酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
0 前言 (1)
1 欧式空间和正交矩阵 (2)
1.1 欧式空间 (2)
1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)
1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)
1.2.2 正交矩阵的性质 (3)
2正交变换的定义和性质 (12)
2.1正交变换定义的探讨 (12)
2.2正交变换的判定 (14)
2.3正交变换的性质 (15)
3正交矩阵的应用 (17)
3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)
3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)
3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)
3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)
3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)
3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)
3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)
4 酉空间和酉矩阵 (38)
4.1 酉空间 (38)
4.1.1 酉空间的定义 (38)
4.1.2 酉空间的重要结论 (38)
4.2 酉矩阵 (40)
4.2.1 酉矩阵的定义 (40)
4.2.2 酉矩阵的性质 (40)
5酉矩阵的应用 (48)
5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)
5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)
6 正交矩阵与酉矩阵 (57)
7结论 (60)
参考文献 (62)
致谢 (63)
0前言
正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.
在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.
在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.
1 欧式空间和正交矩阵
1.1 欧式空间
设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:
1) (,)(,)αββα=（对称性）;
2) ),(),(βαβαk k =（线性）;
3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;
4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.
这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.
1.2 正交矩阵的定义和性质
在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.
1.2.1 正交矩阵的定义和判定
正交矩阵有以下几种等价定义及其判定
定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.
定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.
定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.
定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.
由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：
判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .
判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩
其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.
证明 A 为正交矩阵
E AA =⇔'
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔100001000
01,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.
判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i j
ααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.
证明 A 为正交矩阵
E A A ='⇔
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔100001000
01,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i j
ααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.
例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.
1.2.2 正交矩阵的性质
性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；
2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；
3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.
证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.
2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.
3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A A
A --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当
1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.
性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则
1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.
2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭
也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.
证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正
交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA
-等均为正交矩阵.
2) 因为1
1
100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及
A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦
A A A A A A A A ''-⎫=
⎪''-⎭
20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭
是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵
⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121
s i E A A i ,,1, =='⇔
s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.
()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;
性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；
)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.
证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2
, 得0A B +=,即A B +不可逆.
)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2
知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.
充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。

,()()Tr ABA Tr B '=. 特别地我们可选取),,2,1,(n j i E B ij ==错误!未找到引用源。

.这里ij E 错误!未找到引用源。

表示位于第i 错误!未找到引用源。

行第j 错误!未找到引用源。

列交叉位置上的元素为1,其余元素均为零的n 阶矩阵.记n e e e =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100,,010,00121 ，那么,j i ij e e E B '==错误!未找到引用源。

,1,2,,.i j e e i n == 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

记错误!未找到引用源。

的n 错误!未找到引用源。

个列分别为n a a a ,,,21 ,于是有
()()i j i j i j ABA =Ae e A =Ae Ae =a a '''''
所以()().ij i j Tr AB A Tr a a ''=易知).()(i j j i a a Tr a a Tr '='而由矩阵j i a a '是1阶矩阵,
可知.i j j i Tr a a =a a ''（）
综合以上数式,可得11,2,,.0i j i j a a i j n i j =⎧'==⎨≠⎩，若,其中，，若
进而得到
1212100010(,,,)001n n a a A A a a a E a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
由此即知A 为正交矩阵.
正交矩阵的性质主要有以上几点,另外还有以下性质,例如
性质7 正交矩阵的实特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交.
证明 设A 为正交矩阵,λ为A 的实特征值,ξ为对应的实特征向量,则λξξ=A ,取共轭转置得,再右乘ξA 有ξξλξξ'=''2A A .利用E A A ='得ξξξξλ'='2.由于0>'ξξ,所以12=λ,故有1±=λ.
设1和-1是正交矩阵A 的不同特征值,设其对应的特征向量分别是βα,,即ββαα-==A A ,,则易得.,βαβααβαβ'-=''='A A 由A 是正交矩阵，则,1-='A A 故而，βαβαβααβαββα'-='=''=''=''='-1)()(A A A 因此.0='βα即正交矩阵对应不同的特征值的特征向量是相互正交的.
性质8 如果λ是正交矩阵A 的特征值,那么1λ
也是它的特征值. 证明 设λ是A 的特征值,则0λ≠.由于A 是正交矩阵,于是1A =A -'.但A '与A 的特征值全部相同,而1λ是1-A 的特征值.因此1λ
是A 的特征值. 性质9 奇数维欧式空间的旋转一定以1作为它的一个特征值.
