江苏省无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试(数学)
2009年高考模拟试卷(无锡市区)
2009年高考模拟试卷数 学命题单位 无锡市区本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟．选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟．第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则|z|= ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版选修2-2)118P 的第4题改编而得，主要考查复数模的概念与复数的运算等基础知识，属容易题，只要根据复数的运算法则进行准确的计算就能很快地得出结果．【答案详解】由i z i 6)33(=-，得z ===∴||z =【链接高考】复数是高中数学新课程的新增内容，高考对复数的考查要求较低，常以填空题的形式出现，只考查复数的有关概念、代数运算及简单的几何意义，备考时不要过分拔高，应立足于求会、求准、求熟而不求深．2．已知集合{}2{|1},|log 1M x x N x x =>=<，则()U M N = ð ▲ ．【解题探究】本题主要考查集合的表示、集合的运算和对数函数的单调性等基础知识，属容易题，只要根据对数函数的单调性的求出集合N 中的元素，再借助数轴求出两个集合的公共部分即可．值得注意的是要注意对数的真数必须大于0，防止因忽略定义域而导致解题失误．【答案详解】{|02}N x x =<<，{|12}M N x x =<< ，∴(){|1U M N x x =≤ ð或2}x ≥． 【链接高考】集合是一种语言,是一种工具,也是一种思想,是高考必考的内容之一．根据《考试说明》的要求，江苏省高考对集合的考查主要以填空题的形式进行，难度不大，重点是集合的表示方法、集合间的关系和集合的运算等基础知识以及分类讨论和数形结合等思想方法，常常与函数、方程、不等式知识结合在一起，体现高考数学在知识点的交汇处设计命题、考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力的命题思想和命题原则．3．如图是某次大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版必修3)82P 的第10题改编而得，主要考查茎叶图的概念以及均值与方差的计算方法等基础知识，考查统计学运用样本估计总体的基本思想和识图用图的能力．求解本题，只要直接运用均值与方差的计算公式准确地进行计算即可． 【答案详解】依题意，有180(44647)855x =+++++= ， ∴22221[3(8485)(8685)(8785)] 1.65s =-+-+-=． 【链接高考】茎叶图与均值、方差等都是统计学中的重要内容，对于抽样获取的样本，用茎叶图或频率分布直方图可以使蕴含在数据之中的规律得以客观的揭示，而且富有直观、形象等特征，高考对统计知识的考查，常常以茎叶图或频率分布直方图的形式给出样本数据的规律，考查考生对统计学的思想方法的掌握情况和从图表中获取信息、处理信息的能力．在复习中对此应引起一定的重视．4．已知α是第二象限的角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为 ▲ ． 【解题探究】这是一道三角函数知值求值问题，由教材(苏教版必修4)108P 的第4题改编所得，主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角的正切公式等基础知识以及运用三角公式进行三角变换的能力．由已知条件，运用诱导公式求出sin α的值，再由同角三角函数的关系式求出tan α的值，最后根据二倍角的正切公式得到tan 2α的值．需要注意的是，运用同角三角函数的基本关系式时，要由角的象限确定根号前的符号．【答案详解】由3sin()5πα+=-，得3s i n 5α=，∵α是第二象限的角，∴4cos 5α=- 从而得3tan 4α=-，∴2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===---． 【链接高考】诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等是进行三角恒等变形的重要公式，也是高考对三角恒等变形的考查的一个重点内容和热点内容，要熟悉这些公式并能灵活地加以应用．在运用三角函数公式进行恒等变换时，要注意坚持结构同化的原则，即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函数等，其中，切函数化为弦函数也是同化思想的一种体现．5．已知数列{}n x 满足*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈，且1231001x x x x ++++= ，则101102200lg()x x x +++= ▲ ．7 8 9 9 4 4 6 4 7 3【解题探究】本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式与前n 项和的求法等基础知识和基本方法，考查推理能力、运算能力和灵活地运用所学知识分析问题与解决问题的能力．由*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈结合等差数列的定义，知数列{lg }n x 是等差数列，从而知数列{}n x 是等比数列，只要正确地运用等比数列的前n 项和公式进行计算即可使问题获解．【答案详解】 由1lg 1lg n n x x +=+得1lg lg 1n n x x +-=，∴110n nx x +=，数列{}n x 是公比为10的等比数列，∴100110n n x x +=⋅，得1010101102201231010()10x x x x x x x +++=++++= ，∴100101102200lg()lg10100x x x +++== ．【链接高考】等差数列与等比数列在江苏省2009年的《考试说明》中都被列为C 级要求，是高考考查的热点和重点，复习中，要牢固地掌握其定义、通项公式、前n 项和公式以及它们的有关性质，并能熟练地加以运用，要注意这两个特殊数列之间的内在联系，关注它们与对数、函数、方程、不等式等知识的交汇与综合，提高综合运用和灵活运用数列的知识分析问题和解决问题的能力，以适应新课程高考的要求．6．右图是一个空间几何体的三视图，各视图中的尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积是 ▲ cm 2．【解题探究】 本题由教材(苏教版必修2) 60P 的第9题改编而得，旨在考查三视图、三棱柱和球的体积公式等基础知识，考查识图用图能力、空间想象能力和运算能力，解题的关键是根 据三视图想象出几何体的直观图，再利用相应的几何体的体积公式进行计算．【答案详解】由三视图可知，空间几何体是一个水平摆放的正三棱柱（如图所示），其表面积为（18＋23）cm 2．【链接高考】几何体的投影和视图是高中数学新课程新增的教学内容，它是描述现实生活中的一些简单实物的重要手段，也是在平面上表示空间图形的重要方法．由于三视图是空间图形平面化描述的有效载体，因此能有效地考查空间想象能力和几何直观能力，从而受到新课程高考命题人员的青睐．考查三视图可以由直观图画三视图，也可由三视图画直观图，然后按传统方法求面积、体积等，既可以在填空题中出现，也可以在解答题中进行考查．7．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个33 2主视图 俯视图左视图小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．则中奖的概率为 ▲ ．【解题探究】 本题主要考查古典概型和对立事件的概率计算等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．求解本题， 由于正面的情形：“中奖”的情况比较复杂，故可以从反面入手，通过计算不中奖的概率，再运用对立事件的概率公式求出结果．【答案详解】两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1）两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2），故22()163P B =-=． 【链接高考】古典概型是一种重要的概率模型，其基本特征是实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，明确这个特征，能将实际问题转化为古典概型问题，从而借助公式()m P A n =求出结果是高考对概率问题考查的一个重点．由于没有计数原理的支持，计数的方法通常是枚举法或者是树形图法，这一点，在复习中要把握好尺度，避免在计数方法上设置障碍，人为地增加解题的难度．8．设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐 近线相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 ▲ ．【解题探究】 本题在直线与圆的位置关系和双曲线的几何性质等知识的交汇点处设计，主要考查双曲线的渐近线、准线等几何性质以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力和运用数形结合的思想、方程的思想分析问题、解决问题的能力．解题时，要注意结合图形进行分析，通过运算作出判断．【答案详解】在如图所示的坐标系下，圆心(2,0)G c 到渐近线b y x a=即0bx ay -=的距离22bc d b c ===，故圆G 的半径2r=2a x c =的距离为2222222a c a c b c c c c-+-==． ∵222222()20c b c b bc c b b c c c++---==>， ∴双曲线的右准线与圆G 的位置关系是相离．【链接高考】 圆锥曲线是解析几何中的重要内容，新课程高考降低了直线与圆锥曲线的位置关系的要求，圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质成了考查的重点，复习中，准确地理解圆锥曲线的定义，熟练地掌握圆锥曲线的方程的求法，能根据圆锥曲线的方程讨论圆锥曲线的性质，体会蕴含在这些问题中的数学思想方法显得尤为重要，必须引起足够的重视．另外，以圆锥曲线为背景，考查直线与圆的位置关系的x判定，体现高考在知识网络的交汇处设计命题的原则，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，也应在复习中予以高度的关注．9．求数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和1223(1)n S n n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++，可以采用如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得： 112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ …1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算(){}12n n b b n n n =++：（）的前n 项和123234n T =⨯⨯+⨯⨯ (1)(2)n n n +⋅⋅⋅+++，其结果为 ▲ ．【解题探究】 本题根据教材(苏教版选修2-2)72P 的例1改编而成，主要考查观察、归纳、类比和数学探究的能力．求解本题，可以从题目给出的求数列{}1n na a n n =+：（）的前n 项和的方法，类比得到求数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的方法，从而归纳得出结论，也可以由数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和的结果，直接类比得到数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的结果，关键在于掌握合情推理的方法． 【答案详解】类比数列{}n a 的前n 项和n S 的求法，先改写第k 项，有如下恒等式：()(1)2k k k ++()()1[(1)(2)3(1)(1)2],4k k k k k k k k =+++--++由此可得： 1123(12340123),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1234(23451234),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ … ()()()1(1)2[(1)(2)3(1)(1)2].4n n n n n n n n n n n ++=+++--++ 相加，得123234n T =⨯⨯+⨯⨯()1(1)(2)(1)(2)34n n n n n n n +⋅⋅⋅+++=+++．【链接高考】推理与证明也是新课程中的重要内容，江苏省2009年《考试说明》对推理论证能力的考查提出了较高的要求：能够根据已知的事实和已经获得的正确命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一命题的正确性．对这一要求的落实，新课程的高考，可能将其体现在填空题中，也可以将其以解答题的形式出现，寓推理与论证能力的考查于一体．10．已知1()sin cos f x x x =+，记'''21321()(),()(),,()()n n f x f x f x f x f x f x -=== ，*(,2)n N n ∈≥，则20091()4i i f π==∑ ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查三角函数的导数的求法和函数的周期性等基础知识与基本方法，考查灵 活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．根据正弦函数和余弦函数的导数公式，通过求导，不难发现()n f x 具有周期性，最小正周期为4，并且有1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，从而就使问题迎刃而解了．【答案详解】由题设，有''2132()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-==--， ''4354()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-+==+，∴4()()n n f x f x +=．又1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，∴2009200911()()()444i i f f f πππ====∑ 【链接高考】三角函数的导数是高中数学新课程教材中的新增内容，近几年来，全国各地的高考试题中，涌现了不少以三角函数的导数为背景和考查方向的试题，这些试题创意新颖，构思独特，对知识和能力的考查要求较高，备考复习中，要予以一定的关注和足够的重视．11．已知命题p ：1431x -≤-≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】本题根据教材(苏教版选修2—1)7P 的例1改编而得，主要考查不等式的解法、四种命题及其关系、命题的否定、充要条件等基础知识，考查运用等价转化的思想方法分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以通过求出满足条件p ⌝、q ⌝的集合,A B ，再从集合,A B 的关系入手求出实数a 的取值范围，也可以考虑其逆否命题，运用命题的等价性求解．【答案详解】命题p 即：1[,1]2M =，命题q 即：[,1]N a a =+．∵p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有1,21 1.a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩．∴102a ≤≤． 【链接高考】充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题p 和结论q 之间的逻辑关系，是考查逻辑思维能力的重要素材，是《考试说明》中要求掌握的重要知识点．在2009年的备考中，对充要条件的复习，要注意以下几点：(1)理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，弄清它们之间的逻辑关系，能正确运用概念作出判断；(2)掌握探求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件的方法，会证明命题成立的充要条件；(3)明确充要条件与等价转化之间的关系，避免由于问题变形过程中由于不等价而导致的解题错误，从而有效地提高解题的准确性．12．已知动点(,)P x y 满足约束条件3010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-10，O 为坐标原点，定点(3,4)A ，则向量OP 在向量OA 上的投影的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 这是一道简单的线性规划与平面向量的简单综合题，主要考查二元一次不等式组表示的平面区域、向量的投影等基础知识和基本方法，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题能力．给出的约束条件是平面上的一个多边形闭区域，而目标函数一般在边界处取得最值．解题时通常运用图解法，根据题意画出图形，从图形中寻求思路、获得答案，体现了数形结合的思想方法的解题价值．【答案详解】 画出不等式组30100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-1所表示的平面区域D ，向量OP 在向量OA 上的投影：||cos()||||||||OP OA OP OA OP AOP OP OP OA OA ∙∙∠=⋅= 345x y +=． 根据线性规划的知识，运用图解法，得min 343()55x y +=，max 3411()55x y +=， 故向量OP 在向量OA 上的投影的取值范 围是311[,]55． 【链接高考】在知识的交汇点处设计命题，是高考数学命题的一个重要原则，也是高考数学填空题 题型设计的一个重要特点．本题在二元一次不等式组表示的平面区域、平面向量和三角函数、简单的线性规划等知识的交汇点处设计，寓数学基础知识、数学思想方法的考查于一体，具有一定的创新性，值得我们认真研究，细细地加以体会．13．按下列流程图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若恰好运行8次才停止，则实数x 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 本题在算法、数列和不等式等知识的交汇点处设计，是一道颇具创意的好题，主要考查算法流程图、数列通项的求法与不等式组的解法等基础知识和基本方法，考查观察、归纳、推理和数学探究的能力，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以根据题目给出的流程图，求出运行n 次的结果n a 的表达式，再由5244a >，并且4244a ≤，列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求出x 的取值范围． 【答案详解】一般化处理，设第k 次运行的结果为n a ，则132a x =-，23(32)2a x =-- 23322x =-⨯-，23233(3322)2332322a x x =-⨯--=-⨯-⨯-，…，132k k a a -=- 1221313323232232(1333)3231k k k k k k k x x x ----=-⨯-⨯--⨯-=-++++=-⨯- 331k kx =-+．由题意，有87244,244.a a >⎧⎨≤⎩即8877331244,331244.x x ⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩解之得2810279x <≤． 【链接高考】算法是新课程教材中的新增内容，江苏省的高考对算法的考查一般情况下也是以填空题的形式出现，主要考查根据算法流程图和伪代码识别算法程序的能力．算法的核心思想是解决问题的方法的程序化，复习中要注意循环结构是处理递推问题的有效工具，对于我们理解数列问题的本质也很有帮助．