2019年浙江省温州市瑞安市北龙乡中学中考数学模拟试卷(5月)(解析版)

2021年浙江省温州市瑞安市北龙乡中学中考数学模拟试卷〔
5月〕
4 .为了调查某校同学的体质健康状况,随机抽查了假设干名同学的每天锻炼时间如表: 每天锻炼时间
〔分钟〕 20 40 60 90
学生数
2 3 4 1
那么关于这些同学的每天锻炼时间,以下说法错误的选项是〔 〕
A.众数是60 B,平均数是21 C.抽查了 10个同学
5 .如图,四边形ABCD 内接于.O, AB 是..的直径,假设/ BAC = 20.,那么/ ADC 的度数是〔 〕
一.选择题〔共10小题,每题4分,总分值40分〕 1 .计算15+ 〔- 3〕的结果等于〔 〕
A . - 5
B. 5
C.一吉
5
2 .某班5位学生参加中考体育测试的成绩〔单位：分〕分别是: 的众数是〔 〕
A. 36
B. 45
C. 48
3 .如下图的某零件左视图是〔
〕
D.
50、45、36、48、50.那么这组数据
D. 50
D,中位数是50
A . 90° B, 100° C, 110° D, 130°
6 .对于命题“假设a 2>b 2,那么a>b",下面四组关于a, b 的值中,能说明这个命题是假命题的是 〔
〕 A.a=3,
b = 2 B .
a= 3, b=-2 C. a=-3,
b=-
2 D.
a=-2, b=-
3
7 .如图,这是某市政道路的交通指示牌. BD 的距离为3m,从D 点测得指示牌顶端 A 点和底端C
点的仰角分别是 60.和45.,那么指示牌的高度,即 AC 的长度是〔
〕
D B
A . 3M
B. 3正
C. 3正-3近
D. 3正-3
8 .如图,四边形EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形,且EF ： FG = 3： 1, AB ： BC=2： 1,那么tan/AHE
A
1 c 3
1
c 2
A B
B C T
C T
D 77
5 10
6 7
9 .正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为1 ,把正方形放在正六边形中,使 OK 边与AB 边重合,如下图.按以下步骤操作：将正方形在正六边形中绕点
B 顺时针旋转,使 KM 边与
BC 边重合,完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转,使MN 边与CD 边重合,完成第二次旋转；…… 在这样连续6次旋转的过程中,点 B, M 间的距离不可能是〔
〕
HE S
10 .如图,将边长为10的等边三角形 OAB 位于平面直角坐标系第一象限中,
OA 落在x 轴正半轴上,
C 是AB 边上的动点〔不与端点 A 、B 重合〕,作CDLOB 于点D,假设点C 、
D 都在双曲线y=— 〔k> 0, x> 0〕上,那么k 的值为〔
〕
\ B
加\
A . 9盗
B . 18 C. 25&
D. 9
二.填空题〔共 6小题,每题5分,总分值30分〕
3
-
11 .因式分解：a — 9a=.
12 .一元二次方程x 2-5x-6=0的解是.
13 .我国古代数学著作?增制算法统宗?记载“绳索量竿〞问题,“一条竿子一条索,索比竿子长 一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托. 〞 .其大意为：现有一根竿和一条绳索用绳索去量竿, 绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5尺.设绳索长x 尺,竿长y 尺,那么
列出符合题意的方程组是 .
14 .如图,在^ ABC 中,D 为BC 的中点,以D 为圆心,BD 长为半径画一弧交 AC 于E 点,假设/ A = 60.,/ B=100° , BC = 2,那么扇形 BDE 的面积为 .
15 .体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA, A 处为喷头向外喷水,水流在
各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下〔如图
1〕 .如果曲线 APB 表示的是落点 B 离点O 最
远的一条水流〔如图 2〕,水流喷出的高度 y 〔米〕与水平距离 x 〔米〕之间的关系式是 y=
B. 0.6
C. 0.7 D, 0.8
A . 0.5
18. 〔8分〕如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是DC 上的任意一点, 且交AG 于点F.
(1)求证：△ ABE^A DAF ； (2)假设 EF=1, BE=3,求 DF 的长.
19. 〔8分〕如图,图中出现的角都是直角.
