2018年高考数学课标通用理科一轮复习真题演练：第二章

真题演练集训
1．[2016·四川卷]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
答案：B
解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.
由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>lg 2－lg 1.3
lg 1.12，又
lg 2－lg 1.3 lg 1.12≈0.30－0.11
0.05＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以
2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
2．[2015·北京卷]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条
件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案：D
解析：根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．
3．[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p ＋q 2 B ．(p ＋1)(q ＋1)－12
C.pq
D ．(p ＋1)(q ＋1)－1
答案：D 解析：设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，
则(p ＋1)(q ＋1)a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1，故选D.
4．[2015·四川卷]某食品的保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________h.
答案：24
解析：由已知条件，得192＝e b ，∴ b ＝ln 192.
又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，
∴e
11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48192 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12 ＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h ，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＝24.
课外拓展阅读
利用函数模型巧解抽象函数问题
函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数f (x )的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．
[典例1] 已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时有f (x )>0，f (－1)＝－2，求f (x )在[－2,1]上的值域．
[思路分析]
猜测f (x )的函数模型为f (x )＝kx (k ≠0)
――→代入特殊值
判断f (x )的单调性―→得出f (x )在[－2，1]上的值域
[解] 因为对任意实数x ，y 均有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，
令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，故f (0)＝0；
再令y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，
所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．
设x 1<x 2，则x 2－x 1>0.
因为当x >0时，f (x )>0，所以f (x 2－x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，所以f (x )为R 上的增函数． 又f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＝－4，
f (1)＝－f (－1)＝2，
所以当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4,2]．
[典例2] 设函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.
(1)求证：f (0)＝1，且当x <0时，有f (x )>1；
(2)判断f (x )在R 上的单调性．
[思路分析] 猜测f (x )的函数模型为f (x )＝a x
(0<a <1)――→代入
特殊值证明(1)中的结论
――→函数单调性的定义
判断f (x )在R 上的单调性
(1)[证明] 因为对任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )， 令m ＝1，n ＝0，则f (1)＝f (1)·f (0)．
因为当x >0时，0<f (x )<1，所以f (0)＝1.
设m ＝x <0，n ＝－x >0，所以f (0)＝f (x )·f (－x )，
所以f (x )＝f (0)f (－x )＝1f (－x )
>1. 即当x <0时，有f (x )>1.
(2)[解] 设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
所以0<f (x 2－x 1)<1，
由(1)知，f (x 1)>0，
所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)·f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，
即f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在R 上单调递减．
[典例3] 设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )． (1)求证：f (1)＝0；
(2)求证：f (x n )＝nf (x )(n ∈N )．
[证明] (1)令x ＝y ＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＝f (1)－f (1)＝0，从而f (1)＝0. (2)因为f (xy )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1y ＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＝f (x )－f (1)＋f (y )＝f (x )＋f (y )，
所以f (x n )＝f (
x ·x ·x ·…·x )＝nf (x )(n ∈N )．
n 个x
归纳总结
利用函数模型解决抽象函数问题时，可以先从题设条件及欲证结论入手，多方面猜想函数模型，然后以此函数模型为桥梁，找出证明抽象函数其他性质的方法．常见的抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下：。