各地高考常常以流程图的形式给出递推数列的问题，这是将算法思想综合到其他分支的范例，由于背景新颖，能有效测试数学能力，因此在复习中要予以关注，引起重视．14．若二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，则2211a c c a +++的最小值为 ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查二次函数的图象和性质以及运用基本不等式或函数的单调性求最值等基础知识和基本方法，考查灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题，可以先由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞这一条件得出0a >，1ac =，再运用基本不等式或通过消元借助函数的单调性求出最值．【答案详解】方法1由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，得0a >且min 44[()]04ac f x a-==，故有0a >，1ac =，从而也有0c >． ∴22222211()()()()a c a c a c a c c a c ac a ac c c a a a c ac a c ac a c +=+=+=+++++++++222()12()2a c a c a c a c a c +++=≥=≥=++，当且仅当1a c ==时取等号． ∴2211a c c a +++的最小值为1． 方法2 同方法1，得1,0,0ac a c =>>，且22222()211a c a c a c ac c a a c a c++-+==++++2a c a c =+-+． 令a c x +=，则2x ≥，2y x x =-在[2,)+∞上单调增，故当2x =时，min 1y =． 即2211a c c a +++的最小值为1． 【链接高考】求解二元函数的条件最值问题，是高中数学的一个重要内容，也是高考数学考查的一个重点内容．其求解思路主要有两种：一是运用基本不等式，进行整体处理；二是通过消元，转化为一元变量的函数，运用函数的单调性或导数法等方法求解．当给出的问题具备了正数、和或积的特征时，基本不等式的运用是一个有力的工具，它具有简捷明快、干净利落的特点．具体解题时，要注意检查“一正、二定、三相等”是否全部满足，以有效地防止解题错误．这些，都是高考考查的重点和热点，复习备考中切不可掉以轻心．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABCD 是矩形，4=AD ，2=AB ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，⊥PA 面ABCD（1）证明：平面⊥PAF 平面PDF ；（2）在线段PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ． 【解题探究】本题由教材(苏教版必修2)29P 的第12题改编而成，主要考查空间线线、线面和面面的平行、垂直关系的判断与证明方法，考查推理论证能力、空间想象能力和探究能力．第（1）问要证明平面⊥PAF 平面PDF ，可运用面面垂直的判定定理，通过线面垂直来实现；第（2）问要探究点G 的位置，BF P DC A E使得EG ∥平面PFD ，通常是从平行入手，寻找必要条件，再证明充分性．整个问题的求解，充分体现了空间线线、线面、面面位置关系间的相互联系与相互转化，这也是解决立体几何最基本的和最重要的思想方法．【答案详解】 (1)连结AF ，在AFD ∆中，∵AF =DF =，4AD =， ∴AF DF ⊥． ………………2分 ∵PA ⊥底面ABCD ，DF ⊂底面ABCD ，∴PA DF ⊥．又PA DF A = ，∴DF ⊥平面PAF ． …………………………4分 而DF ⊂平面PDF ，∴平面⊥PAF 平面PDF ． …………6分(2)在PA 上取点G ，使3PG GA =， 连EG ，则EG ∥平面PFD ． …………8分 证明如下：在PD 上取点N ，使3PN ND =，连GN ，在PAD ∆中， 由3PG GA =，3PN ND =， 得GN ∥AD ，并且GN 34AD =． …………10分 取DF 中点M ，连结,,GN MN EM ，则EM ∥AD ，并且13(23)324EM AD =+==． ∴GN ∥EM ，且GN EM =， ………………12分 ∴四边形EMNG 为平行四边形， ∴EG ∥MN ．∵EG ⊄平面PFD ，MN ⊂平面PFD ，∴EG ∥平面PFD ．………………14分【链接高考】由于江苏省新课程对立体几何部分教学的整体要求下降，2009的《考试说明》也强调了这一点，因此预计高考对立体几何的考查难度不会太大，特别是空间角与距离的计算会得严格的控制，考查的重点主要是空间线面平行、垂直的论证和简单几何体的面积、体积的计算．当然，不排除在考查和设问的方式方面寻求突破和创新，变传统证明型问题为判断型和探究开放型问题，以适当增加思维的力度和难度，这需要在复习中引起注意．16． (本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是ABC ∆的重心，且56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ．(1)求角B 的大小；(2)设m (sin ,cos2),n (4,1)(1),m A A k k n ==>的最大值为5，求实数k 的值． 【解题探究】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的恒等变形和解三角形的有关基础知识和基B FPD C AE G NM本方法，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．以向量为载体把三角函数和解三角形的有关内容揉合在一起，具有一定的创新性．求解第（1）小题，可由正弦定理和对平面向量的运算，得出三角形的三边a 、b 、c 满足的关系式，再由余弦定理求出角B 的余弦值，从而可结合角B 的范围求得角B 的大小；第（2）小题的求解，只要将m n 表示成关于sin t A =的函数，再运用函数最值的求法将m n的最大值用k 表示出来，从而得到k 的方程即可．【答案详解】(1)由G 是ABC ∆的重心，得0GA GB CC ++= ，∴()CC GA GB =-+ ，由正弦定理，已知等式可转化为564035()0a GA b GB c GA GB ⋅+⋅+⋅--= ，整理，得：(5635)(4035)0a c GA b c GB -⋅+-⋅= ． ………………………3分∵,GA GB 不共线， ∴56350,40350.a cbc -=⎧⎨-=⎩由此，得::5:7:8a b c =．………………5分不妨设5,7,8a b c ===，由余弦定理，得2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯． ………………7分 ∵0B π<<，∴3B π=． ………………8分（2）A A k 2cos sin 4+=⋅22sin 4sin 1A k A =-++， ………………10分由(1)得：3B π=，所以23A C π+=，故得2(0,)3A π∈．设sin (0,1]A t =∈……12分 2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈ 则，所以，当t ⋅=,1时取得最大值5．于是有：2415k -++=，32k =解得，符合题意．所以，23=k ． ………………14分 【链接高考】新课程的高考将对三角内容考查的重点转移到三角函数方面，把向量、三角函数的图象和性质、三角恒等变换以及解三角形等知识揉合在一起进行综合考查是一个显著的特点．这类问题中对平面向量的考查往往是最基本的，由于三角函数中的两角和与差的公式被列为考试说明中的C 级要求的知识点之一，是高考考查的重点，复习中要牢固掌握其公式，熟练掌握其应用，特别是三角函数与解三角形的综合问题，更要在平时的复习中认真地加以领会．17．（本小题满分14分）如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，斜坡的倾角为α(0)2πα<<，坡面的长度为x ． （1）若倾角45α=且灌溉渠的横截面面积大于5平方米，求x 的最小正整数值；（2）若斜坡坡面的长度为2米，则倾角α为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？最大值是多少？【解题探究】本题源于教材(苏教版必修1)84P 的第3题，以实际问题为背景，把生产和生活实际中的具体问题与三角函数、导数与不等式等知识有机地结合在一起，情境创设不偏不怪、平和清新，主要考查函数的单调性、导数的求法、解不等式等基础知识和基本方法，考查数学建模能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题的关键是要认真审题，弄清题意，在此基础上正确地建立起函数与不等式模型，通过求函数的最值和解不等式使问题获解． 第（1）问由于是求正整数解，因此可以运用估算的方法来处理，这是一种技巧，值得关注． 【答案详解】由题设，灌溉渠的横截面的高为sin x α米，上底长为（22cos x α+）米， ∴灌溉渠的横截面面积211(222cos )sin sin 22sin 22S x x x x αααα=++⋅=+．……2分 （1） 当45α=时，2152S x =+>， …………………………4分令21()2f x x =，则()y f x =在(0,)+∞上为增函数，且(2)25f =+<，9(3)52f =+>． ……………………………………6分 ∴灌溉渠的横截面面积大于5平方米时，x 的最小正整数值为3．………………7分（2）由已知2x =，得()2sin 24sin S g ααα==+，(0,)2πα∈． …………9分 ∴'21()4cos 24cos 4(2cos 1cos )8(cos 1)(cos )2g ααααααα=+=-+=+-．………………11分 当(0,)3πα∈时，'()0g α>，()g α单调递增；当(,)32ππα∈时，'()0g α<，()g α单调递减，故当3πα=时，()g α取得最大值，且最大值为：2()2sin 4sin 333g πππ=+= ……………………………………………13分 ∴当(0,)3πα∈时，灌溉渠的横截面面积最大，最大值是14分【链接高考】新课程强调培养学生的数学应用意识和实际应用的能力，为了体现这一理念，江苏省近几年的高考试题，在解答题中都有一道实际应用题，其特点是回归课本，从课本中寻找应用问题的载体，考查的难度不大，对学生的建模能力的要求不高，试题比较平衡，容易上手，考查的关键是如何将实际问题转化为数学问题，以及转化以后如何综合运用数学知识解决数学问题．预计2009年对应用问题的考查力αx度不会减弱，并且将会在继承中有所创新，其载体可能是三角、函数、数列、概率、统计或不等式等，题目不会太难，但能突出对主干知识的考查，注重学科间知识的联系与综合．18．(本小题满分16分) 已知圆22:4C x y +=与x 轴交于12,A A 两点，椭圆1C 以线段12A A为长轴，离心率2e =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于12,A A 的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆的右准线交于点Q ，试判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．（3）设点00(,)M x y 在直线30x y +-=上，若存在点N C ∈，使得60OMN ∠=（O 为坐标原点），求0x 的取值范围．【解题探究】 本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力、推理能力、探究能力以及分析问题和解决问题的能力．求椭圆的标准方程，一般运用待定系数法，判断直线与圆的位置关系，要注意圆的几何性质的应用，通常是考虑圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系以及圆的切线的性质的灵活应用．第(3)小题具有一定的综合性,可以从极端位置考虑，研究直线与圆相切的情形，构造出关于0x 的不等式，通过解不等式求出0x 的取值范围． 【答案详解】（1）由题意，可设所求椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，易得12(2,0),(2,0)A A -，则有：24,a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩…………………………………… 2分解之，得2,a c =2222b a c =-=．………………………………… 3分∴所求椭圆1C 的方程为22142x y +=． …………………………………… 4分 （2）直线PQ 与圆C 相切． …………………………………… 5分 证明如下：易得椭圆1C的右焦点为F，右准线为x = ………………… 6分 设点00(,)P x y ，则有22004x y +=，又00PF OQ x k k y -==-，∴直线PQ 的方。
2008-2009苏教版高三期中数学试题及答案
江苏省盐城市2008-2009高三第一学期期中调研测试题数学（正题）（本部分满分160分,考试时间120分钟）参考公式:22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d . 参考数据：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上.1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则PQ = .2、若复数21(1)z a a i =-++（a R ∈）是纯虚数，则z = .3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该 双曲线的标准方程为.4、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间（1,2）内,则下一步可断定该根所在的区间为 . 6、若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= . 7、设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； ④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则. 其中所有正确命题的序号是 .8、如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和 俯视图如图所示，则其左视图的面积为 . 9、函数sin3y x π=在区间[]0,t 上恰好取得2个最大值，则实数t 的取值范围是 .10、定义函数CONRND （,a b ）是产生区间（,a b ）内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为 . 11、 已知命题21:"[1,2],ln 0"2p x x x a ∀∈--≥与命题 2:",2860"q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题,则实数a 的取值范围是 .12、过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别 为a b 、,则422a b +的最小值为 .13、已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1nn na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .14、已知1()sin x f x e x =，1()(),2n n f x f x n -'=≥，则20081(0)i i f ==∑.第8题图正视图俯视图AB DC DCA B第10题图二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）在锐角．．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（7分）（2）设(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==,试求m n ⋅的取值范围. （7分）16、（本小题满分14分）某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成下面的 联列表: （3分）22（2）根据题（1）中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系? （5分）（3）若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求:①抽到12号的概率；②抽到“无效序号（超过20号）”的概率. （6分）17、（本小题满分15分）已知直角梯形ABCD 中, //AB CD,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.（1）求证：BC CDE ⊥面；（5分） （2）求证：//FG BCD 面；（5分）（3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由. （5分）ABCDEGF·· ACDEGF已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（7分）（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. （8分）19、（本小题满分16分）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+-- 2()(3)(log log )a x g x k x a =-+，（其中1a >），设log log a x t x a =+. （1）当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极 值；（7分）（2）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围. （9 分）已知a 为实数，数列{}n a 满足1a a =，当2n ≥时，11113(3)4(3)n n n n n a a a a a ----->⎧=⎨-≤⎩，（1）{}100100100a a S =n 当时，求数列的前项的和；（5分）（2）证明：对于数列{}n a ，一定存在*k N ∈，使03k a <≤；（5分）（3）令2(1)n n n na b =--，当23a <<时，求证：120.12ni i ab =+<∑（6分）数 学（附加题）（本部分满分40分,考试时间30分钟）一、选做题：请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定 区域内,多做者按所做的前2题给分.1、（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点 F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：F 是BD 的中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线．2、（选修4—2：矩阵与变换）二阶矩阵M 对应的变换将点（1,－1）与（－2,1）分别变换 成点（－1,－1）与（0，－2）. （1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y=4，求l 的方程．3、（选修4—4：坐标系与参数方程）求直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线)4πρθ=-所截的弦长.4、（选修4—5：不等式选讲）已知a >0,b >0,c >0,abc =1, 试证明：23)(1)(1)(1222≥+++++b a c c a b c b a .二、必做题：本大题共2小题,每小题10分,计20分,请把答案写在答题纸的指定区域内. 5、某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客 人是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点 数之差的绝对值．