九年级数学期末复习题：综合解答题分专题例析

新人教版九年级数学上册期末复习：
综合解答题分专题例谈
编写： 赵化中学 郑宗平
九年级上期数学统考中的综合解答题相对于统考试卷内的其它题目有一定难度系数的，在统考和中考常以压轴题的形式出现；下面我分专题编选了几种类型的综合解答题，每个专题又分为试题赏析、典型题例和追踪练习：试题赏析进展考点分析和解答，附有点评；解答标准书写，标注得分点；典型例题以师生互动的方式进展；追踪练习供课堂内外有余力的同学进一步提升.所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！另外在最后还选编了一局部与现行的新人教版内容相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力.
专题一：以圆为基架的综合题
一、试题赏析：
24.〔2021-2021上学期统考〕正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 切⊙O 于点E ，交AD 于点F ，且切点E 在正方形的内部，AE 、BE 的长是2
30x x m 的两实根，令2
n AB =
. ⑴.求n 与m 函数关系式，并求出自变量m 的取值范围； ⑵.求m 的值和AF 的长.
考点：正方形的性质、圆的根本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线
的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等.
分析：⑴.由于AE 、BE 是ABE 的两直角边，而AB 是其斜边，所以本问应从
2n AB =和勾股定理切入；AE 、BE 的长是230x x m 的两实根，根据一元二次方程根
的根与系数的关系定理〔韦达定理〕进展变换可以推出n 与m 函数关系式.再由一元二次方程根的判别式可得出自变量m 的取值范围.
⑵.①.根据韦达定理可知m AE BE =⋅,分别求出AE BE 、就可求出m 的值.连接OC 交
BE 与M ,根据三角形的中位线定理，可知AE 2OM =,在此根底上利用切线长定理、全等三角形和垂径定理的知识可以得出AE 和BE 之间的数量关系，由AE BE 3+=建立方程可以求出AE BE 、的值，从而求出m 的值. ②. 由2n AB =、n 92m =-和①m 的值可以求出AB 的值，从而得出正方形的边长的值.根据切线长定理可知：,AF EF CE CB ==；进展代换后在Rt CDF 中，CD AB =， ,CF CE EF AB AF DF DA AF AB AF =+=+=-=-,由于AB 的值在①问中已求出，所以
根据勾股定理在Rt CDF 建立方程可以求出AF 的值；也可以在Rt OFC 用同样的方法求出AF 的值.
略解：
⑴.∵AE BE 、的长是方程2x 3x m 0-+=两个实根
∴,AE BE 3AE BE m +=⋅=
…… 1分
∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=90°∴222AB AE BE =+ …… 2分 ∴()2
2AB AE BE 2AE BE 92m =+-⋅=- 又∵2n AB = ∴n 92m =- …… 4分
∵AE BE ≠ ∴
94m 0=->且m 0> ∴90m 4
<<
…… 5分 又∵92m 0->即9m 2<
∴函数自变量的取值范围是：90m 4
<< …… 6分
⑵.连接OC OF 、分别交BE AE 、于M N 、,连接OE …… 7分 ∵CE 、CB 都是⊙O 的切线， ∴,ECO BCO CE CB ∠=∠=
∴OM 垂直平分BE ，即OM ⊥BE 、EM=BM. …… 8分 又∵O 是AB 的中点，∴OM 是△ABE 的中位线
∴AE=2OM …… 9分 ∵在△ABE 和△BMC 中：AB=BC ，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB ∴△AEB ≌△BMC ∴MC=BE ∴MC=BE=2BM=4OM …… 10分 设0M x =,那么,AE BM 2x BE MC 4x ====
∵AE BE 3+=，即2x 4x 3=+，解得：1
x 2=
…… 11分 ∴AE 1BE 2==，.∴m AE BE 2=⋅= …… 12分
又 ∵2n AB = n 92m =- ∴AB n 92m 945==-=-= ∵四边形ABCD 是正方形
∴,DC DA CB AB 5D 90====∠=
∵FA 、FE 、CE 、CB 都是⊙O 的切线， ∴,FA AE CE CB == 设AF y =，那么FE y =
∴,,CF CE EF AB AF 5y CD AB 5DF DA AF AB AF 5y =+=+=+===-=-=- ∵在Rt
CDF ，D 90∠=
∴222CF DF DC =+ 即(
)()(
)
22
2
5y
5
5y +=
+
-
…… 13分
∴解得5y =
； 故5AF = …… 14分
也可以在Rt OFC 用同样的方法求出AF 的值：这是由于222CF OF OC =+
故 22215(5)(2)24y y +=+++ 解得45=y ；故AF=4
5
.