证明 设旋转对应的正交矩阵为A ,那么A E A A A A A E n '--=-'=-)1( 由于n 为奇数,且1=A ,于是A E A E A E --='--=-)(,故0=-A E ,即1为A 的一个特征值.
性质10 设A 均为n 阶正交矩阵.
(1)当0<A 时,则1-是A 的特征值；
(2)当0<A 且n 为偶数时,则1是A 的特征值；
(3)当0>A 且n 为奇数时,则1是A 的特征值. 证明 (1)只需证.01=--A E n
事实上,n n n E A A E +-=--)1(1
n n n E A A A E A A A A E A +='+='+=+)( ,0)1(=+-⇒n E A A 其中.01≠-A 从而0=+n E A ,得证1-是A 的特征值.
(2,3)只需证.0=-A E n 事实上,
A E A E A A E A A A A A A E n n n n -'-=-='-=-'=-)1()( .0])1(1[=---⇒A E A n n 当0<A 且n 为偶数时,()；0111≠-=--A A n 当0>A 且n 为奇数时,(),0111≠+=--A A n ,0=-A E n 从而得证1是A 的特征值.
性质11 设A 均为n 阶正交矩阵,()A xI x f A -=为A 的特征多项式,则 ()I 当1=A
()i n 为偶数时,
(),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),2
,,2(11===+--n k n k b n k b b ()ii n 为奇数时,
(),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=--
其中.1),2
1,,21(11-=-=-=+--n k n k b n k b b ， ()II 当1-=A
()i n 为偶数时,
(),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),2
1,,21(1-=-=-=--n k n k b n k b b ， ()ii n 为奇数时,
(),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中.1),2
1,,21(=-==-n k n k b n k b b ， 证明 正交矩阵A 的特征多项式为(),111n n n n A b x b x b x A xI x f ++++=-=-- 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以()k
1-. 令⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=k k k i i i i A M 11为A 的k 阶主子式,k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=---k n k n k n i i i i A N 11为k M 的余子式. ()I 若1=A ,则()().112k n k n i i k k N N A M k
--++=-== 因k M 为A 的k 阶主子式,所以k n N -为A 的k n -阶主子式,故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切k n -阶主子式之和.
()i n 为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+--=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11
,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=- 故().11),2
,,2(11=-===+--A b n k b b n n k n k ()ii n 为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+--==且k b 为所有的k
M 之和乘以()k n k
b --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()k n k ---11与相差一个符号.故.1)1(),2
1,,2,1(1-=-=-=-=--A b n k b b n n k n k
所以,若1=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2
n b 为中间项,
左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项n b ；当n 为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且n b 为-1,故也包括在内.
()II 若1-=A ,则()().112k n k n i i k k N N A M k
--++-=--=-= 故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切k n -阶主子式之和仅差一个符号.
()i n 为偶数时,()x f 有奇数项,由,11+---=k n k N M 且1-k b 为所有的1-k M 之和乘以()11
,1+---k n k b 为所有的1+-k n N 之和乘以(),11+--k n 其中()()().1111为偶数n k n k +---=- 故.1)1(),2
,,2(11=-==-=+--A b n k b b n n k n k ()ii n 为奇数时,()x f 有偶数项,由,,11k n k k n k N M N M -+---=-=且k b 为所有的k 阶主子式之和乘以()k n k b --,1为所有的k n -阶主子式之和乘以(),1k n --其中()()k n k ---11与相差一个符号. 故.1)1(,2
1,
,2,1-=-=-==-A b n k b b n n k n k ）（ 所以若1-=A ,当n 为偶数时,A 的特征多项式有奇数项,它以2
n b 为中间项,左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,n b 为1-,故也包括在内；当n 为奇数时,A 的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相同,其中包括首项系数与常数项n b 均为1,也包括在内.
性质13 正交矩阵A 的一切k 阶主子式之和与一切相应k n -阶主子式之和或相等或仅差一符号.
性质14 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵T 使得1
12A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中1,...,n λλ为A 的全部特征值,即()11,2,...,i i n λ==.
性质15 对称正交矩阵()n n ij a A ⨯=的行列式().12trA n A --=
证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或1-.设A 的n 个特征值中有k 个1-,则剩下的就是k n -个1.由()(),2111trA k n k n k n i i =-=-⨯+⨯-=∑=λ故.2
trA n k -=
所以().)1(1121trA n k
k i n i A -=-=-=∏=λ 例如对称正交阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=979494949198
94989
1A 有()().111297919132-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--trA n A 性质16 当n 阶正交矩阵A 为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为n 个n 次单位根.