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）记“函数13)(2+-=x x x f ξ在区间[4,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率．6、如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF ==. （1）求二面角A-DF-B 的大小；（2）在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600 试确定点P 的位置.BEAFDC数学参考答案正题部分（计160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.()1,+∞2.23.2213664x y -= 4.4 5.3,22⎛⎫⎪⎝⎭（说明:写成闭区间也算对） 6.12 7.①③8.9.1527,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.3.16 11.(]1,42,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦12.32 13. ()8,7-- 14.50214-二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15. 解: （1） 因为（2a －c ）cosB=bcosC,所以（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC,…………………………（3分） 即2sinA cosB=sinCcosB ＋sinBcosC= sin （C ＋B ）= sinA.而sinA>0, 所以cosB=12………………（6分） 故B=60°………………………………………………………………………………… （7分） （2） 因为(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==,所以m n ⋅=3sinA ＋cos2A………… （8分）=3sinA ＋1－2sin 2A=－2（sinA －34）2＋178………………………… （10分） 由000009060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩得00000090012090A A ⎧<<⎨<-<⎩,所以003090A <<, 从而1sin ,12A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…（12分）故m n ⋅的取值范围是172,8⎛⎤⎥⎝⎦.…………………………………………………… （14分）16. 解: （1）表格为:…………… （3分）（说明:黑框内的三个数据每个1分,黑框外合计数据有错误的暂不扣分）（2）提出假设H 0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… （4分）根据上述列联表可以求得2220(51212)8.802614713χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.…………………… （7分）当H 0成立时,27.879χ>的概率约为0.005,而这里8.802>7.879,所以我们有99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. ……………… （8分） （3） ①抽到12号的概率为141369P ==………………………………… （11分） ②抽到“无效序号（超过20号）”的概率为261366P ==…………………… （14分） 17. 解：（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面…………（2分） DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面……………………（5分） （2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面……………（7分） //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面 …………………………（10分）（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 ……………………（11分）证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算2,CD BD CR DR CQ =====在BDR 中522BR DR BD ===可知2RQ =, ∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………………（13分）又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,CQ BDR∴⊥面,BDC BDR ∴⊥面面…………………………………………………………（15分）（说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出12x =,亦可,不必再作证明）18. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0）.………………………………………………（3分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩………………………（6分）所以椭圆C 的方程为2212516x y += ………………………………………………（7分） （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=.所以直线l 与圆O 恒相交…………………………………………（11分） 又直线l 被圆O 截得的弦长为L ===（13分）由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈,即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈……………………（15分） 19. 解：（1）∵2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-,3323(log )(log )(log log )[(log log )3]3a x a x a x x a x a x a t t +=++-=-,∴32()32,(2)h t t kt t k t =-++-> …………………………………………………… （3分） ∴2()323h t t kt '=-++设12,t t 是()0h t '=的两根，则120t t <，∴()0h t '=在定义域内至多有一解,欲使()h t 在定义域内有极值，只需2()3230h t t kt '=-++=在(2,)+∞内有解，且()h t '的值在根的左右两侧异号，∴(2)0h '>得94k >……………………………………… （6分） 综上：当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值， 当94k ≤时()h t 在定义域内无极值……… （7分） （2）∵存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立等价于()()f x g x -的 最大值大于0…………… （9分）∵log log a x t x a =+，∴322()2,(2)m t t kt k t k t =-++-≥,∴22()320m t t kt k '=-++=得12,3k t k t ==-. 当2k >时，max ()()0m t m k =>得2k >；当02k <≤时，max ()(2)0m t m =>2k <≤……………………………… （12分） 当0k =时，max ()(2)0m t m =<不成立 ……………………………………………… （13分）当60k -≤<时，max ()(2)0m t m =>得6k -≤<； 当6k <-时，max ()()03k m t m =->得6k <-；综上得：k <或k >………………………………………………… （16分）20. 解:（1）100a =当时，由题意知数列{}n a 的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而100S =(100+97+94++4+1)+(3+1++3+1)⋅⋅⋅⋅⋅⋅共34项共66项……（3分）=(1001)3466(31)1717132184922+⨯++⨯=+=. ……………………………（5分）（2）证明：①若103a <≤,则题意成立……………………………………………（6分）②若13a >,此时数列{}n a 的前若干项满足13n n a a --=,即13(1)n a a n =--. 设(]*13,33,(1,)a k k k k N ∈+≥∈,则当1n k =+时,(]1130,3k a a k +=-∈.从而此时命题成立…………………………………………………………（8分） ③若10a ≤,由题意得2143a a =->,则由②的结论知此时命题也成立.综上所述,原命题成立…………………………………………………………（10分） （3）当23a <<时，因为()4n a n a a ⎧=⎨-⎩为奇数(n 为偶数),所以2(1)n n n n a b =--=()2(1)4()2(1)n nn n a a⎧⎪--⎪⎨-⎪⎪--⎩n 为奇数n 为偶数………………………………（11分）因为n b >0,所以只要证明当3n ≥时不等式成立即可.而2121212212212422(42)2121(21)(21)k k k k k k k kaa a ab b -+----⋅++-+=+=+-+- 2121212141214122222422122k k k k k k k k a a a -+-+---⋅+⋅++<<=+-……………………（13分） ①当*2(2)n k k N k =∈≥且时,221222232134444()33222k ki i k i i a a a a a b b b b ⨯⨯⨯==-+++=++<++++⋅⋅⋅+∑∑1411(1())424(4)314k a --=++⨯-11(4)(1())4444312312k a a -+⨯-+=+<+20.12a +=……（15分）②当*21(2)n k k N k =-∈≥且时,由于n b >0,所以21211k ki i i i b b -==<∑∑<20.12a+ 综上所述,原不等式成立…………………………………………………………（16分）附加题部分（计40分）1. （1）证:∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF ∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD ∴ F 是BD 中点.………………………（5分） （2）∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°，∴CG 是⊙O 的切线………………………………………………（10分） （说明：也可证明△OCF ≌△OBF （从略,仿上述评分标准给分）） 2.解: （1）设M=b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，bd ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以120,,122a b a b c d c d -=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩且 解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M=12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………（5分）（2）因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且m ：4x y ''-=， 所以（x+2y ）－（3x+4y ）=4，即x+y+2=0，它便是直线l 的方程．……（10分）3.将方程415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,)4πρθ=+分别化为普通方程：3410x y++=，220,x y x y+-+=………………………………………………………………（5分）17.105d== 11圆心C（，－＝，弦长＝22……（10分）4.解: 证明：由22(0),(0)44x y x yx y x yy y+≥>≥->得，所以)11(41111)1()()(1223cbacbacbabccba+-≥+=+=+同理：)11(411)(13cabcab+-≥+，)11(411)(13bacbac+-≥+相加得：左≥)111(21cba++23233=≥abc…………………………………（10分）5. 解：（1）分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点”为事件1234,,,A A A A,由已知1234,,,A A A A相互独立，且1234()()()()0.6.P A P A P A P A====客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以ξ的可能取值为0，2,42224(0)(0.6)(10.6)0.3456.P Cξ==-=11333144(2)(0.6)(10.6)(0.6)(10.6)0.4992.P C Cξ==-+-=44(4)(0.6)(10.6)0.1552Pξ==+-=20.40.50.60.24,(1)10.240.76Pξ=⨯⨯⨯===-=所以ξ的分布列为00.345220.499240.1552 1.6192.E =⨯+⨯+⨯=………………………………………（5分）（2）因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f 所以函数13)(2+-=x x x f ξ在区间),23[+∞ξ上单调递增．要使)(x f 在[4,)+∞上单调递增，当且仅当34,2ξ≤即8.3ξ≤从而8()()(0)(2)0.8448.3P A P P P ξξξ=≤==+==………………………………（10分） 6. 解:（1）以,,CDCB CE 为正交基底,建立空间直角坐标系,则())(0,0,1),,E D B A,(1,0,0),(2,2,0),(2,0,1)ADF t BD BF ==-=面的法向量.设面DFB 法向量(,,),0,0n ab c n BD nBF =⋅=⋅=则,所以0(1,1,0c ==+=⎪⎩令a=1,得n, 1cos ,,2n t <>=故二面角A-DF-B 的大小600…………………………………………（5分）（2）设((,,0)0(2,2,1),(0,2,0)P aa a PF a a CB≤≤=--=,则,因为)01,602aPF CB <>===所以cos60, 解得a =故存在满足条件的点P 为AC 的中点. ……………………………（10分）。
2009-2010学年无锡第一中学第一学期高三期中考试理
2009-2010学年度无锡市第一中学第一学期高三期中考试数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．︒330sin 的值是 。
2．已知全集},5,4,3,2,1{=U 集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合C U （A ∩B ）等于 。
3．“)(26Z k k ∈+=ππα”是“212cos =α”的 条件。
4．函数1)(+=x x x f 的最大值为 。
5．将函数)12(log 2+=x y 的图像向右平移1个单位可以得到函数的解析式是 。
6．命题“函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，若0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点。
”的逆否命题为 。
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知︒===30,3,3C b a ，则A= 。
8．函数a ax x f 23)(-=+1在[—1，1]上存在一个零点，则a 的取值范围为 。
9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为 。
10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，若,1)(0>x f 则0x 的取值范围是 。
11．函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 。
12．在实数数列}{n a 中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121-=-=-==-n n a a a a a a a 则4321a a a a +++的最大值为 。
13．某厂2008年12月份产值计划为当年1月份产值的a 倍，则该厂2008年度产值的月平均增长率为 。
14．存在0<x 使得不等式||22t x x --<成立，则实数t 的取值范围是 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2009年江苏高考数学试题及参考答案（详解详析版）
2009年江苏⾼考数学试题及参考答案（详解详析版）2009年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的⽅差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1 2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹⾓为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3【解析】232=?= a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x xx x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所⽰，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根⽵竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中⼀次随机抽取2根⽵竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、⼄两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学⽣进⾏投篮练习，每⼈投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的⽅差中较⼩的⼀个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是⼀个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平⾯上，若两个正三⾓形的边长的⽐为1：2，则它们的⾯积⽐为1：4，类似地，在空间，若两个正四⾯体的棱长的⽐为1：2，则它们的体积⽐为★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满⾜()()f m f n >，则,m n 的⼤⼩关系为★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。
江苏省无锡市天一中学高三数学第一学期期中测试试题