点评：此题的⑴问不难，只有222AB AE BE =+有个配方变换，其余按常规解法解答即可.此
题的⑵问由于有m AE BE =⋅，所以分别求出AE BE 、是本问的突破口，又AE BE 3+=，所 以找出AE BE 、两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点.要找出AE BE 、之间的数量关系，直接的条件没有；但在连接OC 后与BE 交点M 所新构成三角形和线段OM 作为“中间过渡〞就成了关键中的关键.调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形知识就能找出AE BE 、之间的数量关系.本问求线段AF 可以化归在直角三角形中，利用勾股定理解决.
F
E
O
D A
二、典型题例
如图，PB 切⊙O 于B 点，直线PO 交⊙O 于点E F 、，过点B 作 PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C 连结BC AF 、. ⑴.求证：直线PA 为⊙O 的切线；
⑵.假设,::BC 6AD FD 12==BC ＝6,求⊙O 的半径的长． 分析：师生互动形式进展. 三、追踪练习：
1.如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为5cm ,D E 、分别是ACB ∠
的平分线与⊙O 、AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC PE =.
⑴.求AC AD 、的长； ⑵.试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分 DAB ∠,AD CD ⊥,垂足为D ,AD 交⊙O 于E ,连接CE . ⑴.判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
⑵.假设E 是AC 的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影局部的面积.
3.，如图，以Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ,D 是BE 上的点，且
有AC CD =,连接CD BD 、，在BD 延长线上取一点E ,使DCE CBD ∠=∠.
⑴.求证：CE 是⊙O 的切线；
⑵.
假设CD =,DE 和CE 的长度的比为1
2
,求⊙O 的半径.
专题二：以二次函数为基架的综合题
一、试题赏析：
24.〔2021-2021 上学期统考〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 6=++经过点(),A 30-和点(),B 20,直线
y h =〔h 为常数，且0h 6<<〕与BC 交于点D ,与y 轴交于点E ,与AC 交于点F ,与抛物线
在第二象限交于点G .〔图形见此题解答的最后〕 ⑴.求抛物线的解析式；
⑵.连接BE ,求h 为何值时，BDE 的面积最大；
⑶.一定点(,)M 20-.问：是否存在这样的直线y h =，使OMF 是等腰三角形？假设存在，请求出h 的值和点G 的坐标；假设不存在，请说明理由.
考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值〔最小值〕问题、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等.
分析：⑴. 2y ax bx 6=++存在两个待定系数a b 、，只需要两对变量即可求出，恰好题中给出
了(),A 30-和点(),B 20，用待定系数法便可求出此函数的解析式.
⑵.确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，假设能把
BDE 的面积表
示为关于h 的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离〔表示出点的坐标往往是函数为基架的综合题的关键〕，所以通过点D 的坐标来反映BDE 的底ED 和高OE 是本问的一个切入点；由于点D 是直线y h =和直线BC 交点，所以只要求出直线BC 的解析式问题便解决了；点(),B 20,而点C 同时也是抛物线与y 轴的交点，而⑴问能提供这样条件.
⑶.本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来探究.本问假设存在符合题意的直线y h =，所涉及的判断OMF 的F 直线y h =与直线AC 的交点，和⑵问的方法一样，可以先把F 用h 的式子表达出来；因为定点(,)M 20-，所以OM 2=是个定值；根据点F 的坐标利用勾股定理把OF 和MF 表示出来，然后分为：①.OF OM =;②. OF MF =;③. OM MF =讨论其存在性.
略解：⑴.2
y ax bx 6=++经过点(),A 30-和点(),B 20 〔示意图见解答的最后〕 ∴ ⎩⎨
⎧=++=+-0
6b 2a 40
6b 3a 9 解得： ⎩⎨
⎧-=-=1
b 1a ∴解析式6x x y 2+--= …… 3分 ⑵.抛物线2y x x 6=--+与y 轴交点()C 06，.
