上海第二十五中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析

上海第二十五中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 方程log2x+x=2的解所在的区间为（）
A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）?f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．
【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．
∵f（1）
=0+1﹣2=﹣1＜0，
f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内
∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）
故选：B．
2. 已知抛物线的焦点为F准线为1,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60°,则的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积.
【详解】
由已知条件抛物线的准线为，焦点为,
直线PF倾斜角为60°,故斜率，方程为：
代入抛物线方程可得：
解得：
由于Q在第四象限
故选：A
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，则
的最小值为（）
A.9
B.
C.
D.
参考答案：
B
4. 下列命题中的假命题是( )
A.R
B.N
C.R,lg
D.R,t a n
参考答案：
B
对于B选项,当x=1时故选B.
5. 若，则α是 ( )
A.第二象限角
B.第三象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第三象限角
参考答案：
B
略
6. 在平面直角坐标系中，定义之间
的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；
④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中真命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
C
7. 如图，已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦
点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
8. 设函数f(x)=x3+(a－1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A.y=－2x
B. y=－x
C. y=2x
D. y=x
参考答案：
D
解答：
∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.
9. 已知偶函数f（x）对于任意x∈R都有f（x+1）=﹣f（x），且f（x）在区间[0，2]上是递增的，则f（﹣6.5），f（﹣1），f（0）的大小关系是( )
A．f（0）＜f（﹣6.5）＜f（﹣1）B．f（﹣6.5）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（﹣1）＜f（﹣6.5）＜f（0）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（﹣6.5）
参考答案：
A
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数单调性和周期性的性质进行比较即可．
【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x），得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
则函数的周期是2，
∵函数f（x）为偶函数，
∴f（﹣6.5）=f（﹣0.5）=f（0.5），
f（﹣1）=f（1），
∵f（x）在区间[0，2]上是递增的，
∴f（0）＜f（0.5）＜f（1），
即f（0）＜f（﹣6.5）＜f（﹣1），
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
10. 已知三条不重合的直线和两个不重合的平面α、β，有下列命题（）
①若②若
③若
④若
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；综合法；不等式．
【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：
由，解得A（1，1）
而z=x+3y可化为y=﹣x+，
由图象得直线过A（1，1）时z最大，z的最大值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．
12. （几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为__________.
参考答案：
13. 设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，则实数的取值范围为________。

参考答案：
略
14. 在锐角中，则的取值范围为
参考答案：
略
15. 如图，在三棱锥A—BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A—BCD分成上、下两部分的体积之比等于。

参考答案：
略
16. 用数学归纳法证明时，当
时，其形式是
参考答案：
17. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点．
（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若k EG?k FH=
﹣，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为
y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|．
所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，
所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以，
故轨迹C的方程．
（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，
则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）．
联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
则．①
由，
得．②
由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③
设原点到直线EH的距离为，
，
④
由③、④，得，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为．
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.
参考答案：
解：（Ⅰ）依题设，，则，.
由，解得，所以.
所以椭圆的方程为. …………………………………………4分（Ⅱ）依题直线的方程为.
由得.
设,,弦的中点为，
则，，，，
所以.
直线的方程为，
令，得，则.
若四边形为菱形，则，.
所以.
若点在椭圆上，则.
整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
此时点到的距离为. ………………………………………………14分
20. (本小题满分12分) 已知向量，，，设函数
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最大值和最小值,并求对应的值。

参考答案：
（1）
（4分）
的最小正周期.
即函数的最小正周期为. （6分）
（2），，（8分）
由正弦函数的性质，
当，即时，取得最大值1. （10分）
当，即时，取得最小值. （12分）
21. 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
（2）求证：A1B//平面ADC1．
参考答案：
证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⎧平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1．
因为DC1⎧平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．
（2）(证法一)
连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD//A1B．
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1．
(证法二)
取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
所以D1B//平面ADC1．
同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1．
因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．
略
22. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用表示编号为的同学的体重，且前5位同学的体重如下：
（Ⅰ）求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差；
（Ⅱ）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间中的概率．
参考答案：。