江苏省无锡市天一中学高三数学第一学期期中测试试题注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ．2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-=．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ． 10．以下伪代码：Read x1f x≤2 Then y←2x－3 Else0．0．俯视图左视图主视图y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；②211n k k x n =>∑；ab<ab=ab >其中一定成立的是．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）.（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PD CMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f124|x x |.-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD∥AP，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP；（3）若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.5．（坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.·PEOD CBAF6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.数学答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a =+ 12．94 13．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分 即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ）∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分 ∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分 ∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴…………2分.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131h h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆- 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ⊂平面AMC∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得 k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+= (12)2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+， ……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f（0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f（0）=c ＞0且02)1(<-=af ∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分 （3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分 （3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分 二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD∥AP， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．……………………3分 （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分 （3）∵DE 2=EF·EC，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=227． ∴PB=PE－BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M y x x x T y y y y ⎤--⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
精选题库江苏省无锡市高三上学期期中数学试卷含解析答案
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13．（ 5 分）关于 x 的方程 2| x+a| =ex 有 3 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围 为 （1﹣ln2，+∞） ． 【解答】 解：∵关于 x 的方程 2| x+a| =ex 有 3 个不同的实数解， ∴ y=2| x+a| 与 y=ex 的图象有 3 个交点，
=﹣f（ x），
∴ f（x）是定义域 R 上的奇函数，
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把 f（ a+1）+f（a2﹣ 1）＞ 0 化为 f（a+1）＞﹣ f（ a2﹣1）=f（1﹣a2）， 即 a+1＜1﹣a2， 解得﹣ 1＜a＜0， ∴所求不等式的解集为（﹣ 1，0）． 故答案为：（﹣ 1，0）．
9．（5 分）已知 sin2x+2sinxcosx﹣3cos2x=0，则 cos2x= ﹣ 或 0 ．
2017-2018 学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1．（ 5 分）已知集合 A={ 0，1，2} ，集合 B={ 1， } ，且 B? A，则实数 x=
．
2．（5 分）若复数 z=a+i（a 为正实数）的模为 2，则 a=
．
3．（ 5 分）斐波那契数列（ Fibonacei scquence），又称黄金分割数列，因数学家
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4．（5 分）若函数 f（ x）=
则 f（5）= 2 ．
【解答】 解：∵函数 f （x）=
，
∴ f（5）=f（ 2） =f（﹣ 1）=1﹣（﹣ 1） =2． 故答案为： 2．
5．（5 分）已知函数 f （x）=x2+ax﹣ 2 的单调减区间为（﹣∞， 1），则实数 a 的 值为 ﹣ 2 ． 【解答】 解：函数 f （x） =x2+ax﹣2 的开口向上，对称轴为： x= ，
2009-2010学年无锡第一中学第一学期高三期中考试
2009-2010学年度无锡市第一中学第一学期高三期中考试li()()aJ地理试卷、选择题（共60 分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
读“ 1964~2000年中国各年龄段人口占总人口比重变化图” （图1），回答1~2题。
A •人口老龄化日趋严重，劳动力严重短缺B •人口自然增长率偏高，每年新增人口多C .青壮年人口数量庞大，就业压力大D .人口出现负增长，人口数量日趋减少读“我国1990~2007年某城市各区人口密度变化示意图”（图2）,回答3~4题。
1.有关1964〜2000年我国人口增长状况的正确叙述是A •大于65岁年龄段人口增长速度最快B . 0〜14岁年龄段人口比重持续增加C . 15〜64岁年龄段人口增长速度最快D . 1990年我国已进入老龄化社会2.进入2000年，我国面对的主要人口问题是gTYl F 购人“J3. ④区土地利用类型应为：A .商业用地B .工业用地4. 关于该城市发展的叙述正确的是：A .该城市总人口明显减少C. K滨河带适宜建开放式公园读“市内地租立体分布示意图”5. 图中英文字母a、b、c、d分别代表不同地块的地租，它们从高到低排列正确的一组是（）A. b、d、c、aB. a、c、d、bC. a、b、c、dD. d、c、b、a读“我国南部沿海某地区海港及其腹地关系示意图”（图4）,图中圆圈大小代表其人口的规模，回答6~7题。
P 煙口MN内陆城钳—公路冑速公路6. 下列叙述正确的是A . P i和P2有各自的服务范围，彼此并不重叠B. P i和P2的服务范围以各自为中心，均衡地向四周扩展（）C.政府机关用地 D .居住用地（）B .③区商业服务等级最高、种类最多D .高新技术产业区应建在①区（图3）,回答第5题。
C. P i的服务人口大于P2C.建设高质量的人工草场 D .合理开垦当地土地D•所有运输干线都是因为城市之间高度需求而新建的 7.图示 P 1〜M 2高速公路的主要影响是( )A . P 1港腹地范围扩大，窗口作用加强B . P 2港腹地范围缩小，经济衰退C . M 1、M 2城镇经济区位明显改善D . M 2将成为区域经济中心读"'三个冋等规模商业中心对周围顾客达成交易的概率等值线分布图”（5),回答8~9题。
2009年江苏省无锡市高三年级部分学校调研测试(含附加题)数学试题
ICME －7图甲 O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6 A 7A 8图乙2009年江苏省无锡市高三年级部分学校调研测试（含附加题）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件B A ,互斥，那么()()()B P A P B A P +=+．A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则M N =I ▲ ．2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．5． 下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是 ▲ ．说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识．7． 以下伪代码：Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ▲ ．说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +的求法就不一样了，难度会加大．9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()g = ▲ ．说明：注意对称性．10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小．11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r， 则直线AB 的斜率为 ▲ ．说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ． 说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题． 13．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 ▲ ．说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界． 14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m 表示）． 说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解． 填空题答案：1．{}11x x -<< 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 67．－8 8．3 9．－A BCDC 1 B 1A 1 110．< 11． 1213．4(0,1][,)3+∞U 14．(1)2m m +二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos C B =，试求|m +n |的最小值．解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B +=⇒+=，……………………………………………3分即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，∴1cos 2A =． ………………………………………………5分∵0πA <<，∴π3A =．………………………………………………………………7分（Ⅱ）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2326B C B B B =+=+-=--．…………10分∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈． 从而ππ7π2666B -<-<． (12)分∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12． (13)分所以，|m +n|min =．………………………………………………………………14分评讲建议：本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．16．（本小题满分14分）直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论． 证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ． ………………2分又 ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，∴AC =CAB ＝45°，∴BC =∴ BC ⊥AC ． (5)分又1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． (7)分（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． ……………………………………………………………8分证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ．……………………………………9分又∵DC ‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． (11)分又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP ‖面ACB 1． (13)分同理，DP ‖面BCB 1． (14)分评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ⊥AC ，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的． 变题： 求证：（1）A 1B ⊥B 1D ；（2）试在棱AB 上确定一点E ，使A 1E ∥平面ACD 1，并说明理由． 17．（本小题满分15分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏： 甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个． (2)分又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， (4)分所以51()255P A ==． ………………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为15． (7)分（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， (10)分则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325＝1225． (14)分由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． (15)分评讲建议：本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答． 引申：连续玩此游戏三次，若以D 表示甲至少赢一次的事件，E 表示乙至少赢两次的事件，试问D 与E 是否为互斥事件?为什么?（D 与E 不是互斥事件．因为事件D 与E 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P （D ）、P （E ），由P （D ）＋ P （E ）>1可得两者一互斥．） 18．（本小题满分15分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=，11()22b y x b -=-． (2)分联立方程组，解出21,2.2c x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ (4)分21022c b cm n b--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0， ∴ b >c ． (6)分从而22b c >即有222a c >，∴212e <．……………………………………………………7分又0e >，∴0e <<． …………………………………………………………………8分（Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．…………………………………………………………………9分由AB k b =，2202PBb cb b k --=-＝2(1)b c b c +-． (10)分如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)b cb c +-＝－1． (12)分解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾， (14)分所以直线AB 与⊙P 不能相切． (15)分评讲建议：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． 解：（Ⅰ）因为21()2log 2a h x x x x =-+(0)x >， 所以21ln 2ln 1()2ln ln x a x a h x x x a x a-+'=-+=． (3)分因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数，所以2ln 2ln 10ln x a x a x a-+≥在区间(0,)+∞上恒成立．若0<a <1，则ln a <0，于是2ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立．又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0，ln a ＝0，或ln a ＝1与ln a <0矛盾．所以a >1．由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0， 所以ln a ＝1，即a ＝e ． ……………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），001()g x x '=，于是210211y y x x x -=-，21021ln ln x x x x x -=-． (9)分以下证明21121ln ln x x x x x -<-． （※）（※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<． (11)分令r （x ）＝x ln x 2－x ln x －x 2＋x ， (13)分r ′（x ）＝ln x 2－ln x ，在（0，x 2］上，r ′（x ）>0，所以r （x ）在（0，x 2］上为增函数． 当x 1<x 2时，r （x 1）< r （x 2）＝0，即121121ln ln 0x x x x x x --+<，从而01x x >得到证明． (15)分对于21221ln ln x x x x x ->-同理可证……………………………………………………………16分所以102x x x <<．评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明： 要证明21121ln ln x x x x x -<-，只要证明21211ln x x x x ->1，令21x t x =，作函数h （x ）＝t －1－ln t ，下略．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯= ，求数列{}n na 的前n 项和S n ．（Ⅰ） 证明：由条件，得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----，则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----．