设直线BC 的解析式为m kx y +=，那么⎩⎨⎧=+=0m k 26m ∴⎩
⎨
⎧-==3k 6
m ∴ BC 的解析式为y 3x 6=-+6x 3y +-= …… 4分 ∵直线y h = ∴)h ,0(E …… 5分
∴ D (
3h 6-，h ) ∴ 3
h
6DE -= …… 6分 ∴ 2
3
)3h (61h 3h 621S 2BDE +--=⨯-⨯=∆
∵ 6h 0<< ∴ 当3=h 时，BDE 的面积最大，最大面积为2
3 …… 7分
⑶.存在符合题意的直线h y =，设直线AC 的解析式为p nx y +=
-3n p 0p 6+=⎧⎨=⎩ 即n 2
p 6=⎧⎨
=⎩
∴ AC 的解析式为y 2x 6=+ …… 8分
∵F 直线y h =与直线AC 的交点 ∴ F (2
6
-h ，h ) ∵ (,)M 20- ∴OM 2=
在
OMF 中，OM 2=
, OF MF == …… 9分 ①.假设OF OM =
2=，整理得：25h 12h 200-+= ∵△=－
2560<，此方程无解. ∴OF OM =不成立 …… 10分
②.假设OF MF =，那么
22h )22
6
h (h )26h (
22++-=+- 解得：4h =
A
把y h 4==代入2y x x 6=--+，得2x x 20+-= ∴=-12x 2x 1=，
∵ 点G 在第二象限， ∴点G 的坐标为〔－2，4〕 …… 11分
③.假设OM MF =
2= 解得：1h 2=， 26h 5=- 〔不合题意舍去〕
把y h 2==代入2y x x 6=--+，得2x x 40+-=
∴12x x =
∵ 点G 在第二象限， ∴点G
的坐标为2⎫
⎪⎪⎝⎭
…… 12分 综上所述，存在直线y 2=或y 4=使OMF 是等腰三角形.
…… 13分 当y 2=时，点
G 2⎫
⎪⎪⎝⎭
；当y 4=时，点G 〔－2
14分
点评：此题是一道典型的“二次综合题〞.三个问的 突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次 函数图象及其性质运用打下根底；特别是第⑶ 是问一个存在性问题，考察了分类讨论的思想
个方程的思想.
二、典型题例
如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,
线2
y x bx
c =++经过A B 、两点，抛物线的顶点为⑴.求b c 、的值；
⑵.点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点 (点A B
、除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物 线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；
⑶.在⑵的条件下：
①.求以点E B F D 、
、、为顶点的四边形的面积；
②.在抛物线上是否存在一点P ,使EFP 是以
EF 为直角边的直角三角形? 假设存在，求出所有
点P 的坐标；假设不存在，说明理由. 分析：师生互动形式进展.
三、追踪练习： 1.如图，点A 在x 轴上，OA 4=,将线段OA 绕点O 顺时 针旋转120°至OB 的位置． ⑴.求点B 的坐标； ⑵.求经过A O B 、、的抛物线的解析式； ⑶.在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使 得以点P O B 、、为顶点的三角形是等腰三角形？
假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(),20，点C 的坐标为
(),03。

它的对称轴是直线1
x 2
=-.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等 腰三角形时，求M 点的坐标.
3.在平面直角坐标系xOy 中〔O 为坐标原点〕，抛物线2y x bx c =++过点()(),-A 40B 13、，
. ⑴.求b c 、的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
⑵.设抛物线的对称轴为直线l ，点(),P m n 是抛物线上在第一象限的点，点E 与点P 关于直线l 对称，点E 与点F 关于y 轴对称，假设四边形OAPF 的面积为48，求点P 的坐标；
⑶.在⑵的条件下，设M 是直线l 上任意一点，试判断MP MA +是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值及相应的点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.
专题三：圆与二次函数共同搭建的综合题
一、试题赏析： 27．〔2021年中考〕如图，抛物线l 交x 轴于点()(),,A 30B 10-、，交
y 轴于点(),C 03-．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线1l ．
⑴.求1l 的解析式；
⑵.在1l 的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点1A 及C 两点的
距离差最大，并说出理由；
⑶.平行于x 轴的一条直线交抛物线1l 于E F 、两点，假设以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．
考点： 二次函数综合题.性质、三角形三边之间的关系、方程以及分类讨论的思想等. 分析：
⑴.首先求出翻折变换后点A B 、所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线1l 的解析式； ⑵.如图2所示，连接1B C 并延长，与对称轴x 1=交于点P ，那么点P 即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系〔三角形两边之差小于第三边〕可以证明此结论．为求点P 的坐标，首先需要求出直线B 1C 的解析式； ⑶.如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F 〔或点E 〕的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径． 略解：
⑴.如图1所示，设经翻折后，点A B 、的对应点分别为11A B 、;依题意，由翻折变换的性质可知()(),,11A 30B 10-、，C 点坐标不变,因此，抛物线()1l h 经过()()(),,11A 30B 10C 03--、、，三点.
