江西省新余市高三数学上学期期末试卷文(含解析)

2015-2016学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）
2．已知复数Z满足Z•（1+i）=2i，则Z是（）
A．1+iB．1﹣iC． D．
3．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）
A．50B．40C．25D．20
4．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知角α终边上一点P（，1），则2sin2α﹣3tanα=（）
A．﹣1﹣3B．1﹣3C．﹣2D．0
6．设函数f（x）=，则f（log2）=（）
A．﹣B．﹣6C．6D．
7．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）
A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？
8．数列{a n}是等差数列，且a1＞0，若a1008+a1009＞0，a1008•a1009＜0同时成立，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）
A．2016B．2017C．2018D．2019
9．设x，y满足约束条件，若=（y，1），=（，0），则z=的取值
范围是（）
A．[﹣，﹣]B．（﹣∞，﹣]
C．（﹣∞，﹣]∩[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）
10．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）
A． B．﹣C． D．﹣
11．某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是（）
A．2B． C．3D．
12．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=，则下
列结论正确的是（）
A．f（x）在（0，+∞）上有极大值B．f（x）在（0，+∞）上有极小值
C．f（x）在（0，+∞）单调递增D．f（x）在（0，+∞）单调递减
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．已知直线l1：2x﹣my=1，l2：（m﹣1）x﹣y=1，若l1∥l2，则实数m的值为．14．若椭圆的中点在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为．
15．如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，
则BC= ．
16．关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：
①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；
②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；
③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；
④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．
其中正确结论的个数是．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．
18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正
确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：其中n=a+b+c+d）
19．如图，已知多面体ABCDE中，DE⊥平面DBC，DE∥AB，BD=CD=BC=AB=2，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点D到平面EBC的距离的取值范围．
20．已知曲线C1： +=1（a＞b＞0），过点P（﹣1，1）的直线l上的动点Q到原点的
最短距离为
（1）求直线l的方程；
（2）若曲线C1和直线l交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，当S△OMN=
时，求曲线C1的方程．
21．已知函数f（x）=（a为常数）．
（1）当a＞0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=x3﹣ax2+2，若x∈[﹣1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
以下为选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：平面几何选讲]
22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠PEC=∠PDF；
（2）求PE•PF的值．
[选修4-4：极坐标和参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与
曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=+．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．
2015-2016学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）
【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．
【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（∁U A）∩B．
【解答】解：A={x||x﹣1|＞2}={x|x＞3或x＜﹣1}，
∁U A={x|﹣1≤x≤3}．
B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
∴（∁U A）∩B={x|2＜x≤3}．
故选：C．
2．已知复数Z满足Z•（1+i）=2i，则Z是（）
A．1+iB．1﹣iC． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由Z•（1+i）=2i，得到，再利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【解答】解：由Z•（1+i）=2i，
则Z=．
故选：A．
3．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）
A．50B．40C．25D．20
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．
【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，
∴样本数据间隔为1000÷40=25．
故选：C．
4．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由充要条件的定义和对数的运算，以及等差数列的知识可得．
【解答】解：由lgx，lgy，lgz成等差数列可得2lgy=lgx+lgz，
故可得lgy2=lgxz，故可得y2=xz；
而由y2=xz不能推出lgx，lgy，lgz成等差数列，
比如当x和z均为负数时，对数无意义．
故“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的充分不必要条件．
故选：A
5．已知角α终边上一点P（，1），则2sin2α﹣3tanα=（）
A．﹣1﹣3B．1﹣3C．﹣2D．0
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件根据任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα、tanα 的值，再利用二倍角的正弦公式求得2sin2α﹣3tanα的值．
【解答】解：根据角α终边上一点P（，1），可得x=，y=1，r=|OP|=2，
∴sinα==，cosα==，tanα==，
∴2sin2α﹣3tanα=4sinαcosα﹣3tanα=4••﹣3•=0，
故选：D．
6．设函数f（x）=，则f（log2）=（）
A．﹣B．﹣6C．6D．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用分段函数的性质和对数性质及诱导公式求解．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（log2）=f（log26）===．
故选：D．
7．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）
A．S＜8？B．S＜12？C．S＜14？D．S＜16？
【考点】程序框图．
【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．
【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；
判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；
判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；
此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．
若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．
故选：B．
8．数列{a n}是等差数列，且a1＞0，若a1008+a1009＞0，a1008•a1009＜0同时成立，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）
A．2016B．2017C．2018D．2019
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知可得：公差d＜0，a1008＞0，a1009＜0，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．