〔1〕画一条直线将这个图形分成面积相等的两个局部〔给出三种画法〕；
〔2〕合〔1〕中要求的直线有多少条？如果只有三条,请说明理由；如果超过三条,请画出另 种图出来.
x 2+4x+且〔x>0〕,那么圆形水池的半径至少为 4
米时,才能使喷出的水流不至于落在池外.
16 .如图,M 是4ABC 的BC 边上的一点,
BD =CD = 6cm,那么DM 的长为 _____ cm.
三.解做题〔共8小题,总分值80分〕 17 . (10 分)(1)计算(-2) 2-tan45°
+ (- 3) 0-4)-2;
U 1
〔2〕先化简,再求值：〔4ab 3-8a 2b 2〕
+ 4ab+ (2a+b) (2a-b),其中 a = 2, b=1.
BEXAG 于点 F, DF // BE,
D,：AD = 12cm,
20. (8分)为了传承中华民族优秀传统文化,我市某中学举行“汉字听写〞比赛,赛后整理参赛
学生的成绩,将学生的成绩分为A, B, C, D四个等级,并将结果绘制成图1的条形统计图和图
2扇形统计图,但均不完整.请你根据统计图解答以下问题：
(1)求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图.
(2)在图2扇形统计图中,m的值为,表示“ D等级〞的扇形的圆心角为度；
(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中,选出2名去参加全市中学生“汉字听写〞大
赛.A等级学生中男生有1名,请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生
21. (10分)如下图,在△ ABC中,/ B = 60.,..是△ ABC的外接圆,过点A作..的切线,
交CO的延长线于点P, CP交.O于点D.
(1)求证：AP=AC；
(2)假设AC= 3,求PC的长.
22. ( 10分)如图,抛物线y1 = a (x- 1) 2+4与x轴交于A (- 1, 0).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2) 一次函数y2= x+1的图象与抛物线相交于A, C两点,过点C作CB垂直于x轴于点B,求
△ ABC的面积.
23. (12分)某商店购进甲、乙两种零件进行销售.甲种零件的进货单价比乙种零件的进货单
价少2元,且用80元购进甲种零件与用100元购进乙种零件的数量相同.
(1)求甲、乙两种零件的进货单价；
(2)如果该商店购进甲种零件的数量比乙种零件的数量的3倍少5个,且购进乙种零件的数不
超过25个,甲、乙两种零件的销售单价分别为12元和15元.设购进乙种零件的数量为a (a为正整数)个,求购进的零件全部售出后所得总利润P的最大值.(利润=售价-进价)
24. (14分)如图1,在四边形ABCD的边BC的延长线上取一点E,在直线BC的同侧作一个以
CE为底的等腰△ CEF,且满足/ B+/F=180.,那么称三角形CEF为四边形ABCD的“伴随三角形〞.
(1)如图1,假设^ CEF是正方形ABCD的“伴随三角形〞：
①连接AC,那么/ ACF =
②假设CE=2BC,连接AE交CF于H,求证：H是CF的中点；
(2)如图2,假设^ CEF是菱形ABCD的“伴随三角形",/ B=60° , M是线段AE的中点,连接DM、FM ,猜测
并证实DM与FM的位置与数量关系.
2021年浙江省温州市瑞安市北龙乡中学中考数学模拟试卷
月)
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,总分值40分,每题4分) 1 .【分析】根据有理数的除法法那么计算可得.
【解答】解：15+ (-3) = — ( 15 + 3) = - 5, 应选：A.
【点评】此题主要考查有理数的除法,解题的关键是掌握有理数的除法法那么：两数相除,同号得 正,异号得负,并把绝对值相除.
2 .【分析】根据众数的定义,找出这组数据中出现次数最多的数,即可求出答案.
【解答】解：在这组数据 50、45、36、48、50中, 50出现了 2次,出现的次数最多, 那么这组数据的众数是 50, 应选：D.
【点评】此题考查了众数,掌握众数的定义是此题的关键, 众数是一组数据中出现次数最多的数.
3 .【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解：从左边看是一个矩形,其中间含一个圆,如下图：
应选：B.
【点评】此题考查了简单组合体的三视图,
从左边看得到的图形是左视图,
注意看到的线画实线.
4 .【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可.