6 题图 6 题备用图
假设设抛物线()1l h 的解析式为()2y ax bx c 0a 0=++=≠，那么有：9a 3b c 0a b c 0c 3++=⎧⎪
-+=⎨⎪=-⎩
解得：a 1b 2c 3==-=-、、； 故抛物线1l 的解析式为：2y x 2x 3=--.
⑵.抛物线()1l h 的对称轴为：b
x 12a
=-=.如图2所示，连接1B C 并延长，与对称轴x 1=交于
点P ，那么点P 即为所求;此时，111PA PC PB PC B C -=-=. 设'P 为对称轴x 1=上不同于点P 的任意一点，那么有：
''''111P A P C P B P C B C -=-<〔三角形两边之差小于第三边〕; 故''11P A P C PA PC -<-,即1PA PC -最大． 设直线1B C 的解析式为y kx b =-，那么有：
k b 0
b 3-+=⎧⎨
=-⎩
. 解得：k b 3==-； 故直线1B C 的解析式为：y 3x 3=--； 令x 1=，得y 6=-，故(),P 16-.
⑶.依题意画出图形，如图3所示，有两种情况． ①.当圆位于x 轴上方时，设圆心为D ,半径为r .
由抛物线及圆的对称性可知，点D 位于对称轴x 1=上，那么()(),,,D 1r F 1r r +. ∵点(),F 1r r +在抛物线2
y x 2x 3=--上
∴()()2
r 1r 21r 3=+-+-r ，化简得：2
r r 40--=.
解得：12171171
r r +-+=
=
〔舍去〕. 171
+
②.当圆位于x 171
- 综上所述171+171
-
点评：
本大题的⑴问根据翻折具有轴对称的性质得出抛物线1l 的三个点的坐标，利用待定系数法即可求出其解析式；
此题的⑵问首先是根据轴对称的知识连接1B C 并延长找出P 点，其次是对“距离差最大〞的理解：其一图中P 到点1A 及C 两点的距离差可以具体转化到哪条线段上，利用轴对称知识可解决〔见分析〕；其二怎样说明P 到点A 的对称点1A 及C 两点“距离差最大〞？这也是本问的一个“难点〞；其方法是在抛物线()1l h 的对称轴除P 点外再任意找一个点，通过三角形三边之间关系说明此点到1A 及C 两点的距离小于P 点到1A 及C 两点的距离即可. 求作差值最大视频解析“链接网址〞：t.qq /z704236616?preview
二、典型题例
直角坐标系平面中，点()A 100，
和点(),D 80,点C B 、在以OA 为直径的⊙M 上,四边形OCBD 为平行四边形. ⑴.求C 点坐标； ⑵.求过O C B 、、三点的抛物线解析式，并用配方法求出该 抛物线的顶点坐标和对称轴； ⑶.判断：⑵中抛物线的顶点与⊙M 的位置关系，说明理由.
分析:根据分析示意图求出⑴问的C 点坐标〔师生互动形式进展〕.
三、追踪练习 1.抛物线2y ax bx 4=++与x 轴的交点坐标是()(),,A 20B 80-、.
⑴.求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及它的解析式；
⑵.假设平行x 轴的直线与该抛物线交于M N 、两点,以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度(准确到0.01)； ⑶.连接BC ，在BC 的上方的抛物线上有一动点P ,当P 运动到什么位置时,△BCP 的面积最大,2.如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延
长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y 2x b =+交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为5，AB=4.
⑵.求证：CD 是⊙P 的切线；
⑶.假设二次函数()2y x a 1x 6=-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y 2x b =+ 值的x 的取值范围.
3.抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点C ,顶点为M ,直线CM 的解析式y x 2=--，并且线段
CM 的长为22.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.设抛物线与x 轴有两个交点()(),,12A x 0B x 0、，且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长；
⑶.假设以AB 为直径作⊙N ,请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由. 4.如图，点(),M 40，以点M 为圆心，2为半径的圆与x 轴交于点A B 、，抛物线2
1y x bx c 6
=
++x
y D
C
A
O
P
B
x y
D B C M A O x y H
E F
D B C M A O
过点A 和B ，与y 轴交于点C .
