方程的解是非负数，
∴k+1≥0，
∴k≥−1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式8-2】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）已知：x,y满足3x−4y=5．
(1)用含x的代数式表示y，结果为y=________；
(2)若y满足y≤x，求x的取值范围；
(3)若x,y满足x+2y=a，且x>2y，求a的取值范围．
【答案】(1)3x−5
4
(2)x≥−5
(3)a<10
【分析】（1）移项即可用含x 的代数式表示y ；
（2）先用含x 的代数式表示y ，根据y ≤x 列出不等式，解出不等式；
（3）解二元一次方程组，用含a 的代数式表示x ，y ，在列出不等式，求出a 的取值范围．【详解】（1）解：将x 移到方程的右边，得到−4y =−3x +5两边同时除以−4得到y =
3x−5
4，故答案为：
3x−54
；（2）解：∵y =3x−5
4
,y ≤x ，
∴
3x−5
4
≤x ，
∴3x−5≤4x ，∴3x−4x ≤5，∴−x ≤5，∴x ≥−5，
∴x 的取值范围是x ≥−5；
（3）解：由3x−4y =5,x +2y =a 联立，解得x =2a 55
y =
3a−510
∵x >2y ，∴
2a 55
>2×
3a−5
10
，解得a <10．
∴a 的取值范围是a <10
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，正确列出不等式是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·四川眉山·八年级校考期中）已知关于x 、y 的方程组x +y =1−a
x−y =3a +5
，满足x ≥12y ，则下列结论：①a ≥−2；②a =
−5
3时，x
=y ；③当a =−1时，关于x 、y 的方程组x +y =1−a
x−y =3a +5
的解也是
方程x +y =2的解；④若y ≤1，则a ≤−1，其中正确的有 （填序号）【答案】①②③
【分析】将a 当成已知数，求得x ，y ，对选项逐个判断即可．
【详解】解：x +y =1−a ①x−y =3a +5 ②
①+②可得：2x =2a +6，解得x =a +3
①−②可得：2y =−4a−4，解得y =−2a−2
由x ≥12y 可得：a +3≥12(−2a−2)，解得a ≥−2，①正确
当a =−53时，x =−53+3=43，y =−2
−
=4
3∴x =y ，②正确，
当a =−1时，x =2，y =0满足x +y =2，∴关于x 、y 的方程组x +y =1−a x−y =3a +5 的解也是方程x +y =2的解；③
正确，
由y ≤1可得−2a−2≤1，解得a ≥−32，④错误
正确的为①②③
故答案为：①②③
【点睛】此题考查了二元一次方程租的求解，一元一次不等式的求解，解题的关键是正确求得二元一次方程组的解．
【题型9 新定义问题与不等式的综合运用】
【例9】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）定义一种法则“*”：x ∗y =x +y (x >y )x−y (x ≤y ) ，如：
3∗4=
−1m−6)∗9=32m ，则m 的取值范围是（ ）A ．m >12
B ．m ≤12
C ．m >27
D ．m ≤27
【答案】A
m−6)∗9=32
)>9
m−6)≤9 m−6)∗9=3
2m ，可得32(m−6)>9，计算求解即可．
m−6)∗9
=32
)>9
m−6)≤9 ，
m−6)∗9=3
2m ，∴3
2(m−6)>9，
解得，m >12，
故选A ．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意．
【变式9-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）现规定一种运算：a ∗b =ab +a−b ，如3∗2=3×2+3−2=7，若2∗m >m ∗3，则m 的范围 ．
【答案】m <53
【分析】由题意知，2∗m =2m +2−m =m +2，m ∗3=3m +m−3=4m−3，由2∗m >m ∗3，可得m +2>4m−3，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，2∗m =2m +2−m =m +2，m ∗3=3m +m−3=4m−3，
∵2∗m >m ∗3，
∴m +2>4m−3，
解得m <53，
故答案为：m <53．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式9-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）对于实数对a ，b ，定义偏左数为P l =2a b 3，偏右数为
P r =2x−2，3−x ，若P l −P r ≤1，则x 的最大整数值是 ．
【答案】2
【分析】首先根据题意，分别算出P l 、P r ，然后再根据P l −P r ≤1，得出关于x 不等式，解出即可得出结果．
【详解】解： 根据题意，可得：P l =2(2x−2)3−x 3=x−13，P r =2x−22(3−x )3=43，∵P l −P r ≤1，
∴把P l 、P r 代入，可得：x−13−43≤1，
解得：x ≤83，
∴x 的最大整数值为：2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，解本题的关键在理解新定义运算．。