【解答】解：A 、60出现了 4次,出现的次数最多,那么众数是 60,故A 选项说法正确；
B 、这组数据的平均数是：(
20X2+40X 3+60X4+90X 1) + 10=49,故B 选项说法错误；
C 、调查的户数是 2+3+4+1 = 10,故C 选项说法正确；
D 、把这组数据从小到大排列,最中间的两个数的平均数是(
(5
40+60) + 2=50,那么中位数是 50,
故D选项说法正确;
应选：B.
【点评】此题考查了众数、中位数和平均数,中位数是将一组数据从小到大〔或从大到小〕重新
排列后,最中间的那个数〔最中间两个数的平均数〕,叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数.
5 .【分析】根据三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：: AB是直径, ACB = 90° ,
・. / BAC = 20° ,
・./ B=90° - 20° = 70° ,
・. / ADC+Z B=180° ,
・./ ADC= 110° ,
应选：C.
【点评】此题考查圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识,解题的关键
是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型.
6 .【分析】说明命题为假命题,即a、b的值满足a2>b2,但a>b不成立,把四个选项中的a、b 的值分别代入验
证即可.
【解答】解：当a=3, b=2时,a2>b2,而a>b成立,故A选项不符合题意；
当a=3, b=-2时,a2>b2,而a>b成立,故B选项不符合题意；
当a=-3, b=-2时,a2>b2,但a>b不成立,故C选项符合题意；
当a=-2, b=- 3时,a2>b2不成立,故D选项不符合题意；
应选：C.
【点评】此题主要考查假命题的判断,举反例是说明假命题不成立的常用方法,但需要注意所举
反例需要满足命题的题设,但结论不成立.
7 .【分析】直接利用等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出答案.
【解答】解：由题意可得：/ CDB = Z DCB=45° ,
故BD = BC=3m,
设AC = x,
那么tan60°=与色=正,
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确应用锐角三角函数关系是解题关键.
8 .【分析】先求出△ AEH与/\ BFE相似,再根据其相似比EF ： FG = 3： 1设出AE、BF的长及AB、
AF
BC的长,求出荒的值即可.
An
【解答】解：二•四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形,EF： FG=3： 1, AB： BC= 2： 1,
• ./ HEA+Z FEB = 90° ,
• . / FEB+ZEFB = 90° ,
• ./ HEA = Z EFB,
• . / HAE = Z B,
••• RtAHAE^A EBF,
.HA_ AE_ HE_ 1
•・- --- --- =一,
EB FB EF 3
同理可得,/ GHD = /EFB, HG=EF,
GDH^A EBF, DH = BF , DG=EB,
设AB=2x, BC=x, AE = a, BF = 3a,
•••tanZAHE=tanZBEF,
即」一=N-,解得：x=8a,
x-3a
• .tan/AHE = -----------
x-3a
应选：A.
【点评】此题比拟复杂,解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比,根据各边之间的关系列出方程解答.
9 .【分析】如图,在这样连续6次旋转的过程中,点M的运动轨迹是图中的红线,观察图象可知点B, M间的距
离大于等于2-近小于等于1,由此即可判断.
【解答】解：如图,在这样连续6次旋转的过程中,点M的运动轨迹是图中的红线,
.••点D (a,/ a),点C[15-2a,脏(2a-5)].
•・•点C、D都在双曲线y=- (k>0, x>0)上, x
a?</s a= (15-2a) 乂蕊(2a- 5),
解得：a = 3或a = 5.
当a=5时,DO = OB, AC = AB,点C、D与点B重合,不符合题意, a= 5 舍去.•••点D 〔3, 3正〕,
k= 3X 3>/^= 9\^3.
应选：A.
【点评】此题考查正六边形、正方形的性质等知识,解题的关键作出点
解决问题,题目有一定的难度.
M的运动轨迹,利用图象
10.【分析】根据等边三角形的性质表示出D, C点坐标,进而利用反比例函数图象上点的坐标特
征得出答案.
【解答】解：过点D作DE,x轴于点E,过C作CF,x轴于点F,如下图.
可得：/ ODE =30Z BCD= 30° ,
设OE=a,那么OD = 2a, DE = ^a,
BD= OB- OD= 10- 2a, BC= 2BD= 20 - 4a, AC = AB- BC = 4a- 10,
AF= —AC=2a- 5,
2CF=M A F=M (2a - 5), OF =OA-AF=15-2a,
观察图象可知点B, M间的距离大于等于2-第小于等于1, 应选：A.