证明 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0001100001000010 A 为基础循环矩阵.可知A 的特征多项式为
(),1-=-=n x A xI x f 则其特征根为()n k n
k i n k x k ,,2,12sin 2cos =+=ππ. 故n x 为n 次单位根.
2正交变换的定义和性质
在标准正交积下,正交变换与正交矩阵对应,本文中提到在探讨性质应用之前,先得了解正交矩阵的出处,正交矩阵来自于正交变换的定义,设R End ∈σ(V)是欧几里得空间的线性变换,如果σ保持内积不变,也就是说,对任意的V ∈βα,,有()()(),(),σασβαβ=.正交变换是保内积的,也即保长度和夹角,则变换前后的图形全等.
2.1正交变换定义的探讨
在解析几何中,我们学过正交变换的定义,正交变换就是保持点之间距离不变的变换,正交变换也是高等代数与线性代数中常见的定义,其表述方式为：
定义2.1.1 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换,如果保持向量内积不变,即对,V αβ∀∈,都有()()(),(),σασβαβ=,则它是正交变换.
定义2.1.2 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换,如果保持向量的长度不变,
(,)2(,)2(,)(,)(,)2(,)0αβαβαβααββααββαβ=++-+-++++=, 故()()()0σαβσασβ+--=即()()()σαβσασβ+=+
其次再证()()a a σασα= ()a R ∈
()()()()(),a a a a σασασασα--
))(),(())(),((2)(,(ασασασασασασa a a a a a +-=））（
),(),(2),(222ααααααa a a +-=
0=
即()()a a σασα=
σ∴是线性变换,因此也是正交变换.
由命题可知,定义1中σ是线性变换是多余的,因此定义可以修改为：
定义1 欧氏空间V 中的一个变换σ,若它保持向量内积不变,即,V αβ∀∈有()()(),(),σασβαβ=,则σ为正交变换.
探讨2 由定义1到定义1＇,将条件中线性变换降弱为变换,于是我们就问可以将定义2中的线性变换也降弱为变换？事实上,这是不行的,我们用一道考研题来说明.
中国人民大学1991年考研试题：
欧式空间V 中,保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？若是给出证明,若不是举出反例.
探讨3 在解析几何中,正交变换是保持点之间距离不变的变换,下面将研究,在欧式空间中,保持向量距离不变的变换是否为正交变换？
下面以一道山东大学考试题说明：
换是否为正交变换？
答 不一定是正交变换,比如在2R 中的向量平移()()(,)1,1x y x y τ=++ 但(αβ+=()()τβ+=τ不是线性变换总之,由以上讨论线性变换在欧氏空间的前提条件下保持向量长度以及保持向量距离不变是等价,,n ε是标准正交积(),,n σε也是
σ是正交变换
()(
σασβ
+
是正交变换∴
3正交矩阵的应用
3.1正交矩阵在线性代数中的应用
在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens 矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧式空间的一组基为标准正交基的另一种方法.
设向量()'=n w w w W 21,,令()i j w w s j i >+=22,s
w d s w c j i ==,,则称n 阶矩阵
行行j i c d d c T ij ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11 i 列 j 列
为初等旋转矩阵.
初等旋转矩阵ij T ,是由向量W 的第j i ,两个元素定义的,与单位矩阵只在第j i ,行和第j i ,列相应的四个元素上有差别.
设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()i j >,则有如下的性质:
<1> ij T 是正交矩阵;
<2> 设）（'=n ij u u u W T ,,,21 ,则有）
（j i k w u u s u k k j i ,,0,≠===; <3> 用ij T 左乘任一矩阵A ,ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ij T 右乘任一矩阵A ,A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.
证明 <1> ()122
2
22=+=+s w w d c j
i ,故E T T ij ij =',ij T 是正交矩阵.
<2> 由ij T 得定义知,用ij T 左乘向量W ,只改变W 的第j i ,两个元素,且
022=+-=+-==+=+=s
w w s w w cw dw u s s w s w dw cw u j i i j j i j j i j i i 所以ij T 左乘W ,使ij T W 的第i 个分量非负,第j 个分量为0,其余分量不变.
<3> 根据 <2> 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 3.1.1 任何n 阶实非奇异矩阵()n n ij a A ⨯=,可通过左连乘初等旋转矩阵
化为上三角矩阵,且其对角线元素除最后一个外都是正的.