……………………………………2分即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又，所以1122(2)n n n n b b b b +--=-，21220b b -=-≠． 所以1{2}n n b b +-是首项为-2，公比为2的等比数列． (4)分2122b b -=-，所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-．两边同除以12n +，可得111222n n n n b b ++-=-．…………………………………………………6分于是2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以12首项，－12为公差的等差数列． 所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得．………………………………………………8分（Ⅱ）111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-，令2n n n c a =-，则1n n c nc -=．而111(1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅ ，． ∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+ ． (12)分(1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅ ，∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+⨯+⨯++⨯ ． (14)分令T n ＝212222n n ⨯+⨯++⨯ ，① 则2T n ＝2311222(1)22n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯ ．②①－②，得-T n ＝212222n n n ++++-⨯ ，T n ＝1(1)22n n +-+．∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+． (16)分评讲建议：此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n 项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．B ．附加题部分一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1． 选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，过A 点的切线交CB的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =⋅．证明：连结AC ．…………………………………………………1分因为EA 切O 于A ， 所以∠EAB ＝∠ACB ．…………3分因为 AB AD =，所以∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD ．于是∠EAB ＝∠ACD ．…………………………………5分又四边形ABCD 内接于O ，所以∠ABE ＝∠D ． 所以ABE ∆∽CDA ∆．于是AB BE CD DA =，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD =⋅．…………………………………10分2． 选修4－2：矩阵与变换如图所示， 四边形ABCD 和四边形AB C D ''分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2）， D （－1，－2），B '（3，7），C '（3，3）．求将四边形ABCD 变成四边形AB C D ''的变换矩阵M ．解：该变换为切变变换，设矩阵M 为1 0 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………3分则1 033 123k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………………………………………6分 ∴323k -=，解得53k =． (9)分所以，M 为1 05 13⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (10)分说明：掌握几种常见的平面变换．3． 选修4－4：坐标系与参数方程过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………3分曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．…………………………8分AB 12s s =- (10)分说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．4． 选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， ………………………………4分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，………………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．…………10分二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．已知(n x 的展开式中前三项的系数成等差数列． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n +⨯=⨯⨯， ………………………………………………3分即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．……………………………………………4分（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22r r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥……………………………………………6分 即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r ＝3． ………………………………………………8分所以系数最大的项为537T x =，9247T x =．………………………………………………10分说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．6． 动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ）34y -=．……………………………3分化简，得21(3)4y x y =≤．…………………………………………………………………4分（Ⅱ）设过Q 的直线方程为1y kx =-，代入抛物线方程，整理，得2440x kx -+=．∴△＝216160k -=．解得1k =±．………………………………………………………6分所求切线方程为1y x =±-（也可以用导数求得切线方程），此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C 上． ………………………8分由对称性知所求的区域的面积为2223021142(1)()041223x S x x dx x x =-+=-+=⎰．…………………………………………10分说明：抛物线在附加题中的要求提高了，定积分要求不高．附加题部分说明：本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容，没有考查概率分布和空间向量解立体几何问题．这两部分内容很重要，希望在后期的复习中不可忽视．。
天一中学期中数学试卷高三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则函数的极值点为：A. $x=1$B. $x=-1$C. $x=0$D. $x=\frac{1}{3}$2. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项为：A. 27B. 30C. 33D. 363. 设$a,b$是方程$x^2-2ax+b=0$的两个实根，且$\Delta=4a^2-4b>0$，则下列选项中正确的是：A. $a>0$，$b>0$B. $a<0$，$b<0$C. $a>0$，$b<0$D. $a<0$，$b>0$4. 在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为：A. $B(2,1)$B. $C(1,2)$C. $D(2,2)$D. $E(1,1)$5. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为：A. 以$(1,0)$为圆心，半径为1的圆B. 以$(-1,0)$为圆心，半径为1的圆C. 线段$[-1,1]$上的点D. 线段$[-1,1]$上的点6. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列选项中正确的是：A. $a>0$，$b>0$B. $a>0$，$b<0$C. $a<0$，$b>0$D. $a<0$，$b<0$7. 在三角形ABC中，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$C=75^\circ$，则$\sinA+\sin B+\sin C$的值为：A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$8. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=5$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为：A. $a_n=2n-1$B. $a_n=2n+1$C. $a_n=n^2-1$D. $a_n=n^2+1$9. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}-\ln x$，则函数的零点为：A. $x=1$B. $x=e$C. $x=e^2$D. $x=e^3$10. 在平面直角坐标系中，点$P(1,1)$关于直线$x+y=1$的对称点为：A. $Q(0,2)$B. $R(2,0)$C. $S(1,0)$D. $T(0,1)$二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=3$，公差$d=2$，则$S_{10}=______$。
无锡市2009年秋学期普通高中高三质量调研试卷数学(含附加题)
江苏省无锡市2009—2010学年度普通高中高三质量调研数 学 试 题注：本文仅供学习交流讨论。
请勿用于商业用途，本人不付任何法律责任。
考生注意：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。
3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的制定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
参考公式： 柱体体积公式：V Sh =柱体；锥体体积公式：13V Sh =锥体，其中S 为底面面积，h 为柱体、锥体的高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知向量m =（1，1）与向量n=（x ，22x -）垂直，则x = 。
2．若将复数212ii+-表示为(,,a bi a b R +∈i 是虚数单位)的形式，则a b += 。
3．若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 。
4．已知集合11{|()}24xA x =>，2{|log (1)2}B x x =-<。
则A B = 。
5．今年9月10日，某报社做了一次关于“尊师重教”的社会调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数一次成等差数列，因报道需要，从回收的问卷中按单位分层抽取容量为300的样本，其中在B 单位抽的60份，则在D 单位抽取的问卷是 份。
6．直线4y x b =+是曲线41y x =-的一条切线，则实数b 的值为 。
7．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（20），则双曲线的焦点坐标为 。
8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x ，y ）的概率是 。
9．集合{1,2,3,4,5}A =，{0,1,2,3,4}B =，点P的坐标为（m ，n ），m A ∈，n B ∈，则点P 在直线5x y +=下方的概率为 。
无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
无锡市2024-2025学年高三上学期期中数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数2()ln 1x xf x xx -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-7.若πππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A. B.5C.7-D.78.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.5C.65D.5二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a <，2ab a >，则22b a >11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.14.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.17.在ABC V 中，已知)tan 114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A xx B x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A x x B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====---++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km 【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)ky y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96k k k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x=+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B 5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0aa ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0aa ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln1x xf x xx -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++ B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)lnln111x x xf x x x xx -++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln 1x g x x x -=++，则()11ln1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D 7.若π3ππsin24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A.5-B.5C.7-D.7【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tanθ，进而求出tan 2θ.【详解】∵π3sin 243θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，∴1sin3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴222cos 1sin 3θθ=-=，∴sin 2tancos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.355【答案】B 【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB与AP 的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB=+，两边平方2221618252525CP CA CB CA CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以375CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0ab >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a<，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0ab >>，0cd <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得acbd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a<，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1ab ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b=时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]bx =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1ab ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x=-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x +'=-，由()0g x '=得32x =-，当3(,2)x ∈-∞-时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当3(2,0)x ∈-时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b=时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15ax x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x --+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11ax x x ⎛⎫≤-++ ⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x x x ϕ∈-=-++，则332()x x x x ϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x=-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x =-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()ah x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)1,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭ .故答案为：31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924ab c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c=.故答案为：614.任何有理数m n都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为m n的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+= 易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nn a-=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141nn n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫= ⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R.（1）当b c⊥ 时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c 夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）10【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅= ，将(1)c a b λλ=+- 代入可得()210a b b λλ⋅+-= ，再由数量积的定义求得1a b ⋅=- ，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以2cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)ca b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1562a a b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c最小为5，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b cb a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭，又55c b ⋅==，所以1105cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b 与c夹角的余弦值为1010.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x a f x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x a f x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得12a <.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+=⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V中，已知)114A B --=.（1）若ABC V为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))tan 113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tantan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABCV 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213113sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E ，则2π3,2,3cos 2cos AEDBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DBCD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e x f x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e a b A a B b .①求实数t 的取值范围；②证明：若ab >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点(),e x x ，将问题转化为0011ex t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))221e 1e 1e e 1a a b bAT BT --⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，构造函数())()21e 1e 0x x m x x -=+->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e0e xxx m x m ->⇔>，令()e xx g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()e xx g x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,em ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点(),e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011ex t x =+-，令()e 1x h x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e x h x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()hx 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a ba tb a b t--⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()e e 22e e 0x x x x Hx h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e aaa t a t t --+-=⇒=+->，e eaAT bBT k k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex x xmx x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e 1eabab ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT>，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*N n ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n n c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12n n n cc +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m mn -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3n n n c c c +=+=，12n n n c c +∴-=，当2n≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n--=+=+-，而13c =也满足上式，21nn c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m nn m m ba n nbc ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mmn m ba c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m mdd ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mmSm --=+++-⋅ ()241242(1)212m mm m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m m m m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m=时，左边0<，舍去，当4m=时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m=.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2m mSm =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。
天一中学高三数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 0.1010010001...C. 3D. π2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a ≠ 0，且f(1) = 0，f(-1) = 0，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，若AB = 4，则BC 的长度为（）A. 2√6B. 4√6C. 2√2D. 4√24. 下列各对数函数中，单调递减的是（）A. y = log2(3x)B. y = log3(2x)C. y = log4(3x)D. y = log5(2x)5. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为（）A. 48B. 54C. 60D. 66二、填空题（每小题5分，共50分）6. 已知复数z = 3 + 4i，其模为________。
7. 函数y = |x - 2| + |x + 1|的图像与x轴的交点个数为________。
8. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为________。
9. 等比数列{an}的前n项和为S_n，若a_1 = 2，q = 3，则S_5 = ________。
10. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4，则该圆的圆心坐标为________。
三、解答题（每小题20分，共80分）11. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(1) = 2，f(-1) = 0，求函数f(x)的解析式。
12. （本题满分20分）已知数列{an}是等差数列，且a_1 = 3，d = 2，求第10项a_10的值。
13. （本题满分20分）已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。
江苏省无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试(数学)
江苏省无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试（数学）注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ．2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-=．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ． 10．以下伪代码：Read x1f x≤2 Then0．0．y←2x－3 Else y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；②211(2n k k x n =>∑；y ab <y ab =y ab >其中一定成立的是．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.俯视图左视图主视图16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）.（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PD CMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f12|x x |-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD∥AP，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP；（3）若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.5．（坐标系与参数方程）·PEOD CBAF已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.数学答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a = 12．94 13．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分 即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ）∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分 ∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分 ∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴…………2分.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131h h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆- 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ⊂平面AMC∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得 k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+= (12)2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+， ……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f（0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f（0）=c ＞0且02)1(<-=af ∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分 （3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<……………………………………15分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分 （3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分 二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD∥AP， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．……………………3分 （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分 （3）∵DE 2=EF·EC，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=227． ∴PB=PE－BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M x y x x x T y y y y ⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
2023-2024学年江苏省无锡市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{3}B ．{1}C ．{5}D ．{1，3}2．已知复数z ＝2﹣i ，则z （z +i ）的虚部为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．6D ．23．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0（1+k ）n （k ＞﹣1），其中P n 为预测期人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k ＜0，那么在这期间人口数（ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．摆动变化D ．不变4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√235．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．326．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.077．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知a ＞0，b ＞0，1a+3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为211．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f （x ）定义域为R ，满足f （x +1）=12f （x ），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣4x （x ﹣1）．则下列结论正确的是（ ） A ．f （−32）＝4B ．方程f （x ）=13x 共有三个不同实根 C ．∑ 2n i=1f （i 2）＝2−22nD ．使不等式f （x ）≥38成立的x 的最大值是74三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ ． 16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． ①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1}C．{5}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4}．∴∁U B＝{1，5}∴A∩（∁U B）＝{1}．故选：B．2．已知复数z＝2﹣i，则z（z+i）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．6D．2解：复数z＝2﹣i，则z=2+i，z（z+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝6+2i，虚部为2．故选：D．3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中P n为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（）A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变解：P n+1﹣P n＝P0（1+k）n+1﹣P0（1+k）n＝P0（1+k）n（1+k﹣1）＝P0（1+k）n•k，∵﹣1＜k＜0，∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0，k＜0，∴P0（1+k）n•k＜0．