【解答】解：∵a1＞0，若a1008+a1009＞0，a1008•a1009＜0同时成立，
∴公差d＜0，a1008＞0，a1009＜0，
∴S2016==＞0，S2017==2017a2009
＜0，
∴使得S n＞0成立的n的最大值为2016，
故选：A．
9．设x，y满足约束条件，若=（y，1），=（，0），则z=的取值
范围是（）
A．[﹣，﹣]B．（﹣∞，﹣]
C．（﹣∞，﹣]∩[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）
【考点】简单线性规划；数量积的坐标表达式．
【分析】根据向量数量积的公式先求出z，利用直线斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：若=（y，1），=（，0），则z==，
则z的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由得，即A（﹣，），
由得，即B（3，﹣3），
则AD的斜率k==﹣，BD的斜率k==﹣，
故z=的取值范围是（﹣∞，﹣]∩[﹣，+∞），
故选：C．
10．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）
A． B．﹣C． D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，
•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]
=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣
=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，
故选：A．
11．某几何体的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是（）
A．2B． C．3D．
【考点】由三视图求面积、体积；点、线、面间的距离计算．
【分析】由几何体的三视图知该几何体是三棱锥，分别计算各棱的长，即可得到答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体是高为4，底面的斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥，
计算可得3不是该几何体的棱长，
故选：C．
12．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=，则下列结论正确的是（）
A．f（x）在（0，+∞）上有极大值B．f（x）在（0，+∞）上有极小值
C．f（x）在（0，+∞）单调递增D．f（x）在（0，+∞）单调递减
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
【分析】由题意知[xf（x）]′=，从而由积分可知xf（x）=（lnx）2+c，从而解得f （x）=+，从而再求导判断函数的单调性．
【解答】解：∵x2f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=，
∴[xf（x）]′=，
∴xf（x）=（lnx）2+c，
又∵f（1）=，
∴1•f（1）=（ln1）2+c，
即=c，
故c=，则xf（x）=（lnx）2+，
∴f（x）=+，
∴f′（x）==≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13．已知直线l1：2x﹣my=1，l2：（m﹣1）x﹣y=1，若l1∥l2，则实数m的值为2或﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线的平行关系可得m的方程，解方程验证排除重合即可．
【解答】解：∵直线l1：2x﹣my=1与l2：（m﹣1）x﹣y=1平行，
∴2×（﹣1）﹣（﹣m）（m﹣1）=0，解得m=2或m=﹣1，
经验证当m=2或m=﹣1时，都有两直线平行．
故答案为：2或﹣1
14．若椭圆的中点在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}=1 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】由题意设出椭圆方程，和直线方程联立后化为关于y的一元二次方程，然后利用根与系数关系求解．
【解答】解：焦点为（0，2），焦点位于y轴，且c=2，
则a2﹣b2=4，
∴可设椭圆方程为，
，得（10b2+4）y2﹣14（b2+4）y﹣9b4+13b2+196=0，
设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点为（x1，y1），（x2，y2），
∴y1+y2==2，
解得：b2=8．
∴a2=12．
=1．
故答案为： =1．
15．如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则BC= 3 ．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】先求出cos∠ABC=，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得；由∠ADB与∠CDB互补，可得3b2﹣a2=﹣6，即可得出结论．
【解答】解：∵sin=，
∴cos∠ABC=，
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得①，
∵∠ADB与∠CDB互补，
∴cos∠ADB=﹣cos∠CDB，
∴，
∴3b2﹣a2=﹣6②
解①②得a=3，b=1，
∴BC=3．
故答案为：3．
16．关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：
①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；
②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；
③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；
④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．
其中正确结论的个数是 3 ．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】①令a=，进行验证即可；
②令a=5，通过验证结论成立；
③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；
④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．
【解答】解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），
此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx，
由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，
当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时
也是最小值f（1）=﹣+=0，
则对∀x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确，
②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0，成立．
③由②知当a=5时，∃x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．
④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2•=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+
﹣a）．
由f′（x）=0，则lnx+﹣a=0，即lnx=a﹣，
即∀a＞0，函数f（x）都存在极值点，即∃x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，
综上正确是有①②④，共3个
故答案为：3
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；
（Ⅱ）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣
=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）
∵f（x）的最小正周期为T=π
∴，ω=1，
∵f（x）的最大值为2，
∴=2，
即a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
即f（x）=2sin（2x+）．
由2x+=+kπ，
即x=+，（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，
即sin（2α+）=，
则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=﹣cos2（2α+）=﹣1+2sin2（2α+）=﹣1+2×（）2=﹣．
18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验．
【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k2=3＞2.706，即可得出结论；
（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4
（人），在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在20～30岁之间的概率．
【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，
正确错误合计
20～30（岁）10 30 40
30～40（岁）10 70 80
合计20 100 120
…
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3
∵3＞2.706…
∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…