O E F A
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质,解题的关键是找出
点D、C的坐标.
二.填空题(共6小题,总分值30分,每题5分)
11 .【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解：原式=a (a2-9)
=a ( a+3) ( a - 3),
故答案为：a (a+3) (a-3).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用, 熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键.
12 .【分析】方程利用因式分解法求出解即可.
【解答】解：方程x2-5x-6=0,
分解因式得：(x-6) ( x+1) =0,
可彳导x - 6= 0或x+1 = 0,
解得：x1 = 6, x2 = - 1 ,
故答案为：x1=6, x2= - 1
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键.
13 .【分析】设绳索长x尺,竿长y尺,根据“用绳索去量竿,绳索比竿长5尺；如果将绳索对半
折后再去量竿,就比竿短5尺〞,即可得出关于x, y的二元一次方程组,此题得解.
【解答】解：设绳索长x尺,竿长y尺,
根据题意得：, 1
y-x=5
故答案为：$ 1 .
万"
【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识,找准等量关系,正确列出
二元一次方程组是解题的关键.
14 .【分析】根据三角形内角和定理求出/ C,根据三角形的外角的性质求出/ BDE,根据扇形面积
公式计算.
【解答】解：.一/ A=60° , / B=100° ,
・・/ 0=20° ,
・•• BD= D0 = 1 , DE = DB,
DE = D0 = 1 ,
・./ DE0 = Z 0=20° ,
・./ BDE=40° , 2
・•・扇形BDE的面积=里'兀乂1 =%, 3609
故答案为：■—.
-3
【点评】此题考查的是扇形面积计算,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,掌握扇形面积公
式S扇形=累.TtR是解题的关键.
15.【分析】求出函数解析式中y=0时x的值,结合x>0可得最终的x的值,从而得出OB的长.
【解答】解：在y= — x2+4x+2〔K〉.〕中,当y=0 时,一x2+4x二〔乂= 0, 4 4
1 q
解得x1= - -, x2 =一, 2 2
x> 0,
9 rr 一9
• . x=—,即OB =一,
2 2
,圆形水池的半径至少为卷米时,才能使喷出的水流不至于落在池外,
,9
故答案为：工.
【点评】此题主要考查二次函数的应用,解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义.
16.【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系,求出/ D0B = Z DAC,推出△ DCM S^DAC,得出
比例式,代入AD、D0的值,求出即可.
【解答】解：= BD = D0,
・,・弧BD=M DC,
・./ DCB = Z DAC,
・. / ADC = Z ADC,
・.△DMC C/D ADCA,
,DM DC -
FC DA'
. DM _ 6' • • ■—-=—, 6 12
DM =3, 故答案为：3.
【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定,圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用,解
此题的关键是证△ DCMs^DAC,难点是求出关于DM、AD、DC之间的关系式,题目比拟典型, 具有代表性.
三.解做题(共8小题,总分值80分)
17 .【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、零指数哥、负整数指数哥可以解答此题；
(2)根据多项式除以单项式、平方差公式可以解答此题.
【解答】解：(1) (—2) 2-tan450 + (—3) 0—(工)2
3
=4— 1 + 1 — 9
=-5 ；
(2) (4ab3-8a2b2) + 4ab+ (2a+b) (2a-b)
=b2 - 2ab+4a2- b2
=4a2- 2ab,
当a=2, b=1 时,原式=4X 22-2X2X 1 = 12.
【点评】此题考查整式的混合运算-化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数哥、
负整数指数哥,解答此题的关键是明确它们各自的计算方法.
18 .【分析】(1)由正方形的性质可得AB=AD, ZDAB = Z ADC=90°,由余角的性质可得/ DAF =/ ABE,由
“ AAS〞可证△ ABE^A DAF ；
(2)由全等三角形的性质可得AE=DF, AF=BE=3,即可求DF的长.