⑴.求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象；
⑵.点()Q 8m ，在抛物线21
y x bx c 6
=++上，点P 为此抛物线
对称轴上一个动点，求PQ PB +最小值；
⑶.CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在 直线的解析式.
专题四：其它类型的综合题赏析
2021-2021上学期统考
24.如图，⊙M 的圆心M 在x 轴上，⊙M 分别交x 轴于点A 、B 〔A 在B 的左边〕，交y 轴的正半轴于点C ，弦CD ∥x 轴交⊙M 于点D ，A 、B 两点的横坐标分别是方程()2x 4x 3=+的两个根. ⑴.求点C 的坐标；
⑵.求直线AD 的解析式；
⑶.点N 是直线AD 上的一个动点，求△MNB 的周长的最小值，并在图中画
出△MNB 周长最小时点N 的位置.
考点：解一元二次方程、勾股定理、圆的根本性质、垂径定理、矩形
的判定和性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质等.
分析：⑴.C 点是⊙M 与坐标轴y 轴的交点，连接MC 在Rt △COM 中求OC
可以得出C 点的坐标，斜边CM 和另一直角边ON 与⊙
M 的圆心和 半径有关，所以求出⊙M 的直径AB 是本问破题的关键，通过解 ()2x 4x 3=+求出其两个根问题便解决了.
⑵.用待定系数法求直线AD 的解析式.A 点的在第⑴问已经求出，假设把D 点的坐标求出来问题
便可以解决.
⑶.要求△MNB 的周长的最小值，关键是找出或作出M 或B 关于直线AD
的对称点，连结后从而确定动点N 点的位置，根据轴对称的性质和三角形三边之间的关系知MN BN +最小.从而得出△MNB 此时的周长有最小值.根据题中条件和⑴⑵的相关结论容易知道C 点恰好是M 关于AD 的对称点，N 点位置确定后可以将MN NB NC NB BC +=+=,把
MN BN +转化到COB 利用勾股定理解决问题.
略解：⑴.方程)3(42
+=x x 整理得01242
=--x x 即(6)(2)0x x -+= ∴ 6,221=-=x x …… 1分 ∴ 点A ，B 的坐标分别是)0,2(-A ，)0,6(B …… 2分 ∴ 点M 的坐标是)0,2(M ，OM 的半径为4.
…… 3分
连结CM 〔如图①〕，那么 32242222=-=-=OM OC OC
点C 的坐标为 )220(，C . …… 4分
〔2〕.如图①，过点M 作ME ⊥CD ，那么CE=ED=
1
2
CD …… 5分 ∵ CD ∥x 轴 ∴ ME ⊥x 轴
∴ 四边形OMEC 是矩形，∴ OE=OM=2
∴ CD=4 ∴ 点D 的坐标是(4，
…… 6分
设直线AD 的解析式为y kx b =+
那么204k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得k =， 3b = …… 7分
∴直线AD 的解析式为y =+
…… 8分
〔3〕.如图②，设直线AD 与y 轴的交点是F
当 0x =时，y =
∴ 点F 的坐标为F 〔0，3
〕 …… 9分
在Rt △OMF 中 FM ===
∵ CF OC OF MF =-== ∴ 点F 在线段MC 的中垂线上 …… 11分 ∵ MD=CD=4
∴ 点D 也在线段CM 的中垂线上 ∴ 直线AD 是线段CM 的中垂线. ∴ 点M 关于直线AD 的对称点是C …… 12分 连结BC 交直线AD 于N 〔如图②〕，连结MN ，此时MN BN +最小.那么 △MNB 就是所求作的周长最小的三角形 …… 13分
此时在△OBC 中，BC === 根据轴对称的性质可知：CN MN =
∴△MNB 的周长为MN MB CN BC BM 4++=+= ,点N 的位置如下图. …… 14分
点评：此题是几何、代数的综合题.由代数的一元二次方程根与坐标联系在一起，由坐标再与一次函数、圆、一次函数以及对称等知识串联在一起.在此题中点的坐标是解答过程中的较关键环节，比方三个问中⑴问点C 的坐标、⑵问点D 的坐标、⑶问点F 的坐标；题中的相关计算特别是点的坐标常用勾股定理来帮助〔此题3次用到勾股定理〕.此题总体难度不大，但综合的知识点较多；⑶问“点M 关于直线AD 的对称点是C 点〞算是是此题的“难点〞，这里要用垂直平分线的“判定〞定理，这是个同学们在平时没有引起重视的一个知识点.