定理 3.1.1 设P 是n 阶正交矩阵
<1> 若1=P ,则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积,即r P P P P 21=;
<2> 若1-=P ,则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -,即n r E P P P P -= 21,其中),2,1
(r i P i =是初等旋转矩阵. n n n
E ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111 证明 由于P 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵,而且R 得对角线上的元
素除最后一个外都是正的,所以有R S S S P r '''= 21
(3-1-1) 由P 是正交矩阵和(3-1-1)式得
E R S S S S R P P r r ='''=' 1
1 即 E R R =' (3-1-2) 设 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡=nn n n r r r r r r R 22211211 其中()12,10-=>n i r ii ,则
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='11122211211212212
11 nn n n nn n n r r r r r r r r r r r r R R 由上式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=.11;11
;1,,2,1,;1;0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且
所以 ⎩⎨⎧-===-11P E P E R n
当当 (3-1-3) 于是由(3-1-1)和(3-1-3)式得
<1> 当1=P 时,''2'1r S S S P =;
<2> 当1-=P 时,n r E S S S P -=''2'1 .
记()r i S P i i ,,2,1' ==,i P 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.
引理 3.1.2 设()m n ij a A ⨯=,秩()m A =,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把
'A 变为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛O R 的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是()m m n ⨯-矩阵. 证明 由引理3.1.1知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=O R P A 1,其中P 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,又根据定理3.1.1知⎩⎨⎧-===-1
,1,11
P E P P P P P P n r r ，其中()r i P i ,2,1=是初等旋转矩阵. <1> 当1=P 时,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=O R P P P A r 121 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''=O R A P P R R r 11, <2> 当1-=P 时,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-O R E P P P A n r 121 于是有.11⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''-O R O R E A P P n r 显然,R 是m 阶上三角阵. 当m n =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,其余元素对应相等.
当m n >时,1R R =,所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.
设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm m m m n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是欧式空间n R 的子空间m V 的一组
基,记()⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==nm n n m m m a a a a a a
a a a A 21
22221
112
11
21ααα,则A 是秩为m 的m n ⨯矩阵. 若()m n ij a A ⨯=满足引理3.1.2的条件,则存在初等旋转矩阵r P P P ,,,21 使得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''O R A P P r 1 (3-1-4)
且 P P P P P E P P P P r r r r '=''''=''''--121121 (3-1-5)
由(3-1-4)和(3-1-5)两式知,对A 和E 做同样的旋转变换,在把A 化成
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛O R 的同时,就将E 化成了T
P ,而P 的前m 个列向量属于子空间m V . 综上所述可得化欧式空间的子空间m V 的一组基m ααα,,,21 为一组基为准正交基的方法为(其中m i a a a ni i i i ,,2,1,),,,(21 ='=α):
<1> 由已知基m ααα ,,21为列向量构成矩阵()m n ij a A ⨯=;
<2> 对矩阵()E A 施行初等旋转变换,化A 为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O R ,同时E 就被化为正交矩阵
'P ,这里R 是m 阶上三角阵;
<3> 取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例说明此方法的应用：
例 3.1.1 求以向量()()()'
-='-='-=1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1321ααα为基的向
量空间3V 的一组标准正交基.
解 矩阵
()⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---==100010001111321αααA 对分块矩阵()E A 依次左乘342312,,T T T ,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
-
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
-=212
300232100001
000
01,10
00
03132
003231000
01
,100
00100002222002222
342312T T T 得
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----
------=212
12
12
1
00
23321321
3
21
332000236161
61
2300021212121212
2334 E A T T T 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--------
--
=⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-----
-----
='212
30
021321320
21321612121321
61
21,212
12
121
2332132132103261610021
21P P 取⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23321321321,0326161,002121321P P P 则321,,P P P 就是由3
21,,ααα得到的3V 的一组标准正交基.
3.2利用正交矩阵化二次型为标准形
任意一个n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量,那么对称矩阵的对角化需要什么条件,怎样进行对角化?下面的讨论将给出答案.
3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 定理 3.2.1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设A 是n 阶实对称阵,λ是的特征值,()12,,
,n X x x x '=是属于λ的特征
向量,于是有AX X λ=.令12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中i x 是i x 的共轭复数,则________AX X λ=,考察等式____________
()()()T
T
T T T X AX X A X AX X AX X ===,其左边为____T
X X λ,右边为____T
X X λ.故____
T X X λ=____T
X X λ,又因X 是非零量,____11220T
n n X X x x x x x x =+++≠故λλ=,
即λ是一个实数.
因实对称矩阵A 的特征值i λ为实数,所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=为实系数方程组,由0i A E λ-=知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.
例如,124003001A -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,1,21λ=,30λ=均为实数,而A 不是对称的.
定理 3.2.2 设A 是实对称矩阵,定义线性变换σ:1122n n x x x x A x x σ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(3-2-1) 则对任意向量,n R αβ∈,有()(),,A A αβαβ=或()A A βααβ''=.
