有关上调和函数的两个定理

有关上调和函数的两个定理
1 有关上调和函数的两个定理
设D 是欧式空间(2)N R N ≥上的一非空有界区域，D ∂表示其边界，d 表示D ∂上的距离函数。

在D 中，我们称球心为0x ，半径为0()r d x =的开球0(,)B x r 为最大内切球，记作()IMB r 。

由于()IMB r 与D ∂相切，因此在D ∂上存在一个点t 满足00()t x d x -=。

我们称D 是a 容许的如果存在一个正整数a 使得对所有的r a <都有任意一个球()IMB r 都在球()IMB a 中。

现在我们有，如果()IMB r 交D ∂于t ，那么相应的()IMB a 也交D ∂于t 。

在这一节中我们证明了两个结论。

第二个结论，也就是唯一性定理，是我们最初的目的。

定理1的一个不平凡的推论表示：a 容许空间上的上调和函数是非负的。

定理1：设有界区域D 是a 容许的并且u 是D 中一正上调和函数。

那么在D 中存在一正常数k 满足不等式u kd ≥。

在区域D ()N D R ≠的边界上取一点0y （不在边界也可以），我们称D 在点0y 处是a 容许的如果存在一个正数a 以及一个a 容许空间D *满足
0(,2)B y a D D D *⋂⊂⊂。

定理2：设一有界区域D 在边界点0y 处是a 容许的。

如果u 是D 上一非负上调和函数并且满足
0()lim inf 0()
x y x D u x d x →∈=， 那么0u ≡。

2.2 有关定理证明的几个结论
对于定理1和2，我们有如下几个结论：
（1） 在任何有界区域上函数d 都不是下调和函数
（0,;0,d d D d d D >∈=∈∂）。

（2） 去心单位球(0,1)\{0}B 是a 容许的（当12a ≤）。

（3） 在（2）中(){1}d x x x =∧-（这里∧表示取其中最小
的）。

（4） 结论(1)和(3)告诉我们定理1中的kd 既不是一个下调和函数而且（一般来说）也不是u 在D 中的一个上调和控制函数。

（5） 如果1{(,...,):0}N N D x x x x ==>并且()N N u x x x =，那么u 是D 中的正调和函数，但不是最优的结果，其中N kd kx =。

这表示有必要在定理1中找一个合适的有界区域D （由于对所有的0a >半空间都是a 容许的）。

（6） 如果D 有界并且D ∂是2C 的局部（这也就是说在局部选取适当坐标系，使D ∂由11(,...,)N N x x x φ-=给出，其中φ就是2C ）那么对某些正整数a 来说D 显然是a 容许的。

（7） 当2N =时，在D 是Jordan 空间并且有Dini 光滑边界的假设下，将在第二章中给出定理1的证明。

一方面，这个结论比定理一要好，比如若D 是一Jordan 空间，D ∂是2C （除去0）的子集以及取区间(1,2)上的某些点p ，D 以及21{}p x x >一致趋近于0，那么对任意正数a ，D ∂是Dini 光滑的但D 不是a 容许的。

另一方面，不等式u kd ≥不仅包含了以上(2)的内容，它还说明了如果D 是N R 上一有界区域，那么D ∂是2C （除去0）的子集，D 与211{/log }x x x >一致趋近于零。

（8） 如果我们用定义()IMB r 的方法在\N R D 上定义最大外切球()EMB r ，我们可以很容易的把Martin [3]改写如下：对于N R 上的有界区域D ，若D ∂上的每一个点都与一个()IMB a 和()EMB a 相切。

这样的区域有可容许半径a 。

并且易证这样的区域是a 容许的。

然而对(2)以及(7)中第二个例子来说，反过来是不成立的。

（9） 有界区域D 上的另一个简单定义是对D ∂上的每一个点都有一个()IMB a 与之相切那么称D 有内容许半径a 。

在第六章的引理
3的中将会看到每一个a 容许区域D 都是这样一个区域。

然而定理1和2对一个有内容许半径a 的区域D 来说是不成立的，关于这点第六章中将给出一个例子。

这个结论表示我们关于a 容许空间的定义尽管不比(8)、(9)中的定义更简单，但它是一个更适合我们证明问题的中间定义。

（10） 一有界区域是a 容许的当且仅当它在每一个边界点是a 容许的。

（引入半径为2a 的球0(,2)B y a 是为了保证定理有一部分是显然成立的。

）。