南沙区第五届“明珠杯”数学竞赛高一试题

南沙区第五届“明珠杯”数学竞赛试题
高一组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：（本题共10小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

）
1.设集合S 、T 是两个非空集合，且,S T T S ⊄⊄,令X S T =，则S X 等于
( )
A ．X B.T C.φ D.S
2．函数2l o g (1)2(01)a
y x x a =++-<<的零点的个数为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数()f x 为增函数；偶函数()g x 在区间［0,+∞)的图象与()f x 的图象重合.设0a b >>,给出下列不等式
( )
①()()()()f b f a g a g b -->--; ②()()()()f b f a g a g b --<--; ③()()()()f a f b g b g a -->--; ④()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是
A ．①与④ B.②与③ C.①与③
D.②与④ 4.设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，
则S 的最小值为 （ ）
A ．1
B ． 1-
C ．3
4- D ．0
5.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，
EF//AB ，EF=32
，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 A. 92
B.5
C.6
D. 152
6. 已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题
①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．
②若α⊂m ，α⊂n ，m β，n β，则αβ．
③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交．
④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7.若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数
m 的取值范围是 ( ) A. )33,33(- B. )3
3,0()0,33( - C. ]33,33[- D. ),33()33,(+∞--∞ 8．已知函数34)(2+-=x x x f ,集合}0)()(|),{(≤+=y f x f y x M ,集合}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ,则在平面直角坐标系内集合N M 所表示的区域的面积是 ( ) A.4π B. 2
π C.π D.π2
9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）.
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
10. 对实数a 和b ，定义运算“⊕”： a b ⊕=,1,1a a b b a b -≤⎧⎨->⎩
.设函数22()(2)()f x x x x =-⊕-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32
B ．(－∞，－2]∪⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞
第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。

）
11. 已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 的值是
12．已知函数2()21(0)f x x ax a a =-++->在0≤x ≤1时有最大值2，则a 的值为
13.若函数f(x)=212
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是 14. 设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间
(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41
b a --的取值范围是 15．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，()()2x f x g x =+，且对任意x ∈R ，满足
(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2014(g = ．
三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分10分）
已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈, 且C B ⊆,求a 的取值范围。

17．（本小题14分）设圆满足：
（1）截y轴所得弦长为2；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线:20
-=的距离最小的圆
l x y
的方程.
18. （本小题满分14分）
如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足. (1)求证:AF⊥DB;
(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π,求直线DE与平
面ABCD所成角的正切值.
19．(本小题满分16分)
定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：
①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ；②对任意实数m , 当x R +∈时，有
()()m f x mf x =．
（Ⅰ）Ⅳ求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； （Ⅱ）证明：()f x 在正实数集上单调递减；
（Ⅲ）若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知二次函数()2f x ax bx c =++.不等式()2f x x >-的解集为{|13}x x <<
（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式
（2）若()f x 的最大值为M .当M >0时，求实数a 的取值范围.。