（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；
30～40（岁）抽取：6×=4（人）…
在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…年龄在20～30（岁）记为（A，B）；
年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），
则从6名选手中任取3名的所有情况为：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、
（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…
其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：
（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、
（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、
（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…
∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…
19．如图，已知多面体ABCDE中，DE⊥平面DBC，DE∥AB，BD=CD=BC=AB=2，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求点D到平面EBC的距离的取值范围．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质，得到线线垂直，再利用线面垂直的判定，可得DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明平面DEF⊥平面EBC，连接EF，过D作DH⊥EF，垂足为H，可得线段DH的长即为点D到平面EBC的距离，表示出DH，即可确定其范围．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面DBC，DE∥AB，∴AB⊥平面DBC，
∵DF⊂平面DBC，∴AB⊥DF
∵BD=CD=BC=2，F为BC的中点
∴DF⊥BC
又∵AB∩BC=B
∴DF⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设DE=x，连接BE，则x＞0
∵DE⊥平面DBC，BC⊂平面DBC，∴DE⊥BC
∵DF⊥BC，DE∩DF=D
∴BC⊥平面DEF
∵BC⊂平面ABC
∴平面DEF⊥平面EBC
连接EF，过D作DH⊥EF，垂足为H，
则DH⊥平面EBC，线段DH的长即为点D到平面EBC的距离
在直角△DEF中，DE=x，DF==，∴EF=
∴DH==∈（0，）．
20．已知曲线C1： +=1（a＞b＞0），过点P（﹣1，1）的直线l上的动点Q到原点的
最短距离为
（1）求直线l的方程；
（2）若曲线C1和直线l交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，当S△OMN=
时，求曲线C1的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）通过设直线l的方程为y﹣1=k[（x﹣（﹣1）]，利用原点到该直线的距离为，计算即得结论；
（2）通过∠MON=及三角形面积公式可知MN=，利用两点间距离公式及直角三角形
中斜边中线等于斜边一半构造方程组，进而计算可得结论．
【解答】解：（1）根据已知条件，设直线l的方程为y﹣1=k[（x﹣（﹣1）]，
化简得kx﹣y+k+1=0，
依题意，得d==，
解得：k=1，
∴直线l的方程为：x﹣y+2=0；
（2）依题意，∠MON=，
则S△OMN==MN，即MN=，
联立直线l与椭圆方程，消去y可知：（a2+b2）x2+4a2x+a2（4﹣b2）=0，
由韦达定理可知：x M+x N=﹣，x M x N=，
一方面，
MN===•=•
，
整理得：10（a2+b2）2=9a2b2（a2+b2﹣4），①
另一方面， MN=，
即=，
整理得：a2b2=2（a2﹣b2）2、9a2b2=2（a2+b2）2，②
联立①、②，解得：a2=6、b2=3，
于是曲线C1的方程为：．
21．已知函数f（x）=（a为常数）．
（1）当a＞0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=x3﹣ax2+2，若x∈[﹣1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）当a＞0时，f（x）=，分x＜0与x≥0，去掉绝对值符号，利用导数讨论f（x）的单调性，从而可求得f（x）的极值；
（2）x∈[﹣1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，先有，解得a≤﹣
＜0，所求a的取值在此范围上讨论即可．可分x∈[﹣1，0]与x∈（0，1]两种情况讨论，
通过构造函数h（x）=e x﹣1（x2﹣ax+1），利用导数判定其单调性，从而解相应的a的不等式组即可．
【解答】解：（1）当a＞0时，f（x）=，
当x＜0时，f（x）=，显然是减函数；
当x≥0时，f′（x）=，x∈[0，1]时，f′（x）≥0，x∈[1，+∞）时，f′（x）
≤0．
综上，f（x）分别在x∈（﹣∞，0），x∈[1，+∞）时是减函数，在x∈[0，1]时增函数，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=a．
（2）x∈[﹣1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，先有，解得a≤﹣
＜0，所求a的取值在此范围上讨论即可．
当x=0时，f（0）=0≤2=g（0）恒成立；
当（0，1]时，只须≤x3﹣ax2+x，即a≤e x﹣1（x2﹣ax+1），（a≤﹣）恒成立，
设h（x）=e x﹣1（x2﹣ax+1），在x∈（0，1]时是增函数，，解得a≤﹣；当x∈[﹣1，0]时，同理化得﹣≤x3﹣ax2+x，
只须﹣a≥e x﹣1（x2﹣ax+1）（a≤﹣）恒成立，
∵h（x）=e x﹣1（x2﹣ax+1），
∴h′（x）=e x﹣1（x+1）[x﹣（a﹣1）]＞0，
∴h（x）在[﹣1，0）上是增函数．
得h（x）＜h（0）=，此时，，解得a≤﹣；
综上，x∈[﹣1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，a的取值范围是a≤﹣．
以下为选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：平面几何选讲]
22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠PEC=∠PDF；
（2）求PE•PF的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；
（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．
【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四点共圆．
∴∠PEC=∠CBA．
又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣
（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣
[选修4-4：极坐标和参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与
曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，
求点P到线段AB中点M的距离．
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x1﹣x2|，运算求得结果．
（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1，由t的几何意义可得
点P到M的距离，运算求得结果．
【解答】解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线
C：（y﹣2）2﹣x2=1，
消去y整理得：2x2+12x+11=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1•x2=．…
所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…
（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…
所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=+．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分别求得①、②、
③的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，由K PB=2，A（﹣4，7），可得 K PA=﹣1，数形结合求得实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=+=+=|x﹣
3|+|x+4|，
∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．
∴①，或②，或③．
得不等式①：x≤﹣5；
解②可得x无解；
解③求得：x≥4．
江西省新余市2016届高三数学上学期期末试卷文（含解析）
所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．
（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|=．
由于函数g（x）=k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，其中，K PB=2，A（﹣4，7），
∴K PA=﹣1．
由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．
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