高考数学“一本”培养专题突破 限时集训8 直线与圆 文-人教版高三全册数学试题

专题限时集训(八) 直线与圆
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A ．3x ＋y －5＝0
B ．x －2y ＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．2x ＋y －3＝0
D [直线x －2y ＋3＝0的斜率为1
2，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的
斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.]
2．(2018·某某模拟)已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )
A ．3＋6或3－ 6
B ．3＋26或3－2 6
C ．9或－3
D ．8或－2
A [由题意可得，圆心(0,3)到直线的距离为62，所以d ＝|m －3|2＝62
，m ＝3±6，选A.]
3．(2018·某某模拟)以抛物线y 2
＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐
近线都相切的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2
－20x ＋36＝0 C ．x 2
＋y 2
－10x ＋16＝0
D ．x 2
＋y 2
－10x ＋9＝0
C [∵抛物线y 2
＝20x 的焦点F (5,0)，∴所求圆的圆心(5,0)，∵双曲线x 216－y 2
9＝1的两
条渐近线分别为3x ±4y ＝0，∴圆心(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离即为所求圆的半径R ，∴R ＝155
＝3，∴圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2
－10x ＋16＝0，故选C.] 4．(2018·某某模拟)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
C [圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1
－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2
＝－4－2
2
＋－1－1
2
－4＝6，
选C.]
5．(2018·某某模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2
的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A ．2x ＋y －5＝0
B ．2x ＋y －7＝0
C ．x －2y －5＝0
D ．x －2y －7＝0
B [∵过点(3,1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的切线有且只有一条， ∴点(3,1)在圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝1
2，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)， 即2x ＋y －7＝0.故选B.]
6．(2018·某某模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
D [圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.
∵反射光线与已知圆相切， ∴
|－3k －2－2k －3|k 2＋－12
＝1，整理得12k 2
＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.]
7．(2018·某某模拟)已知圆C 1：x 2
＋y 2
－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值X 围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，14
D [x 2
＋y 2
－kx ＋2y ＝0与x 2
＋y 2
＋ky －4＝0，相减得公共弦所在直线方程：
kx ＋(k －2)y －4＝0，即k (x ＋y )－(2y ＋4)＝0，所以由⎩⎪⎨
⎪
⎧
2y ＋4＝0x ＋y ＝0
得x ＝2，y ＝－2，
即P (2，－2)，因此2m ＋2n －2＝0，∴m ＋n ＝1，mn ≤⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14
，选D.] 8．(2018·某某模拟)设圆x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )
A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0
B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0
C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0
D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0
B [圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4，设圆心到直线l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2
－d 2
＝24－d 2
＝23，得d ＝1，则直线l 的斜率不存在时，即x ＝0适合题意；若直线
l 的斜率存在，设为k ，则l ：y ＝kx ＋3，
|k ＋2|
k 2＋1
＝1，解得k ＝－34，此时l ：y ＝－3
4x ＋3，
即3x ＋4y －12＝0，故选B.]
二、填空题
9．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2
＝7所截得的弦长为________．
26 [由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2
－d 2
＝27－1＝2 6.]
10．已知f (x )＝x 3
＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2
＋(y ＋4)2
＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.
－7 [由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2
＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，
∴|
3＋a ×2＋4－a －5|3＋a 2＋1
2
＝5⇒a ＝－52，∴b ＝1
4， ∴3a ＋2b ＝－7.]
11．(2018·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
(x －1)2＋y 2
＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝
1－2
2
＋0＋1
2
＝ 2.
故所求圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝2.]
12．(2018·某某模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人．为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆的方程为________．
(x －1)2＋(y ＋1)2
＝1817 [由题意，1002 500＝a 1 000＝b 600
，∴a ＝40，b ＝24，∴直线ax ＋
by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为
|5－3＋1|25＋9＝3
34
，
∵直线5x ＋3y ＋1＝0与以A (1，－1)为圆心的圆相交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°， ∴r ＝
6
34
，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2
＝1817.]
三、解答题
13．已知点P (2,2)，圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于，A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． [解] (1)圆C 的方程可化为x 2
＋(y －4)2
＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →
＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →
＝0，
故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2
＋(y －3)2
＝2. 由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2
＋(y －3)2
＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为410
5，
所以|PM |＝2|OP |2
－d 2
＝
410
5
， 所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝16
5.
(教师备选)
已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．
所以圆C ：x 2
＋y 2
＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
＝4，
y ＝k x －1，
得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2
－4＝0.
所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2
－4k 2＋1.
若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1
x 1－t ＋
y 2
x 2－t
＝0⇒
k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1
x 2－t
＝0⇒2x 1x 2
－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒
2
k 2－4k 2＋1－2k 2
t ＋1
k 2＋1
＋2t ＝0⇒t ＝4，
所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。