【解答】证实：(1)二.四边形ABCD是正方形
AB=AD, Z DAB=Z ADC = 90° ,
••• BEX AG, DF // BE,
••• DFXGA,
•. / BAE+/ABE=90° , / DAF + Z EAB=90°
•./ DAF =Z ABE,且AB = AD, / AFD = / AEB=90°
ABE^ADAF (AAS)
(2) /A ABE^A DAF
AE=DF , AF= BE=3
AE= AF - EF = 3 - 1=2
・•. DF = 2
【点评】此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练运用全等三角形的判定和性质是此题的关键.
19.【分析】(1)作矩形的对角线找出中央,然后作出直线即可得解；
(2)取AB的中点O,过O作直线12也能将这个图形分成面积相等的两个局部,并且这样的直线由无数条.
【解答】解：(1)如图,过O1O2的直线将这个图形分成面积相等的两个局部；
(2)这样的直线由无数条,可以利用图1来画出第四种图形,
如图4,取AB的中点O,过O作直线12也能将这个图形分成面积相等的两个局部.
【点评】此题考查了作图-应用与设计作图,正确的作出图形是解题的关键.
20.【分析】(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数,由各等级人数之和等于总人数求出B等级
人数可补全条形图；
(2)根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数,由C等级人数及总人数可求得m的值;
(3)列表得出所有等可能的情况数,找出一男一女的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解：(1)根据题意得：3 +15% = 20 (人),
・•・参赛学生共20人,
那么B等级人数20- (3+8+4) =5人.
补全条形图如下:
(2) C等级的百分比为~X 100% = 40%,即m=40,
20
表示“ D等级〞的扇形的圆心角为360° X -生=72
20
故答案为：40, 72.
所有等可能的结果有6种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,
贝U P 〔恰好是一名男生和一名女生〕一广一『
6 3
【点评】此题考查了条形统计图,扇形统计图以及列表法与树状图法,弄清题意,从条形图和扇形图得到解题所需数据是解此题的关键.
21.【分析】〔1〕连接OA,由题意可得/ OAP=90.,由于/ B = 60.,所以/ AOC = 2/B= 120.,
由于OA = OC,所以/ OAC = ZOCA=30°,可得/ P = /OCA=30.,所以AP=AC；
〔2〕根据AP=AC=3, /OAP=90.,/ P = 30.,可得OA=OC =&,OP=2»Q 所以PC = OP+OC = 3&.
【解答】解：〔1〕如图,连接OA,
•••过点A作..的切线,交CO的延长线于点P,
・. / B=60
AOC=2/B=120° ,
・.OA=OC,
・./ OAC=Z OCA=30° ,
P=Z AOC-Z OAP = 120° -90° =30° ,
・./ P=Z OCA,
・. AP=AC,
(2) AC=3,
AP=AC=3,
・. / OAP = 90° , / P=30° ,
.•.OA=OC=隹,OP = 2隹,
PC=OP + OC=3避.
【点评】此题考查圆的切线的性质,等腰三角形的判定,解直角三角形的知识.解题的关键是掌
握圆的切线的性质.
22.【分析】(1)根据抛物线yi = a (x-1) 2+4与x轴交于A ( - 1, 0),可以求得该二次函数的
解析式；
(2)根据一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A, C两点,过点C作CB垂直于x轴于点B, 可以求得点C
和点B的坐标,从而可以求得^ ABC的面积.
【解答】解：(1)二•抛物线y1 = a (x-1) 2+4与x轴交于A ( - 1, 0),
0= a ( - 1 - 1) 2+4 ,得a = - 1,
• ・ y1 = - ( x-1) 2+4,
即该抛物线所表示的二次函数的表达式是y1= - (x-1)2+4；
‘今、,［尸TkT .)/曰
(2)由,' ,得
,y=x+l
:一次函数Y2 = x+1的图象与抛物线相交于A, C两点,点A 〔 - 1, 0〕,
.••点C的坐标为〔2, 3〕,
•••过点C作CB垂直于x轴于点B,
・••点B的坐标为〔2, 0〕,
・・•点A 〔― 1, 0〕,点C 〔2, 3〕,
AB=2- 〔- 1〕 =3, BC=3,
・•.△ABC的面积是也生2卫包2 2 2
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式,解答此题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
・3.【分析】〔1〕设甲种零件的进货单价位x元,那么乙种零件的进货单价位〔x+2〕元,根据“用80元购进甲种零件与用100元购进乙种零件的数量相同〞,列出关于x的分式方程,解之检验后即可, 〔2〕乙种零件的数量为 a 〔a为正整数〕个,那么甲种零件的数量为〔3a-5〕个,根据“甲、乙两种零件的销售单价分别为12元和15元〞,结合〔1〕求出的甲乙零件的单价,列出总利润
关于a的一次函数,再根据“乙种零件的数不超过25个〞,根据一次函数的增减性求最值即可.