证 只证明后一等式即可.()()()A A A A βαβαβααβ'''''===.
定理 3.2.3 设A 是实对称矩阵,则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.
证 设12,λλ是A 的两个不同的特征值,12,x x 分别是属于12,λλ的特征向量,
则111Ax x λ=,222Ax x λ=.定义线性变换σ如定理3.2.2中的(3-2-1),于是
111Ax x λ=,222Ax x λ=.由()()1212,,Ax x x Ax =,有()()112212,,x x x x λλ=.因为12λλ≠,所以()12,0x x =.即12,x x 正交.
定理 3.2.4 对任意一个n 级实对称矩阵A ,都存在一个n 级正交矩阵P ,使
1P AP P AP -'=成为对角形且对角线上的元素为A 的特征值.
证 设A 的互不相等的特征值为12,,,s λλλ()s n ≤,它们的重数依次为
12,,
,s r r r ()12s r r r n +++=.则对应特征值i λ(1,2,
,)i s =,恰有i r 个线性无关的
实特征向量,把它们正交化并单位化,即得i r 个单位正交的特征向量,由
12s r r r n +++=知,这样的特征向量共可得n 个.由定理3知对应于不同特征值的
特征向量正交,故这n 个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P ,则1P AP P AP -'==Λ,其对角矩阵Λ中的对角元素含1r 个1λ,…,s r 个s λ,恰是A 的n 个特征值.
3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例
定理3.2.4说明,对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在,使它化为对角形.定理3.2.4的证明过程也给出了将实对称矩阵A 对角化找出正交阵P 的方法,具体步骤如下：
()1求出实对称矩阵的A 全部特征值12,,,s λλλ.
()2对每个i λ(1,2,,)i s =,由()0i E A X λ-=求出的特征向量.
()3用施密特正交法,将特征向量正交化,再单位化,得到一组正交的单位向量
组.
()4以这组向量为列,作一个正交矩阵P ,它就是所要求的正交阵.
根据上述讨论,下面举例说明.
例 3.2.1 求一正交矩阵P ,将实对称矩阵400031013A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
化为对角阵.
解 由于2400031(2)(4)0
1
3A E λλλλλλ
--=-=---,A 的特征值为12λ=,
234λλ==.
对12λ=,由()20A E x -=得基础解系1011ξ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
;
对234λλ==,由()40A E x -=得基础解系2100ξ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
,3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ与3ξ恰好正交,
所以1ξ,2ξ,3ξ两两正交.
再将1ξ,2ξ,3ξ单位化,令()1,2,3i
i i
i ξηξ=
=
得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝,2100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,30η⎛⎫ =
⎝ 于是得正交阵(
)1230
10,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝,
则1200040004P AP -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
例 3.2.2 设2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
,求n
A .
解 ()1先将A 对角化求出正交阵P .
21(1)(3)01
2A E λλλλλ
---=
=--=--,121,3λλ==.
由()0A E x -=,()30A E x -=分别得基础解系111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211ξ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
. 则()1211,11P ξξ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
,1111112P -⎛⎫= ⎪
-⎝⎭,则1
1003P AP -⎛⎫Λ== ⎪⎝⎭.
()2利用1n n P A P -Λ=求n A .
1
111011131311110311221313n n n
n
n n n A P P -⎛⎫
+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 定理3.2.5 任意的一个实二次型ji ij j i n i n
j ij a a x x a =∑∑==,11
都可以经过正交的线性
替换变成平方和,2
222211n n y y y λλλ+++ 其中平方项的系数n λλλ,,,21 就是矩阵
A 的特征多项式全部的根.
3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程
二次曲面的一般方程是yz a xz a xy a z a y a x a 231312233222211222+++++
0222321=++++d z b y b x b (3-2-2)
令.,,3213323
13
232212
131211
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b B z y x X a a a a a a a a a A
则(3-2-2)可以写成 02=+'+'d X B AX X (3-2-3) 经过转轴,坐标变换公式为
.,11113332
312322
211312
11CX X z y x c c c
c c c c c c z y x =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或者
其中C 为正交矩阵且.1=C 在新坐标系中,曲面的方程就是
()().02111=+'+''d X C B X AC C X
根据上面的结果,有行列式为1的正交矩阵C 使得.000000
32
1⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='λλλAC C 也就是说,可以作一个转轴,使得曲面在新坐标系中的方程为
,02221*
31*2
1*1213212211=++++++d z b y b x b z y x λλλ其中()().321*3*2*1C b b b b b b ，，，，= 这时,再按照321,,λλλ是否为零的情况,作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.