2021-2021上学期统考
27.方程组：()2x 2k 1y 4
y x 2
⎧-+-⎪⎨=-⎪
⎩
⑴.求证：不能k 为何值，此方程组一定有实数解；
⑵.设等腰
ABC 的三边长分别为a b c 、、其中c 4=，且2x a y a =⎧⎨
=-⎩和 2x b
y b =⎧⎨=-⎩
是该方程组的两个解，求△ABC 的周长？
考点：解方程组、一元二次方程根的判别式、韦达定理、等腰三角形的性质、分类讨论等. 分析：⑴.本问关键是把关于x y 、二元方程组转化为关于x 的一元二次方程，然后从一元二次方
程根的判别式切入，问题可获得解决.
⑵.根据题意可知,x a x b ==是⑴问中一元二次方程的两个解，因此利用“韦达定理〞切
入可以得出a b +和ab 关于k 的式子，然后进展分类讨论先求出k 的值，再进一步求出 a b +和c 的值，三角形的周长可以求出.
略解：
(1).把方程②代入①得：()()2x 2k 1x 240-+--= 化简得：()2x 2k 1x 4k 20-++-=
…… 2分 ∵△=()()()2
2
22k 144k 24k 12k 92k 30-=-+=-≥+- …… 4分 ∴原方程组一定有实数解. …… 5分 (2).∵,x a x b ==是方程()2x 2k 1x 4k 20-++-=的两个解， …… 6分
∴,a b 2k 1ab 4k 2+=+=- ①.当长为c 4=的边是等腰三角形的一腰时，那么a c =或b c =
∴方程必有一根为4 ∴()()242k 14240-+--= ∴.k 25=. ∴方程为：2x 6x 80-+=
…… 7分 ∵a c 6ac 8+==、或b c 6bc 8+==、 ∴.k 25= 符合题意. ∴a b c 6410++=+=
…… 10分
②. 当长为c 4=的边是等腰三角形的一底时，那么a b =
∴方程有两个相等的实数根 ∴△= 0，即△=()2
2k 30-=
∴.k 15=. ∴方程为：2x 4x 40-+= ∴ a b 2==
∴a b c 4+== ∴.k 15=不合题意舍去.
综合上述两种情况△ABC 的周长为10. …… 14分
点评：此题的局部内容对于现行新人教版来说是属于选学和拓展性的内容，但考试中仍是考察内容或者以阅读解答出现在考题中.此题主要是转化和分类讨论思想的运用：要注意把二元转化一元方程来解答；要注意把等腰三角形的c 分为为腰和为底来讨论.在求周长时还要注意整体思想的运用.
课外选练：
1. 如图，将等腰Rt
EDF 的直角顶点D 置于等腰Rt ACB 的斜边的中点处作逆时针旋转，
DE 交BC 于点N ,DF 交AC 于点M . ⑴.求证：DM DN =
⑵.连接MN ,试探究线段MN AM BN 、、
之间的数量关系.
2.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，假设每箱以50元的价格销售，平均每天售价90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
⑴.求平均每天销售量y 〔箱〕与销售价〔元/箱〕之间的函数解析式，并写出x 的取值范围； ⑵.求该批发商平均每天销售利润ω元与销售价x 元/箱〕之间的函数解析式； ⑶.当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB 4BC 2==，,P 是⊙O 上半局部的一
个动点，连接OP CP 、 .
⑴.求△OPC 的最大面积；
⑵.求OCP ∠的最大度数 ⑶.如图2 ，延长PO 交⊙O 于点D ,连接
DB ；当CP DB =.求证：CP 是⊙O 的切线
4.：如图，抛物线22
y x
3
=-+的图象与x 轴分别交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，
⊙
M 经过原点O 及点A C 、，点D 是劣弧OA 上一动点〔D 点与A O 、
⑴
.求抛物线的顶点E 的坐标；
⑵.求⊙M 的面积；
⑶.连接CD 交AO 于点F ,延长CD 至G ,使FG 2=;
试探究:当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由
5. 用剪刀将形如图①所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两局部，其中M 为AD 中点． 用这两局部纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt BCE 就是图①裁剪的MCD 逆时针旋转拼成的一个图形．
⑴.用这两局部纸片除了可以拼成图②中的Rt BCE 外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在两个虚框内．
⑵.如图②，假设利用这两局部纸片拼成的Rt BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边
AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米，且a b 、恰好是关于x 的方程01)1(2
=++--m x m x 的
图 1图 2A A 图 2
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