【解答】解：〔1〕设甲种零件的进货单价位x元,那么乙种零件的进货单价位〔x+2〕元,
根据题意得：—=^77, x x+2
解得：x=8,
经检验：x= 8是方程的解且符合题意,
x+2= 8+2=10,
答：甲种零件的进货单价位8元,那么乙种零件的进货单价位10元,
〔2〕乙种零件的数量为 a 〔a为正整数〕个,那么甲种零件的数量为〔3a-5〕个,
根据题意得：P= 〔12—8〕〔3a —5〕 +〔15—10〕 a= 17a- 20,
a< 25,
又; P随着a的增大而增大,
・・・当a = 25 时P 最大=405,
答：购进的零件全部售出后所得利润得最大值为405元.
【点评】此题考查一次函数的应用,分式方程的应用和一元一次不等式得应用,解题的关键：正
确找出等量关系,列出分式方程和一次函数并利用一次函数的增减性求最值.
24.【分析】〔1〕①连接AC,由正方形的性质和“伴随三角形〞的性质可求/ ACB = Z FCE = 45° , 即可求/
ACF的度数；
②连接AE,交CF于点H,设BC=a, CE=2a,由等腰直角三角形的性质可求AC = &a, EF
= FC=&a,由相似三角形的性质可得鬟霜半3=1,可得结论；
即 Hr V 2 a
〔2〕延长DM交CE于点P,连接DF, FP,由菱形的性质和“伴随三角形〞的性质可求/ ECF = 30° =/FEC, CF = EF, /B = /DCP = 60° , / DAM = / PEM ,通过证实^ ADMEPM , △ CDF EPF 可彳D DF = PF , /DFC=/PFE, /DFP = 120°,即可求DM 与FM 的位置与数量关系.
【解答】解：〔1〕①连接AC,
•••四边形ABCD是正方形
・./ ACB = 45° , / B=90° ,
•・•△CEF是正方形ABCD的“伴随三角形〞：. •/ B+/F=180°
・./ F=90°
又•••△ CFE是等腰三角形
・./ FCE = 45°
../ACF = 180° - Z FCE - Z ACB=90°
故答案为：90°
②连接AE,交CF于点H,
・•• CE=2BC,
・•・设BC=a, CE=2a,
・. / B=90° , AB = BC = a,
AC=^a,
・. / F=90° , CE=2a,
EF=FC = ^a,
・「/ ACF = Z F = 90°
AC // EF
ACH C/D A EFH
.蛆W • •
EF HF V2a
・•.CH= HF,
.••点H是CF的中点,
(2) DM= &FM , FM ±DM
理由如下：如图,延长DM交CE于点P,连接DF, FP,
•••四边形ABCD是菱形
AB=BC=CD = AD, AB//CD, AD//BC,
• ./ B=Z DCP = 60° , / DAM = Z PEM ,
••・假设△ CEF是菱形ABCD的“伴随三角形",/ B = 60° ,
•••/ CFE + Z B=180° ,
••./ CFE = 120° ,且^ CEF是等腰三角形,
• ./ ECF = 30° =Z FEC, CF = EF
• ./ DCF = 30 °
•••/ DAM = / PEM , AM = ME , / AMD = / PME
ADM^A EPM (ASA)
AD= PE, DM = MP
• .CD=PE,且CF = EF, / DCF =Z FEC = 30°
CDF^A EPF (SAS)
• .DF=PF, / DFC=/ PFE,
•••/ PFE+ZCFP = Z CFE= 120
DFC + Z CFP = 120° =Z DFP ,且DF = FP, DM = PM ,
FM ±DM, Z FDM =30°
DM =^qFM
【点评】此题是四边形综合题,考查了正方形的性质,菱形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,添加恰当的辅助线构造全等三角形是此题的关键.。