譬如说,当321,,λλλ全不为零时,就作移轴变换
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-=-=-=.
,,
3*3212
*
2211
*121λλλb z z b y y b x x
于是方程就可化为,0*21
3212211=+++d z y x λλλ其中.3
2*3
2
2*2
1
2
*1*
λλλb b b d d -
-
-
=
例3.2.3 二次曲面S 的直角坐标系方程014844222=----++yz xz xy z y x . 作直角坐标变换,把它化成标准方程,并指出S 是什么二次曲面.
解 首先把方程左端的二次项部分yz xz xy z y x z y x f 4844),,(222---++=
经过正交替换化成标准型.二次型的矩阵是⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------=124242421A .
则存在正交矩阵,32531
315
152
5523254551
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=T 使得{}.45,5diag 1
-=-，
AT T 于是作正交替换⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛***z y x T z y x 可把二次型化成标准形
()2
2
2
***455,,z y x z y x f -+=.
因此,作直角坐标替换,二次曲面在新的直角坐标系中的方程为
.14552
22***=-+z y x
由此可以看出,S 是单叶双曲面.
3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用
一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵,包括:QR 分解 奇异值分解 谱分解 极分解
定理 3.3.1设A 是可逆的n 阶实方阵.
求证：存在正交阵U 和正定阵T ,使UT A =,且这个分解式是唯一的;存在正
交阵1U 和正定阵1T ,使11U T A =,且这个分解式是唯一的.
证明
A 可逆∴AA '正定,从而存在正定阵T ,使2AA T '=.
则121()[()]A A T A T T UT --''=== 即1()U A T -'=
故1112111()()()()UU A TT A A T A A AA A E ------''''''====
现假设A 还有另一分解,即US UT A ==.则 1UU ST -'=,U 为正交阵,而U 的特征值为实数且是正的 1
1
1
1
22221()()T ST T T ST --∴=可对角化,即1E ST -=S T ∴= ∴分解式是唯一的.
后者对A 用已证结果可得11U T A =.
推论1 设A 是一个n 阶实可逆矩阵,PU A =是极分解,其中P 是正定矩阵,U 是正交矩阵,则 AA A A PU UP ''=⇔=.
证明 充分性.
22()()()()AA PUU P PP P U UP U P PU PU PU A A '''''''=======；
必要性.
AA A A ''= 22P U P U '∴=
由2P 及U 均为正定矩阵知它们均有正定平方根且P 和U PU '的平方根是唯一的,所以P U PU '=,故UP PU =.
定理 3.3.2 任一实满秩矩阵A 可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之积,且这种分解是唯一的,这个分解也称为矩阵的QR 分解.
证明 设12(,,
,)n A ααα=,其中12,,,n ααα为A 的列向量.
A 为实满秩矩阵 12,,,n ααα∴线性无关
则可用施密特正交化方法,令
1121221
1111(,)(,)(,)
(,)n n i n n
i i i i βααββαβββαββαβββ-==⎧⎪
⎪=-⎪
⎨⎪
⎪=-⎪⎩∑ (3-3-1)
其中(,)αβαβ'=
再将i β单位化,令1
i i i
r ββ= ,1,2,
,i n = (3-3-2)
则12,,
,n r r r 为标准正交基,而12(,,,)n U r r r =为正交阵
由(3-3-1)和(3-3-2)解出i α,得11
11212(,,,)(,,
,)0
n n n nn t t A r r r UT t ααα⎡⎤
⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
其中11
10n nn t t T t ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为上三角阵且0ii i
t β=>为正实数.
再证唯一性 设还有正交阵1U 及对角线元素为正实数的上三角阵1T ,使
11A U T =.下证11,U U T T ==.
令11B U U -=,则1111B U U TT --==,则B 既是正交阵又是上三角矩阵,即B 为对角矩阵,但T 与11T -的主对角线元素为正实数,从而 1(,
,),n B diag b b =0,i b >1,
,i n =
而由B 是正交阵B E ∴= 即1111E U U TT --== 1,U U ∴= 1T T =.
事实上,设A 是任一n 阶实满秩矩阵,则A 可唯一地分解成以下形式之一：
）（1,UT A =其中U 为正交阵,T 为主对角元均正的上三角矩阵；
()2,11U T A =其中1U 为正交阵,1T 为主对角元均正的上三角矩阵；
）（3,US A =其中U 为正交阵,S 为主对角元均正的下三角矩阵；
）（4,11T U A =其中1U 为正交阵,1T 为主对角元均正的下三角矩阵；
证明 ()1已经证明.