即P n+1﹣P n＜0，∴P n+1＜P n．故选：B．解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势， 故选：B ．4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√23解：因为sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝﹣cos （θ+π6）＝sin （θ−π3）=−13． 故选：B ．5．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．32解：因为f ′（x ）＝3x 2+2bx ﹣12， 又f （x ）在x ＝2处取得极值， 所以f ′（2）＝0， 所以3×22+2b ×2﹣12＝0， 所以b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣12x ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣12， 令f ′（x ）＝0，得x ＝±2，所以在（﹣∞，﹣2）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（﹣2，2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）在x ＝2处取得极小值，符合题意，所以在（﹣4，﹣2）上f （x ）单调递增，在（﹣2，2）上f （x ）单调递减，在（2，4）上f （x ）单调递增，由f （﹣2）＝（﹣2）3﹣12×（﹣2）＝16，f （4）＝43﹣12×4＝16， 所以f （x ）在[﹣4，4]上的最大值为16． 故选：C ．6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.07解：由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，把θ1＝60，θ0＝15，t ＝3，θ＝42代入公式， 得42＝15+（60﹣15）e ﹣3k，化简得e﹣3k=35，所以﹣3k ＝ln 3﹣ln 5＝1.099﹣1.609， 解得k ＝0.17． 故选：C ．7．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32，所以f （2πω）＝sin （2π+φ）＝sin φ=√32，所以φ=π3，所以f （x ）＝sin （ωx +π3）的图象向右平移π6个单位后得到f （x ）＝sin （ωx −π6ω+π3），因为所得函数的图象关于y 轴对称， 所以−π6ω+π3=k π+π2，k ∈Z ， 所以可得ω＝﹣6k ﹣1，k ∈Z ， 因为ω＞0，所以ω的最小值为5． 故选：D ．8．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解：因为f （x ）＝x +lnx 的定义域为（0，+∞），所以f ′(x)=1+1x ＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f （12）=12−ln 2＜0，f （1）＝1＞0，所以存在a ∈(12，1)，使得f （a ）＝0，所以a ∈(12，1)， 因为g （x ）＝xlnx ﹣1，g '（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（0，1e）上单调递减，当x ＞1e 时，g '（x ）＞0，则g （x ）在 (0，1e) 上单调递增， 又因为 g （1）＝﹣1＜0，g （2）＝2ln 2﹣1＞0， 所以b ∈（1，2），ℎ′(x)=2x 3+12+1x2＞0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （12）＜0，h （1）＞0，所以存在c ∈(12，1)，使得h （c ）＝0， 所以b 最大， 因为58=11.6=√2.56√e，所以ln 58＞ln√e=−12，f （ln 58）＝ln 58+58＞−12+ln 58＞0，所以12＜a ＜18，因为h （58）＝1−85+516+25643＜0，所以58＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，|c →|=2√3，故可设a →=(1，0)，B(12，√32)，C(2√3cosθ，2√3sinθ)，θ∈[0，2π），则a →+b →+c →=(32+2√3cosθ，√32+2√3sinθ)，所以|a →+b →+c →|=√(32+2√3cosθ)2+(32+2√3sinθ)2=√15+12sin(θ+π3)∈[√3，3√3]， 故选：ABC ．10．已知a ＞0，b ＞0，1a +3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为2解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0，所以1=1a +3b ≥2√3ab， 当且仅当b ＝3a 且1a +3b =1，即a ＝2，b ＝6时取等号，所以ab ≥12，A 正确；对于B ，a +b ＝（a +b ）(1a+3b)=4+b a+3a b ≥4+2√b a ⋅3a b=4+2√3，所以a +b 的最小值不是4√3，故B 错误；对于C ，将1a +3b =1两边平方，得1a 2+6ab +9b 2=1，所以a 2+b 2＝（a 2+b 2）(1a 2+6ab +9b2)=10+b2a 2+9a 2b2+6(b a +ab )， 而b 2a 2+9a 2b 2≥2√b 2a 2⋅9a 2b 2=6，6(b a +a b )≥6×2√b a ⋅ab =12，且两不等式的等号不能同时取得，所以a 2+b 2＞10+6+12＝28，即a 2+b 2的最小值不可能是24，故C 错误； 对于D ，1a−1+3b−3=1bb−3−1+3b−3=b−33+3b−3≥2√b−33⋅3b−3=2，当且仅当b−33=3b−3=1，即b ＝6，a ＝2时等号成立，故1a−1+3b−3的最小值为2，D 选项正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称 解：因为f(x +π)=sin(x +π)+1|sin(x+π)|=−sinx +1|sinx|≠f(x)， 所以π不是f （x ）的周期，A 错误；对于B，由sin x≥﹣1，1|sinx|≥1，得sinx+1|sinx|≥0，当sin x＝﹣1时取“＝”，故f（x）的最小值为0，B正确；对于C，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）+1|sin(2π−x)|=−sin x+1|sinx|，可得f（2π﹣x）+f（x）=2|sinx|≠2，故f（x）的图象不关于点（π，1）对称，C错误；对于D，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+1|sin(π−x)|=sin x+1|sinx|=f（x），可知f（x）的图象关于直线x=π2对称，故D正确．故选：BD．12．已知函数f（x）定义域为R，满足f（x+1）=12f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．f（−32）＝4B．方程f（x）=13x共有三个不同实根C．∑2n i=1f（i2）＝2−22nD．使不等式f（x）≥38成立的x的最大值是74解：x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1），当x∈（1，2]时，f(x)=12f(x−1)=−2(x−1)(x−2)，…，x∈（k，k+1]时，f（x）＝﹣22﹣k（x﹣k）（x﹣k﹣1），∴k取﹣2时，f(−32)=−16(−32+2)(−32+1)=4，A正确．作出f（x）大致图象如下，联立{y=13xy=−2(x−1)(x−2)，解得x=32或43，y ＝f （x ）与y =13x 共四个交点，B 错．对于 C ，k为奇数时，f(k 2)=(12)k−12，k 为偶数时，f(k2)=0，∴∑ 2n i=1f(i2)=f(12)+f(32)+⋯+f(2n−12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=1−(12)n1−12=2−22n ，C 正确． 对于D ，当x ∈（1，2）时，令f(x)=−2(x −1)(x −2)=38⇒x =54或x =74，结合图象知x max =74，D正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （﹣1，1） ． 解：A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}， ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴B ⫋A ， ∴﹣1＜m ＜1，∴m 的取值范围为：（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 x ﹣πy +π＝0 ． 解：曲线y =sinxx 的导数为y ′=xcosx−sinxx 2， 可得曲线在点M （﹣π，0）处的切线斜率为k =−πcos(−π)−sin(−π)(−π)2=1π，即有曲线在点M （﹣π，0）处的切线方程为y =1π（x +π），即为x ﹣πy +π＝0． 故答案为：x ﹣πy +π＝0．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ 4 ．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则{Sn n }为等差数列，故S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1，即−2m+3m+2=0，解得m ＝4．故答案为：4．16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ﹣3 ．解：设∠APO 1＝θ，则∠AO 1P ＝π﹣2θ，因为∠APB =2π3，∠BO 2P =π3−θ，θ∈[0，π3]，过O 1作O 1D ⊥AP ，所以|P A |＝2cos θ，同理|PB|=4cos(π3−θ)， 所以PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos120°=8cosθ⋅cos(π3−θ)⋅(−12) =−4cosθ⋅(12sinθ−√32cosθ)=sin2θ+2√3cos 2θ=sin2θ+2√3⋅1+cos2θ2=−2[sin(2θ+π6)+12]≤−3， 所以(PA →⋅PB →)min =−3． 故答案为：﹣3．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．解：（1）因为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B +b cos A =c2cosC， 所以由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）＝sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）＝2cos C sin C ＝sin C ， 因为C 为三角形内角，sin C ≠0， 所以cos C =12， 又0＜C ＜π， 所以C =π3；（2）因为c ＝6，AB 边上的高等于2√3，所以S △ABC =12×6×2√3=12ab sin C =√34ab ， 解得ab ＝24，又由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得36＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝（a +b ）2﹣72， 所以可得a +b ＝6√3，所以△ABC 的周长a +b +c ＝6√3+6．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．解：（1 ）由题意，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，当P 为DE 中点时，AP →=AD →+DP →=AD →+12DE →=AD →+12(DC →+CE →) =AD →+12AB →−14AD →=12AB →+34AD →=λAB →+μAD →， 所以λ=12，μ=34， 所以λ+μ=54；（2）因为点P 在线段DE 上运动，设DP →=λDE →，λ∈[0，1]，则AP →=AD →+λDE →=AD →+λ(DC →+CE →)=AD →+λAB →−12λAD →=λAB →+(1−λ2)AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+12DC →=12AB →+AD →，∴AP →⋅AF →=[λAB →+(1−λ2)AD →](12AB →+AD →) =λ2AB →2+2−λ2AD →2+2+3λ4AB →⋅AD → =λ2×4+2−λ2×1+2+3λ4×2×1×cos60°=9λ+64， 又λ∈[0，1]，所以AP →⋅AF →=9λ+64∈[32，154]．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 解：（1）b 1＝1+a 1，b 2＝2﹣（a 1+a 2）， 结合a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5，∴{a 1=1b 1=2，∴{a 2+b 2=1a 2−b 2=5⇒{a 2=3b 2=−2， a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n =n 2， ∴b n =n −(−1)n ⋅n 2． （2）①T 10=(1+10)×102−(−12+22−32+42+⋯+102)=55﹣（1+2++10）＝0， ②事实上n 为偶数时，T n ＝（1+2+⋯+n ）﹣（﹣1+22﹣32+...+n 2） ＝（1+2+...+n ）﹣（1+2+...+n ）＝0，均满足T n ≤100， n 为奇数时，T n =(1+n)n2−(−12+22−32+...+(n −1)2−n 2) =n(n+1)2−(1+2+...+n −1)+n 2=n 2+n ， 当T n ≤100时，n 2+n ≤100，∴n ≤9，n ＝1，3，5，7，9， ∴A 中所有元素的和为（2+4+...+100）+（1+3+5+7+9）=102×502+25=2575． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＜2化为：log 2（1x +2）＜2，∴0＜1x +2＜4，解得x ∈（﹣∞，−12）∪（12，+∞），经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（﹣∞，−12）∪（12，+∞）．（2）a ＞0，对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，∴log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， ∴(1+ta)(t+1)t[1+a(t+1)]≤2，化为：a ≥1−tt 2+t=g （t ），t ∈[12，1]，g ′（t ）=t 2−2t−1(t 2+t)2=(t−1)2−2(t 2+t)2≤(12−1)2−2(14+12)2＜0，∴g （t ）在t ∈[12，1]上单调递减，∴t =12时，g （t ）取得最大值，g （12）=23． ∴a ≥23．∴a 的取值范围是[23，+∞）．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和．解：（1）由a 1＝1，a n ＞0，（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立， 可得S n+1+1a n+1=S n +1a n=S n−1+1a n−1=...=S 1+1a 1=1+11=2， 即1+S n ＝2a n ，当n ≥2时，1+S n ﹣1＝2a n ﹣1，上面两式相减a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n ﹣1；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列， 则c k =12（k +2）（2k ﹣1+2k ）﹣（2k ﹣1+2k ）=3k2•2k ﹣1，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =32（1•20+2•21+3•22+...+n •2n ﹣1），2T n =32（1•2+2•22+3•23+...+n •2n ），上面两式相减可得﹣T n =32（1+21+22+...+2n ﹣1﹣n •2n ）=32（1−2n1−2−n •2n ），化为T n =32[1+（n ﹣1）•2n ]．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．解：（1）证明：当a ＝1时，f(x)=xlnx −12x 2−x ，则f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝lnx +1﹣x ﹣1＝lnx ﹣x ， 设u （x ）＝lnx ﹣x ，则u ′(x)=1x −1=1−xx， 当0＜x ＜1时，u ′（x ）＞0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递增； 当x ＞1时，u ′（x ）＜0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递减，故u （x ）≤u （1）＝﹣1，故f ′（x ）≤﹣1，故f （x ）为减函数；（2）由题意，得f ′（x ）＝lnx +1﹣ax ﹣1＝lnx ﹣ax 有两个不同正实数根x 1＜x 2（x 1＜x 2）， 所以{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，所以a =lnx 1−lnx 2x 1−x 2=ln x1x 2x 1−x 2．1+λ＜lnx 1+λlnx 2=ax 1+aλx 2=(x 1+λx 2)ln x1x 2x 1−x 2=x 1x 2+λx 1x 2−1ln x1x 2， 令x 1x 2=t ∈(0，1)，则1+λ＜t+λt−1lnt ，即lnt −(1+λ)(t−1)t+λ＜0在t ∈（0，1）恒成立， 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，t ∈(0，1)，则ℎ′(t)=1t −(λ+1)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2， 若λ≥1，当t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0恒成立；若0＜λ＜1，当t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 所以h （t ）＞h （1）＝0，不符合题意， 综上，正实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
高三第一学期期中数学试卷及答案
江苏金陵中学2008—2009学年度高三第一学期期中试卷数 学 试 题一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的位置）1．计算=︒-)330sin( 。
2．已知=⋂∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2。
3．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。
4．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a。
5．右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是 =S 。
6．函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a 。
