第四章3 电势

直角坐标系中：
V Ex x
V Ey y
V Ez z
或 E V
物理意义 （1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内 电势 V 的空间变化率. （2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向. 直角坐标系中
讨 论
V V V E （ i j k ) gradV y z x
为求电场强度
（电势梯度） E V
E 提供了一种新的途径
求 E 的三种方法
利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系
i内
0
V


P
E dl
五，电场强度与电势的关系:
引入 ： 从 V a a E dl 可知，由 E 可以求出 U 。 那么，由 V 能否求出 E ？

电场强度与电势的关系:
V El l
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这一点 的电势沿该方向单位长度上电势变化率，负号表示电场强 度的方向由高电势处指向低电势处。
Va
p
E dl
电势计算的步骤：
1、点电荷系:
点电荷电势 计算公式
+
电势叠加 原理
Va
dq 4πε0 r
2、电荷对称连续分布： 根据高斯定理 求电场强度 根据电势定 义求电势
qi E dS
S

0
Va
p
E dl
例4-12 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.
P0
U dr r 2 r 0 a ln 2 0 r
a

P
0
r
E dr
小
结
V
1、 两个基本物理量： E 2、 两个基本定理：
E ds
S
qi内
i
ε0

E dl 0
L
3、电势能： E pa Wa a q0 E dl
O o
Q ˆ0 r 4πε0 r 2
r
R
R
即
r< R
R
V
0 dl
r
Q dr 2 4 0 r

R

Q 4 0 r
dr 2
பைடு நூலகம்
Q 4 0 R
场点在球面外
即
V
r

r> R
R
Q dr 4 0 r 2 4 0 r
Q
电势分布
Q V 4 0 R Q V 4 0 r
E pa E pb＝Wab q0 E dl
a
b
4、 两种计算思路：
注重叠加原理
E
Ei
i 1
1 dq ˆ E dE r 2 0 4 0 r
Va dq 4πε0 r
V Vi
i 1
注重典型场
E ds
S
q
i
y
x
dl + + + + + +R o +
z
+ +
+
+
+
+ +
1 dVP 4 π 0 r
x
qdl dq dl 2π R r P
qdl 2 πR
x
q 1 qdl q VP 2 2 4 π 0 r 2 πR 4 π 0 r 4 π 0 x R
VP
q 4π 0 x R
r< R r> R
等势体
V
0
R
r
例题4-11
求：电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布。
解：由
E 2 0 r
U


r
E dr
分析 如果仍选择无限远为电势0点，积分将趋于 无限大。必须选择某一定点为电势0点——通常 可选地球。现在选距离线 a 米的P0点为电势0点。
a
U
2 2
q 4 0 R
V
讨论
4π 0 R q x R，VP 4π 0 x
x 0，V0
q
o
x
q 2 2 12 4π 0 (x R )
例4-10 计算均匀带电球面的电势 解：均匀带电球面电场的分布为
r R, E 0 r R, E
若场点在球内
R
r
如图
3、电势的计算：
(1) 点电荷:


Edl cos Edr
球对称 标量 正负
Va E dl E dl
a
a


4
r
Q
0r 2
dr
n
Q 40 r (基本公式)
电势叠加 已知电荷分布 已知场强分布
1 qi Va (2)点电荷系: i 1 4πε0 r i dq (3)电荷连续分布： Va 4πε0 r