()2此时1-A 非奇异,按
）（1可得,1UT A =-从而.11--=U T A 令，11T T =-则1T 仍为主对角元都为正的上三角矩阵, 令,11U U =-则1U 仍为正交阵,从而.11U T A =
同理,对T A 与T A -用）（1的结果可证明）（3和）（4.
例3.3.1将102110123A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
分解为正交矩阵与上三角矩阵之积.
解 令123(,,)A ααα=,其中i α为A 的列向量,对123,,ααα用施密特正交化方法
得到正交向量123,,βββ,即12312371161
(,,)(,,)012001βββααα⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
再单位化得12,,
,n r r r ,
即1212300(,,
,)(,,)000
5n r r r βββ⎤⎥⎥⎢
⎥=⎢
⎥⎢⎢⎢⎣
⎦
令03Q ⎤⎥⎢=-⎥
⎢⎥⎥⎦
,000
R ⎢⎢=⎢⎢
⎢
⎢⎣
,则Q 为正交矩阵,R 为上三角矩阵,并且A QR =.
注 可见在掌握QR 分解定理时,对证明的思路及步骤也必须熟练掌握.这样在求矩阵A 的QR 分解时才能用到.
例3.3.2 （华中师大1994,1996）设A 是n 阶实可逆阵.求证存在n 阶正交阵
P 和Q ,使得1
00n a PAQ a ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝
⎭
,其中0(1,2,
,)i a i n >=且22
2
12
,,,n
a a a 为A A '的全部特征值.
证明 由定理3.3.1知,存在正交阵B 和C 使CB A = (3-3-3） 其中B 的特征值12,,
,n a a a 均为正,且22
2
12
,,,n a a a 为A A '的全部特征值
由B 为正定阵,从而存在正交阵T ,使得1
00n a B T T a ⎛⎫
⎪'= ⎪ ⎪⎝
⎭
(3-3-4) 将(3-3-4)代入(3-3-3)得 1
0()0n a A CT T a ⎛⎫
⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭
1
10()0n a CT AT a -⎛⎫
⎪''∴=
⎪ ⎪⎝⎭,即100n a PAQ a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(3-3-5) 其中1()P CT -'=,Q T '=均为正交阵.
注 我们可以将(3-3-5)改写为1
00n a A P Q a ⎛⎫
⎪''= ⎪ ⎪⎝
⎭
,这就是A 的一个分解即实可逆阵表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积.
例3.3.3（浙江大学,天津师范大学）设A 为m n ⨯阶实矩阵,且r rankA =,
则矩阵000D A P Q ⎡⎤
'=⎢⎥
⎣⎦
,其中P ,Q 分别为m 阶和n 阶的正交矩阵,而12(,,,),r D diag a a a =0,i a >1,2,,i r =.
证明 由题意知AA '不是正定阵 (())r A r =
从而存在正交阵P ,使21200n AA P P λλ⎛⎫
⎪
''=
⎪ ⎪⎝
⎭
(3-3-6) 又 ()()r r A r AA '== 不失一般性,不妨设222120r λλλ≥≥≥>,10r m λλ+=
==
令 ,i i d λ=(1,2,,)i r =,由(3-3-6)得2
00
0D AA P P ⎡⎤
''=⎢
⎥⎣⎦
(3-3-7) 将P 分块,令[]1
2P P P =[]2
121
211
2000P D AA P P PD P P '⎡⎤⎡⎤''∴==⎢⎥⎢⎥'⎣⎦
⎣⎦ (3-3-8) 由于P 为正交阵1r P P E '∴=
用1P '左乘,1P 右乘(3-3-8)两端得211()P
AA P D ''= (3-3-9) 令 111V D P A -''=,则1V 为r m ⨯实矩阵,且 111111()()r V
V D P A D P A E --''''== (3-3-10) []11
21122P E PP P P PP P
P P '⎡⎤'''===+⎢⎥'⎣⎦
122111111()E P P A PP A PDD P A PDV -''''-=== (3-3-11)
由(3-3-11)得 1122A PDV P
P A ''=+ (3-3-12) 由于()r P A r '= 0P AX '∴= 有m r -个线性无关的解,将它们正交单位化后构造()m m r ⨯-矩阵2V ,这样由20P AV '=,可得
12
220
P AV P AV ⎧'⎪=⎨'=⎪⎩ (3313)(3314)
----
但22V V E '= 令12(,)Q V V =,由于112120V V D P AV -''==
从而Q 为正交阵,并(3-3-8)(3-3-13)式
11212121212111()0P AV P A D P A P AA PP P PP P PD ---''''''''==== 1(0)
P P '= 由(3-3-14)式得
111221220()(,)00P D P AQ PDV P P A V V P ⎡⎤⎡⎤'''=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(3-3-15) 其中12(,,,),n D diag d d d =0,i d >(1,2,,)i r =