7．“0<c ”是“实系数一元二次方程02=++c x x 有两异号实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”）8．函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 。
9．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。
10．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是 。
11．已知向量a 和b 的夹角是60°，=-⊥==m b ma b b a 则实数且),(,2,1 。
12．函数)2sin 2lg(cos )(22x x x f -=的定义域是 。
13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。
14．设函数0)(),()(3=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，则b 的取值范围是 。
二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15．（本小题满发14分） 已知.02cos 22sin=-x x （I ）求x tan 的值；（II ）求x x xsin )4cos(22cos +π的值16．（本小题满分14分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
江苏省无锡市天一中学数列多选题试题含答案
江苏省无锡市天一中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1.已知等比数列｛。
”｝首项®>i,公比为q,前“项和为s“，前〃项积为人，函数/(x) =x(x+q)a+d2)・・・(x+a7),若广(0) = 1,则()A. ｛lg«M｝为单调递增的等差数列B. 0<6/<1C. ]s〃-住为单调递增的等比数列D.使得人>1成立的〃的最大值为6I U【答案】BCD【分析】令g(x) = (x+q)(_¥+©卜心+①)，利用f(O)= g(O)= a©…如=1 可得04=1 = 0”，OV0V1, 3 正确：由lg© =lg(q“i) = lg®+(n-l)lgq 可得A 错误;由二一 = 一/一1)=上斗可得C 正确；由®>1, 0<^<1, 可\-q]_g q_l推出T6>l = T7t 7；vl可得D正确.【详解】令ga)=a+q)a+$)・a+©)，则『(兀)=冷(劝,••• f ⑴=g ⑴ + 曲⑴，.•. f (0) = g (0) = a© …① t，因为｛%｝是等比数列，所以…①=偽？=1，即偽=1 =厲『，••5>1，••• 0 < ^ < 1, 3 正确：•••lg® =lg(qg"T) = ]gq +(”_i)igq , .•.｛]&©｝是公差为lgq 的递减等差数列，& 错误：.半弋是首项为聲<。
, 公比为9的递增等比数列，C正确：・.・q >1 , Ovgvl, q=l.n<3时，a n > 11n>5时，Ovqvl,.・・”54 时，T n> \ ,T 沁8时,f宀<—又所以使得7； >1成立的〃的最大值为6, D正确.故选:BCD【点睛】关键点点睹：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式.数列的单调性求解是解题关键.I f I2.已知数列｛©｝中，q=l, ^I+I --=^l + -n^N\若对于任意的([1,2],不 等式^-<-2r-(a + l)t + cr-a + 2恒成立，则实数a 可能为( A. -4B. 一2C. 0【答案】AB 【分析】由题意可得也斗-色=丄一丄，利用裂项相相消法求和求出^ = 2-1<2,只需n+\ n n n+i n n-2r 2-(«+l)r+«2-d+2>2对于任意的([1,2]恒成立，转化为 [2/—(a —1)](/ + “)<0对于任意的([1,2]恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】则竺_ ©T = ______n n-1 /?-1 n 上述式子累加可得：乞一q=l -丄…••丝=2-丄<2,nn n n:.-2t 2-(a + l)t+a 2-a + 2>2 对于任意的 re [1,2]恒成立,整理得[2r-(6/-l)](r + 6/)<0对于任意的/e[l,2]恒成立，对当时，不等式(2/+5)(/-4)<0,解集—*4 ,包含[1,2],故&正确: 对B,当a = -2时，不等式(2/ +3)(/-2)<0,解集-|,2 ,包含[1,2],故B 正确:,不包含[1,2],故D 错误, 故选:AB.【点睛]本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立, 考查了转化与划归的思想，属于中档题.3•设S 〃是公差为d(dH0)的无穷等差数列｛%｝的前〃项和，则下列命题正确的是() A.若d<0,则数列｛S 〃｝有最大项—1—丄2 1 2 ,不包含[1,2],故C 错误;对6当a = 2时,不等式(2/-1)(/ + 2)<0,解集一2访B. 若数列｛»｝有最大项，则〃<0C. 若对任意均有比>0,则数列｛S計是递增数列D. 若数列｛SJ是递增数列，则对任意nM，均有£>0【答案】ABC【分析】由等差数列的求和公式可得S” +訓，可看作关于询二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得.【详解】由等差数列的求和公式可得二+选项A,若d<0,由二次函数的性质可得数列｛S讣有最大项，故正确：选项"，若数列｛S”｝有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d<0,故正确: 选项C,若对任意均有S口>0,对应抛物线开口向上，d>0,可得数列｛S讣是递增数列，故正确：选项D，若数列｛S”｝是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一立有任意均有S”>0,故错误.故选：ABC.【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，= na｝ + "C纺2+(q 一£ n可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.4・已知等差数列｛心｝中，|«5|=|«9|,公差d〉0,贝IJ使得前"项和S 〃取得最小值的正整数n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】BC【分析】分析岀数列｛©｝为单调递增数列，且如=0,由此可得出结论.【详解】在等差数列｛"“｝中，|你| = |伽|，公差〃>0,则数列｛%｝为递增数列，可得/. a5 = 一吗，可得+a x)= 2a7 = 0> 2a5,・\a5 <0 = ^ 9所以，数列｛勺｝的前6项均为负数,且如=0,因此，当n = 6或7时，最小.方法点睹：本题考査等差数列前〃项和最大值的方法如下：(1)利用S”是关于〃的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果；(2)解不等式解出满足此不等式的最大的□即可找到使得S”最小.5.已知数列｛b n｝满足：a n^=2a n+b n, b,^ = a n + 2b n + In - (n e N'),q+勺>0,则下列命题为真命题的是()A.数列｛a… -b tl｝单调递增B.数列｛©+$｝单调递增C.数列｛©｝单调递增D.数列｛$｝从某项以后单调递增【答案】BCD【分析】计算a2-b2=a l-b l-\n2<a2-b2,知A错误：依题意两式相加｛a tl+b H-\nn｝是等比数列，得到=(q+/?J・3"T+ln",知B正确：结合已知条件，计算勺+i 一4>°，即得c正确：先计算纭]-$=(q+Z?J・3"T+ln(“ + l)-21n”，再结合指数函数、对数函数增长特征知D正确.【详解】由题可知，如=2冷+®①，仇+严©+2®+ln啤②，①-②得，n%利_毎+1 =舛_乞_ln竺丄,当几=1 时,偽_爲=4]_妬_1112, /. a2-b2 <a x-b x, n故A错误.①+②得，a卄i + b n+l =3(n… +/?,) + ln(« +1) -31n/?,心+1+2+i jn(" + l) = 3(d”+$-lnn)‘ ｛a n+b n-]nn｝是以a i+b l为首项，3 为公比的等比数列，.•. ©+2-ln〃= (q+/?J・3"T, 色+化=(q+/?J.3”T+ln“，③又吗+勺>0,.・.B正确.将③代入①得, a卄i =① + (① + 2) = © +(4 +也)• 3”T + In // …n n+1 - a n =(角 + 勺)• 3/f_1 + Inn〉0, 故c 正确.将③代入②得，乞+1= ® + (a n +乞)+ In乡丄=b n + (绚+/?,)• 3"" + In n + In三学，/?1+1 -/?,=(«!+/?!)• 3/,_1 + ln(/? +1)-2In n .由a｛ + /?, >0,结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个"("wNj起，(3+勺)・3心一1[“2>0,又ln(H + l)-Inn>0, ••• m> 0,即｛9｝从某项起单调递增,故D正确.判泄数列单调性的方法：（1） 立义法:对任意%+】>£，贝IJ ｛"”｝是递增数列，％+】<"”，贝IJ ｛«…｝是递减 数列；（2） 借助函数单调性：利用5 =/（〃），研究函数单调性，得到数列单调性.6•设等差数列｛Q 〃｝的前n 项和为S”公差为d.已知5=22, S 】2>0, a 7<0,贝lj （ ）A. a&>0D 24. QB. — -- V 〃 V —37C. SnVO 时，“的最小值为13【答案】ABCD 【分析】Su>0, a 7<0,利用等差数列的求和公式及苴性质可得：°6+。
09年高一上期中考试试题
江苏省天一中学2009－2010学年第一学期高一数学期中考试试题命题：孙承辉 审核：陆 韧注意事项及答题要求：1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）和解答题（第15题～第20题，共6题）两部分．本次考试时间为120分钟，满分为160分．考试结束后，请将答题纸交回．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号用黑色笔写在答题纸上密封线内的相应位置．3．答题时请用黑色笔在答题纸上作答．．．．．．．，在试卷或草稿纸上作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则U C A B = （） ▲ .2．函数2()log (2)f x x =-+的定义域为 ▲ .3．已知函数2()(2)3f x x m x =+++是偶函数，则m = ▲ .4．设:1f x ax →-是从集合A 到B 的映射，若(2)3f =，则(3)f = ▲ .5．已知函数3log (0)()2(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]9f f = ▲ . 6．已知幂函数()y f x =的图象经过点(4,2)，则(8)f = ▲ .7．若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，3()log (1)f x x =+，则0x <时()f x 的解析式为()f x = ▲ .8．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则,,a b c 三数从．小．到．大．的关系是 ▲ . 9．已知奇函数()f x 在区间[2,6]上是增函数，且在[2,6]上的最大值为5，最小值为－1，则(6)3(2)f f -+-= ▲ .10．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ▲ .11．已知某产品的销售价格p (单位：元/件)是销量x (单位：件)的函数400x p =-，而总成本为()1001500C x x =+(单位：元)，假设生产的产品全部售出，那么产量为 ▲ 件时，利润最大.12．已知集合{(,)|}P x y y m ==，|2|{(,)|,01}x Q x y y a a -==<<，如果P Q ≠∅ ，则实数m 的取值范围是 ▲ .13．已知函数22()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x ≥2，当0t >时，恒有()()f x t f x +>，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若函数()log (4)a f x ax =+的图象和函数1()log ()ag x a x =+(0,a >且1)a ≠的图象关于直线y b =对称(b 为常数)，则a b += ▲ .二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （见答题纸）江苏省天一中学高一第一学期数学期中考试答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）已知集合{|37}A x x =≤<，{|410}B x x =<<，{|}C x x a =<．（1）求A B 与(R A ð) R B ð；（2）若C B A ⊆ ，求a 的取值范围．16．（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）（1）计算：32412310816)21(0)3(-++----；（2）已知3log 2a =，35b =，试用,a b 表示log设,a b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}2max 2,2f x x x x =++(x ∈R )． （1）求(0)f ，(3)f ；（2）作出()f x 的图象，并写出()f x 的解析式；（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有两个不等的解，求实数m 的取值范围．18．（本题满分16分，第一小题满分7分，第二小题满分9分）已知二次函数()f x 的图象的对称轴为1x =，且函数()()4g x f x x =-的零点为5-和3．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()5f x mx =+的两个实根12,x x 满足11x <-且22x >，求m 的取值范围．已知定义域为R 的函数12()22x x a f x +-+=+是奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对任意的t ∈R ，不等式2()(1)0f kt kt f kt ++->恒成立，求实数k 的取值范围．已知函数()3x f x =，(2)18f a +=，()34ax x g x λ=⋅-的定义域为[0,1]．（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 在[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；（3）若函数()g x 的最大值为12，求实数λ的值．。
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江苏省无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试（数学）注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ．2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-=．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ． 10．以下伪代码：Read x1f x≤2 Then0．0．y←2x－3 Else y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；②211(2n k k x n =>∑；y ab <y ab =y ab >其中一定成立的是．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.俯视图左视图主视图16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）.（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PD CMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f12|x x |-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD∥AP，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP；（3）若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.5．（坐标系与参数方程）·PEOD CBAF已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.数学答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a = 12．94 13．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分 即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ）∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分 ∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分 ∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴…………2分.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131h h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆- 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ⊂平面AMC∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得 k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+= (12)2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+， ……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f（0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f（0）=c ＞0且02)1(<-=af ∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分 （3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<……………………………………15分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分 （3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分 二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD∥AP， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．……………………3分 （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分 （3）∵DE 2=EF·EC，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=227． ∴PB=PE－BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M x y x x x T y y y y ⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。