由(3-3-15)知 000D A P Q ⎡⎤
'=⎢
⎥
⎣⎦
. （证法二）由假设存在m 阶与n 阶可逆矩阵S T 和,使000r
E A T S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对T ,S '作QR 分解,1T PR =,1S Q L ''=
其中1P ,1Q 分别为m 阶与n 阶正交矩阵,,R L 分别为非奇异的正三角矩阵与下
三角矩阵,则1
21
1111132300000000r
R R L E R L A P Q P Q R L L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'
'==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ (3-3-16)
其中1R 为R 的r 阶顺序主子阵,1L 为L 的r 阶下三角顺序主子阵,
所以11R L 是r 阶可逆矩阵,因而存在正交矩阵2P ,2Q ',使得 211212()(,,,)r P R L Q diag a a a '=，
其中0i a >,1,2,,i r =. （3-3-17) 令12(,,
,),r D diag a a a = 2
10,0m r P P P E -⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 2
100n r Q Q Q E -⎡⎤'=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
将(3-3-17)代入(3-3-16)得 000D A P Q ⎡⎤
'=⎢
⎥
⎣⎦
且m P P E '=,n Q Q E '=. 例3其实矩阵分解的一个类型,也就是矩阵的奇异值分解问题,而由矩阵的奇异值分解,我们可以得到矩阵的另一种分解模式,即矩阵的极因子分解问题.
定理3.3.3设A 为n 阶实方阵,那么
()1 A 必有分解式11
22()()A AA Q Q AA ''==,其中Q 为正交阵； ()2 当0A ≠时,()1式中的分解Q 是唯一解.
证明 ()1 由矩阵的奇异值分解,知存在正交阵',P R ,使得000D A P R ⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦
,其中12(,,
,)r D diag a a a =.
2
00
0D A A R R ⎡⎤
''∴=⎢
⎥⎣⎦,200
0D A A P P ⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦
其中 222
212(,,,)r D diag a a a =
12
0()00D A A R R ⎡⎤
''∴=⎢⎥
⎣⎦
(3-3-18) 1
2
()00D AA P P ⎡⎤
''=⎢⎥⎣⎦
(3-3-19)
其中 12(,,,)r D diag a a a =
用PR '左乘(3-3-18)式两边,得
120()00D PR A A P R A ⎡⎤
'''==⎢⎥
⎣⎦
其中 12(,,,)r D diag a a a =
用PR '右乘(3-3-19) 式两边得 1
2()A A P R A ''=
令 P Q R '= 即11
22()()A AA Q Q A A ''==
()2 由A 可唯一确定12
(),A A '12
()AA ',而当A 非奇异时12
()A A -'存在,可唯一决
定12
()Q A A A -
'=.
例3.3.4 设B A ,为任意n 阶实矩阵,且 A A B B ''=,则B QA =,这里Q 为正交矩阵.
证明
A A
B B ''= 11
22()()B B A A ''∴=
由矩阵的极因子分解,我们有
112222()()B Q B B Q A A ''==,1
21()A Q A A '=,其中1Q ,2Q 为正交阵, 1
2211()B Q Q Q A A QA ''∴==,这里21Q Q Q '=为正交阵.
注 当A 是非奇异矩阵时,本条极易证明. 由A A B B ''= 得1111()()()BA BA A B BA E ----'''== 这证明1Q BA -=是正交矩阵 .B QA ∴=
以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系,但作为正交阵分解本身而言,也是特殊的.
例3.3.5 设A 是正交矩阵,求证存在正交阵B ,使得3A B =. 证明
A 是正交阵∴存在可逆阵P ,使得
112211
12
2cos sin cos sin sin cos sin cos r
s
P AP diag E E αααααααα-⎡
⎤
--⎛⎫
⎛⎫=⎢⎥
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎣
⎦
显然存在正交阵B ,使得
11221
1122cos sin
cos sin
3333sin cos sin cos 3333r
s
P BP diag E E αααααααα-⎡⎤
⎛
⎫
⎛⎫--⎢
⎥ ⎪
⎪⎢⎥=
⎪
⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎢⎥⎝
⎭
⎝
⎭⎣
⎦
而 131()P BP P AP --= 3A B ∴=.
例3.3.6 设A 为n 阶矩阵,且2A E =,证明：秩()A E ++秩()A E n -=.（厦门大学06）。